9.2　用樣本估計總體
9.2.4　總體離散程度的估計
　　　一組數據x1，x2，…，xn的方差和標準差數據x1，x2，…，xn的方差為________________＝____________，標準差為__________________．
(2)總體方差的加權形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k (k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1,2，…，?k)，則總體方差為S2＝___________________．
　　　樣本方差和標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為，則稱s2＝________________為樣本方差．s＝______為樣本標準差．
　　　標準差的意義標準差刻畫了數據的____________或____________，標準差越大，數據的離散程度越______；標準差越小，數據的離散程度越______．
[知識解讀]　對方差、標準差的理解(1)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越?。?2)標準差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標準差、方差為0時，樣本各數據全相等，表明數據沒有波動幅度，數據沒有離散性．
　　　　　從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測它們的株高如下：(單位：cm)甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40．問：(1)哪種玉米苗長得高？(2)哪種玉米苗長得齊？
[歸納提升]　用樣本的標準差、方差估計總體的方法用樣本估計總體時，樣本的平均數、標準差只是總體平均數、標準差的近似．在實際應用中，常常把平均數與方差結合起來進行決策．在平均值相等的情況下，比較標準差以確定穩(wěn)定性．
　　　　　在了解全校學生每年平均閱讀了多少本文學經典名著時，甲同學抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數為5，方差為9；乙同學抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數為6，方差為16．已知甲、乙兩同學抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，求合在一起后的樣本平均數與方差．(精確到0.1)
【對點練習】?　甲、乙兩支田徑隊的體檢結果為：甲隊體重的平均數為60 kg，方差為200，乙隊體重的平均數為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？
　　　　　甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示．
(2)請從下列四個不同的角度對這次測試結果進行分析：①從平均數和方差相結合看，誰的成績更穩(wěn)定；②從平均數和中位數相結合看，誰的成績好些；③從平均數和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數相結合看，誰的成績好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數的走勢看，誰更有潛力．
[解析]　(1)由圖可知，甲打靶的成績?yōu)?,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成績?yōu)?,4,6,8,7,7,8,9,9,10．則可求得，甲的成績的平均數為7，方差為1.2，中位數是7，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數為1；乙的成績的平均數為7，方差為5.4，中位數是7.5，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數為3．如下表：
(2)①甲、乙的平均數相同，乙的方差較大，所以甲的成績更穩(wěn)定．②甲、乙的平均數相同，乙的中位數較大，所以乙的成績好些．③甲、乙的平均數相同，乙命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數比甲多，所以乙的成績好些．④從折線圖上看，乙基本上呈上升趨勢，而甲趨于穩(wěn)定，故乙更有潛力．
忽略方差的統(tǒng)計意義致錯　　　　　甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續(xù)5年平均單位面積產量如下(單位：t/km2)：若某村要從中引進一種冬小麥大量種植，給出你的建議．
[錯因分析]　造成錯解的原因是只比較了兩種冬小麥的平均產量，而忽略了對冬小麥產量穩(wěn)定性的討論．
[誤區(qū)警示]　平均數反映的是樣本的平均水平，方差和標準差反映了樣本的波動、離散程度．對于形如“誰發(fā)揮更好”“誰更優(yōu)秀”的題目，除比較數據的平均值外，還應該比較方差或標準差的大小，以作出更為公正、合理的判斷．
【對點練習】? 在去年的足球甲A聯賽上，一隊每場比賽平均失球數是1.6，全年比賽失球個數的標準差為1.2；二隊每場比賽平均失球數是2.2，全年比賽失球個數的標準差是0.5．下列說法正確的有(　　)①平均來說一隊比二隊防守技術好；②二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定；③一隊有時表現很差，有時表現又非常好；④二隊很少不失球．A．1個B．2個C．3個D．4個
[解析]　對于①，一隊每場比賽平均失球數是1.6，二隊每場比賽平均失球數是2.2，所以平均來說一隊比二隊防守技術好，故①正確；對于②，一隊全年比賽失球個數的標準差為1.2，二隊全年比賽失球個數的標準差是0.5，所以二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定，故②正確；對于③，一隊全年比賽失球個數的標準差為1.2，二隊全年比賽失球個數的標準差是0.5，所以一隊有時表現很差，有時表現又非常好，故③正確；對于④，二隊每場比賽平均失球數是2.2，全年比賽失球個數的標準差是0.5，所以二隊很少不失球，故④正確．故選D．
2．若樣本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均數為10，其方差為2，則對于樣本2x1＋2,2x2＋2，…，2xn＋2，下列結論正確的是(　　)A．平均數為20，方差為8B．平均數為20，方差為10C．平均數為21，方差為8D．平均數為21，方差為10[解析]　由題意得，樣本2x1＋2,2x2＋2，…，2xn＋2的平均數為2×10＝20，方差為22×2＝8．故選A．
3．將10名小學生的身高(單位：cm)分成了甲、乙兩組數據，甲組：115,122,105,111,109；乙組：125,132,115,121,119．兩組數據中相等的數字特征是(　　)A．中位數、極差B．平均數、方差C．方差、極差D．極差、平均數[解析]　甲組數據由小到大依次排列為105,109,111,115,122，故極差為17，平均數為112.4，中位數為111，方差為33.44；乙組數據由小到大依次排列為115,119,121,125,132，故極差為17，平均數為122.4，中位數為121，方差為33.44．因此，兩組數據相等的是極差和方差．故選C．
4．已知甲、乙兩名同學在五次數學測驗中的得分如下：甲：85,91,90,89,95；乙：95,80,98,82,95．則甲、乙兩名同學數學成績(　　)A．甲比乙穩(wěn)定B．甲、乙穩(wěn)定程度相同C．乙比甲穩(wěn)定D．無法確定
5．已知樣本數據為40,42,40，a,43,44，且這個樣本的平均數為43，則該樣本的標準差為______．

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