?八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章 勾股定理》
17.2 勾股定理的逆定理
題型一 逆命題與逆定理

【例題1】下列定理中，逆命題是假命題的是（　?。?br /> A．在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊
B．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
C．有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形
D．等腰三角形兩個(gè)底角相等
【變式1-1】（2022秋?長(zhǎng)春期末）命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題是　 ?。?br /> 【變式1-2】下列三個(gè)定理中，存在逆定理的有（　?。﹤€(gè)．
①有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周長(zhǎng)相等；③同位角相等，兩直線平行
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1-3】下列定理中，沒有逆定理的是（　?。?br /> A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余 D．兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形
【變式1-4】下列命題：
①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等邊三角形是銳角三角形，
其中原命題和它的逆命題都正確的有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)

【變式1-5】下列定理：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么該三角形是直角三角形；③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；④同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

題型二 利用三邊關(guān)系判定直角三角形

【例題2】（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（　?。?br /> A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15
【變式2-1】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的是（　?。?br /> A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝2∠B＝2∠C
C．AB=34，BC＝3，AC＝5 D．∠A＝20°，∠B＝70°
【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）木工師傅想利用木條（單位都為：米）制作一個(gè)直角三角形的工具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15
【變式2-3】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝3，b＝2，c=5 B．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60
C．a(chǎn)=54，b＝1，c=34 D．a(chǎn)=41，b＝4，c＝5

【變式2-4】（2022秋?萊陽市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c且a2﹣b2＝c2，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是銳角
【變式2-5】已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，根據(jù)下列條件，判斷△ABC是不是直角三角形．
（1）a＝11，b＝31，c＝21；
（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n為正整數(shù)）．



【變式2-6】（2022秋?埇橋區(qū)期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．





題型三 根據(jù)三邊滿足的關(guān)系式判斷三角形的形狀
【例題3】（2022秋?市中區(qū)校級(jí)月考）若三角形的三邊滿足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，則此三角形的形狀是 　　 ．
【變式3-1】（2022春?嵐皋縣期末）已知三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，如果a?6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，則△ABC是（　?。?br /> A．以a為斜邊的直角三角形
B．以b為斜邊的直角三角形
C．以c為斜邊的直角三角形
D．不是直角三角形
【變式3-2】（2021秋?興隆縣期末）已知a，b，c滿足|a?8|+b2?10b+25+（c?18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）試問以a，b，c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．




【變式3-3】已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．
小明的解題過程如下：
因?yàn)閍2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
請(qǐng)根據(jù)上述解題過程回答下列問題：
（1）小明的解題過程中，從第 　 （填序號(hào)）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)你將正確的解答過程寫下來．






題型四 勾股定理及其逆定理解決面積問題
【例題4】（2022春?惠城區(qū)期末）在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造處該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=42千米．
（1）求小溪流AC的長(zhǎng)．
（2）求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

【變式4-1】（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為 　 ?。?br />

【變式4-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，一塊四邊形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四邊形花圃ABCD的面積；
（2）求C到AD的距離．



題型五 巧添輔助線構(gòu)造直角三角形
【例題5】（2022春?廣西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC邊上的高．






【變式5-1】（2021春?勃利縣期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．




【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，那么邊BC的長(zhǎng)為（　　）

A．61 B．261 C．13 D．12
【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求證：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．





【變式5-4】（2022?北京模擬）已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．







題型六 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用
【例題6】（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，三個(gè)村莊A，B，C之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要從B修一條公路BD直達(dá)AC，已知公路的造價(jià)260萬元/km，修這條公路的最低造價(jià)是多少？



【變式7-1】（2021秋?楚雄州期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測(cè)得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果種植草皮費(fèi)用是200元/m2，那么共需投入多少錢？





【變式7-2】（2021秋?連州市期末）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船與貨船速度的比為4：3，出發(fā)1小時(shí)后，客船比貨船多走了5海里．貨船沿東偏南10°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里．
（1）求兩船的速度分別是多少？
（2）求客船航行的方向．




【變式7-3】（2022秋?萊西市期中）如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水，最后沿第三方向走100m回到家A處．問小明在河邊B處取水后是沿哪個(gè)方向行走的？并說明理由．





【變式7-4】（2021秋?陳倉區(qū)期中）如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．
（1）求甲巡邏艇的航行方向；
（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？



【變式7-5】（2021春?淮南期中）如圖紅星村A和幸福村B在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和3千米，又知道CD的長(zhǎng)為3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用每千米20000元．
（1）請(qǐng)?jiān)贑D上選擇水廠位置，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。?br /> （2）并求出鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用．





題型七 勾股數(shù)的辨別
【例題7】（2022秋?邢臺(tái)期末）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．1，3，2 B．12，16，20
C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3
【變式7-1】（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．32，42，52 B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15
【變式7-2】（2021秋?東源縣校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．7，24，25
【變式7-3】（2021春?河間市期末）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？




題型八 勾股數(shù)的規(guī)律猜想題
【例題8】（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考）觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑤組勾股數(shù)為 　 　．
【變式8-1】（2022秋?鹽都區(qū)期中）觀察下列勾股數(shù)組：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a＝　?。ㄌ崾荆?=32+12，13=52+12，…）
【變式8-2】（2021春?思明區(qū)校級(jí)期中）以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數(shù)組：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；
（2）用含n（n≥2且n為整數(shù)）的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明．




【變式8-3】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期的《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這三個(gè)正整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股數(shù)．把勾股數(shù)同時(shí)乘以相同的正整數(shù)倍得到的也是勾股數(shù)，我們把這種勾股數(shù)稱為“派生勾股數(shù)”．因?yàn)?＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股數(shù)”，如果一組勾股數(shù)斜邊比一條直角邊大3，我們把這種勾股數(shù)稱為“新新勾股數(shù)”．
（1）請(qǐng)判斷9，12，16和10，24，26是否為“派生勾股數(shù)”；
（2）請(qǐng)求出斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”．




八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章 勾股定理》
17.2 勾股定理的逆定理答案

題型一 逆命題與逆定理
【例題1】下列定理中，逆命題是假命題的是（　?。?br /> A．在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊
B．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等
C．有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形
D．等腰三角形兩個(gè)底角相等
【分析】分別寫出原命題的逆命題，然后判斷真假即可．
【解答】解：A、逆命題為：在一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角，正確，是真命題；
B、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，是假命題；
C、逆命題為：等邊三角形是有一個(gè)角是60度的等腰三角形，正確，是真命題；
D、逆命題為：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，正確，是真命題；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的寫出原命題的逆命題，難度不大．
【變式1-1】（2022秋?長(zhǎng)春期末）命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題是　 ?。?br /> 【分析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換得到逆命題．
【解答】解：命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題是到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，
故答案為：到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠區(qū)分原命題的題設(shè)和結(jié)論，難度不大．
【變式1-2】下列三個(gè)定理中，存在逆定理的有（　?。﹤€(gè)．
①有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周長(zhǎng)相等；③同位角相等，兩直線平行
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】寫出各個(gè)定理的逆命題，判斷真假即可．
【解答】解：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形的逆命題是等腰三角形的兩底角相等，正確，①存在逆定理；
全等三角形的周長(zhǎng)相等的逆命題是周長(zhǎng)相等的三角形全等，錯(cuò)誤，②沒有逆定理；
同位角相等，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同位角相等，正確，③存在逆定理；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是逆定理的概念，命題的真假判斷，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．
【變式1-3】下列定理中，沒有逆定理的是（　　）
A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
B．兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余
D．兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形
【分析】先寫出各選項(xiàng)的逆命題，判斷出其真假即可解答．
【解答】解：A、其逆命題是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，正確，所以有逆定理；
B、其逆命題是“對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，錯(cuò)誤，所以沒有逆定理；
C、其逆命題是“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”，正確，所以有逆定理；
D、其逆命題是“等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等”，正確，所以有逆定理．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理的區(qū)別，正確的命題叫定理．
【變式1-4】下列命題：
①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等邊三角形是銳角三角形，
其中原命題和它的逆命題都正確的有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)
【分析】利用平行線的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的乘法法則、等邊三角形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，正確；逆命題為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；正確；逆命題為：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；不正確；
③等邊三角形是銳角三角形，正確；逆命題為：銳角三角形是等邊三角形；不正確；
其中原命題和它的逆命題都正確的有1個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，難度不大．
【變式1-5】下列定理：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么該三角形是直角三角形；③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；④同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】分別寫出各個(gè)定理的逆命題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：有兩邊相等的三角形是等腰三角形的逆命題是等腰三角形有兩邊相等，正確，①有逆定理；
如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么該三角形是直角三角形的逆命題是如果直角三角形的三邊a，b，c，則滿足a2+b2＝c2，正確，②有逆定理；
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等，正確，③有逆定理；
同位角相等，兩直線平行的逆命題是兩直線平行、同位角相等，正確，④有逆定理，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

題型二 利用三邊關(guān)系判定直角三角形
【例題2】（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（　?。?br /> A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可．
【解答】解：A、52+122≠142，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、62+82≠92，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、82+132≠152，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．

【變式2-1】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的是（　?。?br /> A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝2∠B＝2∠C
C．AB=34，BC＝3，AC＝5 D．∠A＝20°，∠B＝70°
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形；三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則∠C＝180°×512=75°，不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
B．∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠C＝180°×14=45°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．∵32+53=(34)2，
∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
D．∵∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝90°，
∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是正確掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）木工師傅想利用木條（單位都為：米）制作一個(gè)直角三角形的工具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　?。?br /> A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，
∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、∵32+42＝52，
∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵72+242＝252，
∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵92+122＝152，
∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的逆定理，判斷三個(gè)數(shù)能否組成直角三角形的條件是看是否符合勾股定理的逆定理，即a2+b2＝c2．
【變式2-3】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝3，b＝2，c=5 B．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60
C．a(chǎn)=54，b＝1，c=34 D．a(chǎn)=41，b＝4，c＝5
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，從而可以解答本題．
【解答】解：∵22+（5）2＝32，故選項(xiàng)A中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；
∵402+502≠602，故選項(xiàng)B中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)B符合題意；
∵（34）2+12＝（54）2，故選項(xiàng)C中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；
∵42+52＝（41）2，故選項(xiàng)D中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．

【變式2-4】（2022秋?萊陽市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c且a2﹣b2＝c2，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是銳角
【分析】如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【解答】解：由a2﹣b2＝c2，可得c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出這個(gè)三角形就是直角三角形解答．
【變式2-5】已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，根據(jù)下列條件，判斷△ABC是不是直角三角形．
（1）a＝11，b＝31，c＝21；
（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n為正整數(shù)）．
【分析】b＞c＞a，判斷△ABC是不是直角三角形，只需判斷a與c的平方和是否等于b的平方．
【解答】解：（1）顯然b＞c＞a，
∵b2＝312＝961，a2+c2＝112+212＝562，a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵m＞n，
∴（m﹣n）2＞0，
即m2﹣2mn+n2＞0，可得m2+n2＞2mn．
又m2+n2＞m2﹣n2，
∴m2+n2是最長(zhǎng)邊．
∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，
即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是靈活利用勾股定理的逆定理．
【變式2-6】（2022秋?埇橋區(qū)期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

【分析】（1）應(yīng)用勾股定理，求出CD，再運(yùn)用勾股定理即可求出AD；
（2）判斷出AC2+BC2＝AB2，即可判斷△ABC為直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=BC2?BD2=152?92=12，
在Rt△BCD中，由勾股定理得AD=AC2?CD2=202?122=16，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
題型三 根據(jù)三邊滿足的關(guān)系式判斷三角形的形狀
【例題3】（2022秋?市中區(qū)校級(jí)月考）若三角形的三邊滿足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，則此三角形的形狀是 　　 ．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性可得c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，從而可得c2＝a2+b2，a＝b，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，a＝b，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022春?嵐皋縣期末）已知三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，如果a?6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，則△ABC是（　?。?br /> A．以a為斜邊的直角三角形
B．以b為斜邊的直角三角形
C．以c為斜邊的直角三角形
D．不是直角三角形
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性得出a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，再根據(jù)勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】解：∵a?6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣10＝0，c﹣8＝0，
∴a＝6，b＝10，c＝8，
∵62+82＝102，即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形（b為斜邊），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性和勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

【變式3-2】（2021秋?興隆縣期末）已知a，b，c滿足|a?8|+b2?10b+25+（c?18）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）試問以a，b，c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用已知條件以及絕對(duì)值的性質(zhì)確定a，b，c的值即可；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能構(gòu)成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a?8|+b2?10b+25+（c?18）2＝0，
∴a?8=0，（b﹣5）2＝0，c?18=0，
∴a＝22，b＝5，c＝32；
（2）∵（22）2+（32）≠52，
∴不能構(gòu)成直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值；二次根式；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值、算術(shù)平方根和偶次冪具有非負(fù)性．
【變式3-3】已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．
小明的解題過程如下：
因?yàn)閍2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②
所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
請(qǐng)根據(jù)上述解題過程回答下列問題：
（1）小明的解題過程中，從第 　 （填序號(hào)）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)你將正確的解答過程寫下來．
【分析】（1）觀察解答過程可知，第①步為已知條件，第②步為因式分解，第③步忽略了a2﹣b2＝0的可能；
（2）接下來根據(jù)以上的分析，寫出正確的步驟，可推出a＝b或c2＝a2+b2，由此確定三角形的形狀即可．
【解答】解：（1）上述解題過程，從第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；錯(cuò)誤的原因是忽略了a2﹣b2＝0的可能．
（2）正確的解法為：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．
移項(xiàng)得c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
因式分解得（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
則當(dāng)a2﹣b2＝0時(shí)，a＝b；當(dāng)a2﹣b2≠0時(shí)，c2＝a2+b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，勾股定理的逆定理，會(huì)把等式變形并會(huì)把等式的左邊分解因式是解決問題的關(guān)鍵．

題型四 勾股定理及其逆定理解決面積問題
【例題4】（2022春?惠城區(qū)期末）在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造處該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=42千米．
（1）求小溪流AC的長(zhǎng)．
（2）求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得；
（2）由勾股定理逆定理得∠D＝90°，從而由S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD可得答案．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，
∴AC=AB2+BC2=52+52=52（千米）；

（2）∵AC2＝（52）2＝50，CD2+AD2＝（32）2+（42）2＝50，
∴AC2＝CD2+AD2，
則∠D＝90°，
S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD
=12×5×5+12×32×42
=492（平方千米）．
即四邊形ABCD的面積為492平方千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為 　 ?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，可以先求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．
【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC=BD2+CD2=42+22=25，
∵AB＝6，AC＝4，
∴AC2+BC2＝42+（25）2＝16+20＝36＝62＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S陰影＝S△ACB﹣S△BDC=12×4×25?12×4×2＝45?4．
故答案為：45?4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是求出BC的長(zhǎng)．

【變式4-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，一塊四邊形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四邊形花圃ABCD的面積；
（2）求C到AD的距離．

【分析】（1）連接AC．根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，從而根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)直角三角形ACD，就可求得該四邊形的面積．
（2）根據(jù)等面積法即可求出C到AD的距離．
【解答】解：連接AC．

∵∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5cm．
∵52+122＝132，
∴△ADC是直角三角形．
∴S四邊形ABCD=12×3×4+12×12×5=36m2．
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，如上圖：
根據(jù)等面積法得12AD?CH=12AC?CD，即12×13×CH=12×5×12，
解得CH=6013，即C到AD的距離是6013cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

題型五 巧添輔助線構(gòu)造直角三角形
【例題5】（2022春?廣西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC邊上的高．

【分析】作AH⊥BC于H，首先利用勾股定理的逆定理說明∠BAC＝90°，再利用等積法可得AH的長(zhǎng)．
【解答】解：作AH⊥BC于H，

∵AB2+AC2＝22+62＝40，BC2＝40，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴12BC?AH=12AB?AC，
∴AH=2×6210=3105，
∴BC邊上的高為3105．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理和其逆定理，三角形的面積等知識(shí)，證明∠BAC＝90°是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2021春?勃利縣期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．

【分析】連接AC，由已知和等腰三角形的性質(zhì)可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC＝90°，從而求出∠DAB的度數(shù)．
【解答】解：連接AC．
設(shè)DA＝k，則AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理的應(yīng)用．本題將∠DAB分成∠BAC，∠DAC是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，那么邊BC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．61 B．261 C．13 D．12
【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE＝6，通過SAS可證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通過勾股定理逆定理可證明△AEC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE＝6，

∴AE＝12，
∵AD是邊BC的中線，
∴BD＝CD=12BC，
在△ABD和△ECD中，
∵AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
∵AE2+CE2＝169，
AC2＝169．
∴AC2＝AE2+CE2，
∴△AEC為直角三角形，
∴∠E＝90°，
∴CD=ED2+CE2=61，
∴BC＝2CD＝261．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及逆定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求證：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明∠ABC＝90°即可；
（2）設(shè)CD＝k，則AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根據(jù)AC2＝CD2+AD2，構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】（1）證明：連接AC．

∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
（2）設(shè)CD＝k，則AB＝BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，
∴AC2＝18k2，
在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，
∴18k2＝172+k2，
∴k=17，
∴CD=17，AB＝BC＝317，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+BC+AD+CD＝17+717．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理以及逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．

【變式5-4】（2022?北京模擬）已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．

【分析】延長(zhǎng)FD到G使GD＝DF，連接BG，EG，證△BDG≌△CDF，推出BG＝FC，∠C＝∠GBD，求出∠EBG＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：延長(zhǎng)FD到G使GD＝DF，連接BG，EG，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
∵在△BDG和△CDF中，BD=DC∠FDC=∠BDGDG=DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，
∴BG∥AC，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵BE2+FC2＝EF2，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴∠ABG＝90°，
∵BG∥AC，
∴∠A+∠ABG＝180°，
∴∠BAC＝90°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

題型六 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用
【例題6】（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，三個(gè)村莊A，B，C之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要從B修一條公路BD直達(dá)AC，已知公路的造價(jià)260萬元/km，修這條公路的最低造價(jià)是多少？

【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°確定最短距離，然后利用面積相等求得BD的長(zhǎng)，最終求得最低造價(jià)．
【解答】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
當(dāng)BD⊥AC時(shí)BD最短，造價(jià)最低．
∵S△ABC=12AB?BC=12AC?BD，
∴BD=AB?BCAC，即BD=5×1213=6013（km）．
∴6013×260＝1200（萬元）．
答：最低造價(jià)為1200萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用垂線段最短得出當(dāng)BD⊥AC時(shí)BD最短，造價(jià)最低，再利用三角形面積求出是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2021秋?楚雄州期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測(cè)得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果種植草皮費(fèi)用是200元/m2，那么共需投入多少錢？

【分析】直接利用勾股定理逆定理得出△ACD是直角三角形，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出答案．
【解答】解：如圖所示，連接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25m，
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC
=12?AB?BC+12?AD?DC
=12×24×7+12×20×15
＝234（m2），
所需費(fèi)用為234×200＝46800（元），
答：共需投入46800元．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理逆定理，正確運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
【變式7-2】（2021秋?連州市期末）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船與貨船速度的比為4：3，出發(fā)1小時(shí)后，客船比貨船多走了5海里．貨船沿東偏南10°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里．
（1）求兩船的速度分別是多少？
（2）求客船航行的方向．

【分析】（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時(shí)和3x海里/小時(shí)，依據(jù)客船每小時(shí)比貨船多走5海里，列方程求解即可；
（2）依據(jù)AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根據(jù)貨船沿東偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°方向．
【解答】解：（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時(shí)和3x海里/小時(shí)，依題意得
4x﹣3x＝5．
解得x＝5，
∴4x＝20，3x＝15，
∴兩船的速度分別是20海里/小時(shí)和15海里/小時(shí)；
（2）由題可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
又∵貨船沿東偏南10°方向航行，
∴客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°方向．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角以及勾股定理的應(yīng)用，正確得出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022秋?萊西市期中）如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水，最后沿第三方向走100m回到家A處．問小明在河邊B處取水后是沿哪個(gè)方向行走的？并說明理由．

【分析】首先根據(jù)勾股定理逆定理得出∠ABC＝90°，然后再判斷AD∥NM，可得∠NBA＝∠BAD＝30°，再根據(jù)平角定義可得∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，進(jìn)而得到答案．
【解答】解：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【變式7-4】（2021秋?陳倉區(qū)期中）如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．
（1）求甲巡邏艇的航行方向；
（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？

【分析】（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出AC，BC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；
（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離．
【解答】解：（1）由題意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，
AC＝120×660=12（海里），BC＝50×660=5（海里），
∵AB＝13（海里），
∵AC 2+BC 2＝AB 2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝67°，
∴∠CAB＝23°，
∴甲的航向?yàn)楸逼珫|67°；
（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為：120×360=6（海里），
乙巡邏船航行3分鐘的路程為：50×360=2.5（海里），
3分鐘后，甲乙兩巡邏船相距為：62+2．52=6.5（海里）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式7-5】（2021春?淮南期中）如圖紅星村A和幸福村B在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和3千米，又知道CD的長(zhǎng)為3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用每千米20000元．
（1）請(qǐng)?jiān)贑D上選擇水廠位置，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。?br /> （2）并求出鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用．

【分析】（1）延長(zhǎng)AC到F，使AC＝CF，連接BF，交CD于E，則E為所求；
（2）過B作BN⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于N，得出矩形，求出BN，NC長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BF，即可得出答案．
【解答】解：（1）
延長(zhǎng)AC到F，使AC＝CF，連接BF，交CD于E，
則在CD上選擇水廠位置是E時(shí)，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省；

（2）
過B作BN⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于N，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BNC＝∠NCD＝∠BDC＝90°，
∴四邊形NCDB是矩形，
∴BN＝CD＝3千米，BD＝CN＝3千米，
∵AC＝CF＝1千米，
∴NF＝3千米+1千米＝4千米，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=BN2+NF2=32+42=5（千米），
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE+BE＝EF+BE＝BF＝5千米，
∴鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用是：20000元/千米×5千米＝100000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．



題型七 勾股數(shù)的辨別
【例題7】（2022秋?邢臺(tái)期末）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．1，3，2 B．12，16，20
C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3
【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．
【解答】解：A、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
B、122+162＝202，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項(xiàng)符合題意；
C、92+162≠252，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意．
D、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．

【變式7-1】（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．32，42，52 B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、∵32＝9，42＝16，52＝25，92+162＜252，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、∵32+42＜72，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、∵0.5，1.2，1.4不符合勾股數(shù)定義，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、∵92+122＝81+144＝225＝152，故選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，解題關(guān)鍵是熟記勾股數(shù)的概念．
【變式7-2】（2021秋?東源縣校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（　　）
A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．7，24，25
【分析】判斷是否為勾股數(shù)，須滿足勾股數(shù)必須為正整數(shù)，且兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．
【解答】解：A、52+122＝132，是勾股數(shù)，不符合題意，故錯(cuò)誤；
B、0.32+0.42＝0.52，但不是整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，符合題意，故正確；
C、62+82＝102，是勾股數(shù)，不符合題意，故錯(cuò)誤；
D、72+242＝252，是勾股數(shù)，不符合題意，故錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2021春?河間市期末）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？
【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．
【解答】解：正確．理由：
∵m表示大于1的整數(shù)，
∴a，b，c都是正整數(shù)，且c是最大邊，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c為勾股數(shù)．
當(dāng)m＝2時(shí)，可得一組勾股數(shù)3，4，5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．

題型八 勾股數(shù)的規(guī)律猜想題
【例題8】（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考）觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑤組勾股數(shù)為 　 　．
【分析】據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第n組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+2），第二個(gè)是：（n+1）（n+3），第三個(gè)數(shù)是：（n+2）2+1．根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可解答．
【解答】解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+2），第二個(gè)是：（n+1）（n+3），第三個(gè)數(shù)是：（n+2）2+1，
故可得第⑤組勾股數(shù)是14，48，50．
故答案為：14，48，50．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可解答．

【變式8-1】（2022秋?鹽都區(qū)期中）觀察下列勾股數(shù)組：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a＝　?。ㄌ崾荆?=32+12，13=52+12，…）
【分析】它們?nèi)齻€(gè)一組，都是勾股數(shù)，一組勾股數(shù)中，并且第一個(gè)都是奇數(shù)，并且從3開始的連續(xù)奇數(shù)，每一組勾股數(shù)的第二，第三個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方減去一除以二．
【解答】解：由題意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案為：17．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理逆定理．
【變式8-2】（2021春?思明區(qū)校級(jí)期中）以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數(shù)組：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；
（2）用含n（n≥2且n為整數(shù)）的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明．
【分析】（1）根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案；
（2）根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案．
【解答】解：（1）上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第六組勾股數(shù)為14，48，50．
（2）勾股數(shù)為n2﹣1，2n，n2+1，證明如下：
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股數(shù)，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．

【變式8-3】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期的《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這三個(gè)正整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股數(shù)．把勾股數(shù)同時(shí)乘以相同的正整數(shù)倍得到的也是勾股數(shù)，我們把這種勾股數(shù)稱為“派生勾股數(shù)”．因?yàn)?＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股數(shù)”，如果一組勾股數(shù)斜邊比一條直角邊大3，我們把這種勾股數(shù)稱為“新新勾股數(shù)”．
（1）請(qǐng)判斷9，12，16和10，24，26是否為“派生勾股數(shù)”；
（2）請(qǐng)求出斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”．
【分析】（1）根據(jù)“派生勾股數(shù)”的定義可得答案；
（2）找到斜邊小于70且與一條直角邊相差1的勾股數(shù)，再根據(jù)“新新勾股數(shù)”的定義即可求解．
【解答】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，
∴9，12，16不是“派生勾股數(shù)”；
∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，
∴10，24，26是“派生勾股數(shù)”；
（2）勾股數(shù)3，4，5，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是“新新勾股數(shù)”；
勾股數(shù)5，12，13，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是“新新勾股數(shù)”；
勾股數(shù)7，24，25，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是“新新勾股數(shù)”；
勾股數(shù)9，40，41，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，27，120，123是“新新勾股數(shù)”；
勾股數(shù)11，60，61，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得33，180，183，183﹣180＝3，33，180，183是“新新勾股數(shù)”．
綜上所述，斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”有9，12，15；15，36，39；21，72，75；27，120，123；33，180，183．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)和新定義的綜合應(yīng)用，對(duì)勾股定理逆定理以及常見的勾股數(shù)非常熟悉是解題的關(guān)鍵．

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17.2 勾股定理的逆定理

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