?第21章　二次函數(shù)與反比例函數(shù)
21.4　二次函數(shù)的應(yīng)用
第2課時(shí) 利用二次函數(shù)模型解決拋物線型建筑問(wèn)題
教學(xué)目標(biāo)
1.熟練掌握二次函數(shù)模型的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).
2.初步體會(huì)利用建模的思想解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.
3.能夠初步掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟.
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：使學(xué)生初步掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟，體會(huì)建模的數(shù)學(xué)思想.
難點(diǎn)：建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
【問(wèn)題1】如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2 m時(shí)，水面寬4 m，若水面下降2 m，則水面寬度增加 m.

探究新知
【活動(dòng)】學(xué)生自主辨析：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，-2)，可得-2＝a×22，解得a＝，所以這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.當(dāng)水面下降2 m時(shí)，拋物線的縱坐標(biāo)為-4，則當(dāng)y＝-4時(shí)，得，解得x＝，則此時(shí)的水面寬度為m，所以水面下降2 m，水面寬度增加-4m.
【總結(jié)】1.通過(guò)上述例題的分析，我們可以看出：讀題是解決實(shí)際問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，一定要把實(shí)際問(wèn)題所要表述的內(nèi)容搞清楚，這需要逐字逐句地把問(wèn)題看懂，這是建立數(shù)學(xué)模型的前提.
2.(引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)題目歸納)解決拋物線型的建筑問(wèn)題的關(guān)鍵：
合理建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式，利用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.
【問(wèn)題2】從房屋的窗戶的形狀如圖所示，它的上半部分是四個(gè)小扇形組成的半圓，下半部分是由三個(gè)相同的小矩形組成，制作窗框的材料總長(zhǎng)為15 m，設(shè)半圓的半徑為x m，窗戶的截面面積為S m2.
(1)求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出x的取值范圍；
(2)畫(huà)出(1)中所求函數(shù)的圖象；
(3)當(dāng)x的長(zhǎng)度為多少時(shí)，S有最大的值？最大的值是多少？(精確到0.01)

【思考】觀察圖形思考小矩形的寬與半圓的半徑有什么關(guān)系？如何利用二次函數(shù)結(jié)合矩形面積公式列出函數(shù)表達(dá)式？
【互動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考，老師指導(dǎo))試寫(xiě)出解題過(guò)程.
解：(1)設(shè)矩形的寬為y m，
∵材料的總長(zhǎng)為15 m，
∴4y+7x+πx＝15，
∴y＝(15-7x-πx)，
從而S＝2x?(15-7x-πx)+＝-3.5x2+7.5x，
即S＝-3.5x2+7.5x.
(2)由(1)知S＝-3.5x2+7.5x＝-0.5x(7x-1.5)＝ ，
則函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，(1.5，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，開(kāi)口向下，其大致圖象如圖所示.

(3)如圖所示，當(dāng)x＝≈1.07時(shí)，S最大值＝≈4.02.
答：當(dāng)x約為1.07 m時(shí)，S有最大值，此時(shí)S的最大值約為4.02 m2.
【問(wèn)題3】下面讓你們來(lái)解決下面的這道題：
一輛寬為2 m的貨車(如圖(1))，要通過(guò)一條拋物線形隧道(如圖(2)).
為確保車輛安全通行，規(guī)定貨車車頂左右兩側(cè)離隧道內(nèi)壁的垂直高度至少為
0.5 m.已知隧道的跨度AB為8 m，拱高為4 m.
(1)若隧道為單車道，貨車高為3.2 m，該貨車能否安全通行？為什么？
(2)若隧道為雙車道，且兩車道之間有0.4 m的隔離帶，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該貨車能夠通行的最大安全限高.

　　　　　　
(1) 　　　　　　　　　　　　(2)
【互動(dòng)】(引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的信息，結(jié)合圖形和已知條件能確定出哪些量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如何引入二次函數(shù)解決問(wèn)題)
以AB所在直線為x軸，線段AB中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出其函數(shù)表達(dá)式，再求出x＝1時(shí)y的值，從而做出判斷.
【解題過(guò)程】(1)貨車能安全通行.理由如下：

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+4，
將B(4，0)代入，得16a+4＝0，
解得a＝-，
∴ 拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.
由x＝1，可得y＝3.75.
∵ 3.75-0.5＝3.25＞3.2，
∴ 貨車能夠安全通行.
(2) ∵ 兩車道之間有0.4 m的隔離帶，∴ 由，可得y＝2.79.
∵ 2.79-0.5＝2.29（m），
∴ 貨車能夠通行的最大安全限高為2.29 m.
【總結(jié)】
1.同學(xué)們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；
2.在解題時(shí)，能夠直接弄清函數(shù)形式的可直接利用所給的函數(shù)關(guān)系求解，若并不能直接確定函數(shù)關(guān)系的，則應(yīng)按照題目指明的相等關(guān)系建立函數(shù)模型，再進(jìn)行求解.


課堂練習(xí)
1.某廣場(chǎng)有一個(gè)小型噴泉，水流從垂直于地面的水管OA噴出，OA長(zhǎng)為1.5 m.水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點(diǎn)B到O的距離為3 m.如圖（2），建立平面直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間近似滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝ax2+x+c(a≠0)，則水流噴出的最大高度為(　　)

(1)　　　　　　　　　　　　(2)
A.1 m B. m C.2 m D. m
2.如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20 m，如果水位上升3 m達(dá)到警戒水位時(shí)，水面CD的寬是10 m.如果水位以0.25 m/h的速度上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過(guò)　 　h水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O.

3.廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)，下圖是某座拋物線形的廊橋示意圖.已知水面AB寬40米，拋物線最高點(diǎn)C到水面AB的距離為10米，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，求這兩盞燈的水平距離EF.(結(jié)果保留根號(hào))

參考答案
1.C 2.4
3.解：如圖，以AB所在直線為x軸、線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

由題意知，A(-20，0)，B(20，0)，C(0，10).
設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B，C的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x+20)(x-20)(a＜0).
把點(diǎn)C(0，10)的坐標(biāo)代入，得
10＝a(0+20)(0-20)，
解得a＝-，
則該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝-(x+20)(x-20)＝-x2+10.
把y＝8代入，得-x2+10＝8，
解得x1＝4，x2＝-4.
所以兩盞警示燈之間的水平距離為
EF＝|x1-x2|＝|4-(-4)|＝8(m).
課堂小結(jié)
1.本節(jié)課的重點(diǎn)是了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本思想.
2.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:
(1)認(rèn)知讀題、審清題意.
(2)設(shè)有關(guān)符號(hào)表示題目中的有關(guān)量.
(3)若已知題目中的函數(shù)關(guān)系，則直接利用函數(shù)的觀點(diǎn)解題；若未知題目的函數(shù)關(guān)系，則根據(jù)題目中的等量關(guān)系用相關(guān)的符號(hào)來(lái)建立函數(shù)關(guān)系，并用函數(shù)的觀點(diǎn)解答問(wèn)題.

布置作業(yè)

某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似拋物線y＝ x2的形狀，今在一個(gè)坡度為1∶5的斜坡BD上，沿水平距離間隔50米架設(shè)兩個(gè)固定電纜位置的塔柱AB，CD，塔柱高度均為20米(如圖)，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BE方向?yàn)閤軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，解決下列問(wèn)題：
(1)求電纜(AC段)所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求下垂的電纜與斜坡BD的最近距離.

【答案】解：(1)由題意設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+bx+c，
易知A(0，20)，C(50，30)，
代入，得
解得
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2-x+20.
(2)∵斜坡的坡度為1∶5，
∴斜坡所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x.
設(shè)一條與x軸垂直的直線x＝m與拋物線交于點(diǎn)M，與斜坡交于點(diǎn)G，
則MG＝m2-m+20-m＝(m-25)2+13.75，
∴當(dāng)m＝25時(shí)，MG有最小值，最小值為13.75，
即下垂的電纜與地面的最近距離為13.75米.

板書(shū)設(shè)計(jì)

【問(wèn)題1】

【問(wèn)題2】

解決拋物線型的建筑問(wèn)題的關(guān)鍵：
合理建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式，再利用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，并由二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.
教學(xué)反思





































教學(xué)反思










































教學(xué)反思










































教學(xué)反思










































教學(xué)反思










































教學(xué)反思




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