二次函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1．能夠表示簡單變量間的二次函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)自變量的取值范圍．2．理解二次函數(shù)的意義與特征，能判斷一個(gè)給定的函數(shù)是否為二次函數(shù)．3．進(jìn)一步增強(qiáng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力，體會(huì)二次函數(shù)在應(yīng)用中的作用．教學(xué)重難點(diǎn)理解二次函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式；從實(shí)例中抽象出二次函數(shù)的定義，分析實(shí)例中的二次函數(shù)關(guān)系．教學(xué)過程導(dǎo)入新課【導(dǎo)語一】 回憶一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義、圖象特征，它們對解決實(shí)際問題起了很大的作用，從而導(dǎo)入新課．【導(dǎo)語二】 觀察海灣戰(zhàn)爭期間，導(dǎo)彈攔截的瞬間圖片(或在黑板上畫出示意圖)．思考：為何導(dǎo)彈長了眼睛，它的運(yùn)動(dòng)路線有何規(guī)律呢？這些需要我們對函數(shù)作進(jìn)一步了解，從而導(dǎo)入新課．【導(dǎo)語三】 觀察噴泉水的流動(dòng)弧線，籃球運(yùn)動(dòng)的路線，……探究這些優(yōu)美的弧線與什么函數(shù)有關(guān)呢？推進(jìn)新課一、合作探究【問題1】 想一想：①正方體的棱長為x，表面積為y，則y＝6x2(用含x的代數(shù)式表示)．②圓的面積為S，半徑為R，則S＝πR2(用含R的代數(shù)式表示)．設(shè)計(jì)意圖： 從簡單的例子感知二次函數(shù)的形式．【問題2】 某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長40 m的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面投放魚苗，要使圍成的水面面積為75 m2，則它的長應(yīng)是多少米？(只列方程，不求解)思路分析： 矩形水面的面積應(yīng)等于矩形水面的長乘寬，故可設(shè)出矩形水面的長為x m，然后用總長表示出水面的寬為(20－x)m，就可表示出水面面積為x(20－x)，從而可列出方程．【問題3】 某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長40 m的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面投放魚苗，要使圍成的水面面積最大，它的長應(yīng)是多少米？(列出關(guān)系式)思路分析： 矩形水面的面積應(yīng)等于矩形水面的長乘寬，故可設(shè)出矩形水面的長為x m，然后用總長表示出水面的寬為(20－x)m，再設(shè)它的面積為S m2，就可表示出水面面積與矩形長的關(guān)系式為S＝x(20－x)，整理得S＝－x2＋20x.這里的取值應(yīng)為0＜x＜20.【問題4】 一種商品的售價(jià)為每件10元，一周可賣出50件．市場調(diào)查表明：這種商品如果每件漲價(jià)1元，每周要少賣5件．已知該商品進(jìn)價(jià)每件為8元，問每件商品漲價(jià)多少元，才能使利潤最多？思路分析： 可設(shè)每件商品漲價(jià)x元，每周獲得的利潤為y元．根據(jù)“每周獲得的利潤＝每件的利潤×每周賣的件數(shù)”，可推理如下：漲價(jià)0元時(shí)，每件的利潤為(10－8)元，每周賣的件數(shù)為50件；漲價(jià)1元時(shí)，每件的利潤為(10＋1－8)元，每周賣的件數(shù)為(50－5)件；漲價(jià)2元時(shí)，每件的利潤為(10＋2－8)元，每周賣的件數(shù)為(50－5×2)件；漲價(jià)3元時(shí)，每件的利潤為(10＋3－8)元，每周賣的件數(shù)為(50－5×3)件；漲價(jià)4元時(shí)，每件的利潤為(10＋4－8)元，每周賣的件數(shù)為(50－5×4)件；……漲價(jià)x元時(shí)，每件的利潤為(10＋x－8)元，每周賣的件數(shù)為(50－5x)件．由此可列關(guān)系式為y＝(10＋x－8)(50－5x)，整理得y＝－5x2＋40x＋100.【問題5】 一種商品的售價(jià)為每件10元，一周可賣出50件．市場調(diào)查表明：這種商品如果每件降價(jià)1元，每周要多賣5件．已知該商品進(jìn)價(jià)每件為8元，問每件商品降價(jià)多少元，才能使利潤最多？思路分析： 根據(jù)上題的分析，同樣可進(jìn)行推理：降價(jià)x元時(shí)，每件的利潤為(10－x－8)元，每周賣的件數(shù)為(50＋5x)件．從而可列出關(guān)系式為y＝(10－x－8)(50＋5x)，即y＝－5x2－40x＋100.【問題6】 觀察比較以下關(guān)系式：①y＝6x2；②S＝πR2；③S＝－x2＋20x；④y＝－5x2＋40x＋100；⑤y＝－5x2－40x＋100.函數(shù)①②③④⑤有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)．共同點(diǎn)：A．等式的左邊為函數(shù)，等式的右邊為自變量的二次式；B．等式的右邊可統(tǒng)一為“ax2＋bx＋c”的形式．師生共同歸納二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．注意： (1)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a≠0是必備條件，切不可忽視．而b，c的值可以為任意實(shí)數(shù)；(2)定義是關(guān)于x的二次整式.二、鞏固提高1．二次函數(shù)定義的判定及其應(yīng)用【應(yīng)用示例】 下列函數(shù)是二次函數(shù)的是(　　)．A．y＝8x2＋1　　　 B．y＝2x－3   C．y＝3x2＋    D．y＝解析：A符合二次函數(shù)定義，故它是二次函數(shù)；B是一次函數(shù)；C，D都出現(xiàn)分式，故C，D都不是二次函數(shù)．答案：A點(diǎn)評(píng)：緊扣定義中的兩個(gè)特征：(1)a≠0；(2)ax2＋bx＋c是整式(二次三項(xiàng)式)．2．實(shí)際問題中的二次函數(shù)【應(yīng)用示例】 一個(gè)正方形的邊長是12 cm.若從中挖去一個(gè)長為2x cm，寬為(x＋1) cm的小長方形，剩余部分的面積為y cm2.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出y是x的什么函數(shù)；(2)當(dāng)小長方形的長中x的值為2,4時(shí)，相應(yīng)的剩余部分面積是多少？分析：畫出示意圖如下，剩余面積＝正方形面積－小長方形面積．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.∴y是x的二次函數(shù)．(2)當(dāng)x＝2,4時(shí)，相應(yīng)的y的值分別為132 cm2,104 cm2.點(diǎn)撥：幾何圖形的面積一般需要畫圖分析，相關(guān)線段必須先用x的代數(shù)式表示出來．三、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？(1)y＝5x＋1；(2)y＝4x2－1；(3)y＝2x3－3x2；(4)y＝5x4－3x＋1.2．二次函數(shù)y＝ax2中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，則a＝__________.3．已知函數(shù)y＝(a＋2)x2＋x＋3是二次函數(shù)，則常數(shù)a的取值范圍是__________．4．已知函數(shù)y＝(m＋1)＋(m－1)x(m是常數(shù))．(1)m為何值時(shí)，它是二次函數(shù)？(2)m為何值時(shí)，它是一次函數(shù)？5．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù))中，當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，(1)它是二次函數(shù)？(2)它是一次函數(shù)？(3)它是正比例函數(shù)？本課小結(jié)1．通過實(shí)際問題情境，引入二次函數(shù)的概念，讓學(xué)生在觀察、歸納中加深對二次函數(shù)的理解與掌握．2．二次函數(shù)的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中x是自變量．一、二次函數(shù)的取值范圍1．一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)．如：二次函數(shù)y＝3x2＋1中自變量x的取值范圍就為全體實(shí)數(shù)．2．實(shí)際問題中的二次函數(shù)，其自變量的取值范圍必須使實(shí)際問題有意義．如：底面是邊長為x cm的正方形，高為0.5 cm的長方體的體積為y cm3.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．因?yàn)檎叫蔚倪呴L為正數(shù)，所以此題自變量x的取值范圍應(yīng)為x＞0.二、二次函數(shù)的誤區(qū)警示二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的內(nèi)容，也是各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，不少同學(xué)在學(xué)習(xí)時(shí)由于概念不清、考慮不周，遇到相關(guān)問題有時(shí)感到茫然，從而致使錯(cuò)誤百出．現(xiàn)將誤區(qū)作出警示．【例題】  已知y＝(m－4)＋2x－3是二次函數(shù)，求m的值．錯(cuò)解：根據(jù)題意，有m2－3m－2＝2，即m2－3m－4＝0.解得m1＝－1，m2＝4.點(diǎn)擊：根據(jù)二次函數(shù)的定義，要使y＝(m－4)·＋2x－3是二次函數(shù)，m不但應(yīng)滿足m2－3m－2＝2，而且還應(yīng)滿足m－4≠0，二者缺一不可，上述解法因忽略了隱含條件m－4≠0，而導(dǎo)致錯(cuò)誤．正解：根據(jù)題意，知解得m＝－1.警示：解這類題目要特別注意防止漏掉“二次項(xiàng)系數(shù)不等于0”這個(gè)隱含條件．

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21.1 二次函數(shù)

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