在數(shù)形結(jié)合中認(rèn)識直線與圓的位置關(guān)系——《2.5直線與圓的位置關(guān)系（1）》課堂教學(xué)案例與反思摘要：數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。本課例采用“問題引領(lǐng)，自主構(gòu)建”數(shù)學(xué)教學(xué)模式，以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.探究時通過學(xué)生的動手實踐、自主探索和合作交流展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展和解決的過程.關(guān)鍵詞: 問題串；數(shù)形結(jié)合；直線與圓的位置關(guān)系  “數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一.我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。《2.5直線與圓的位置關(guān)系（1）》一課，對于直線與圓的位置的研究，反映了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系：由圖形的位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系，由數(shù)量關(guān)系判定圖形的位置關(guān)系.這里的數(shù)形結(jié)合，既是本節(jié)課的重要內(nèi)容，又是重要的思想方法.探究直線與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是將直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點（圓心到直線的垂線段的垂足）與圓的位置關(guān)系.為了解決這個難點，我采用“問題引領(lǐng)，自主構(gòu)建”數(shù)學(xué)教學(xué)模式，以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題.下面是這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計及反思：一、教學(xué)目標(biāo)1．通過操作、觀察直線與圓的相對運(yùn)動，理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系.2．通過觀察、操作探索“直線與圓的位置關(guān)系”和“圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系”的對應(yīng)關(guān)系，從而實現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.3．在“觀察、操作-猜想、探索-說理”的過程中，引導(dǎo)學(xué)生有意識地反思其中所滲透的“類比”“分類”、“歸納”、“數(shù)學(xué)結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)良好數(shù)學(xué)觀的形成.二、教學(xué)重、難點：會正確判斷直線與圓的位置關(guān)系三、教學(xué)過程（一）回顧舊知，問題引入1復(fù)習(xí)：回顧點與圓的位置關(guān)系。2.欣賞《海上日出》的視頻，思考：從這個自然現(xiàn)象你看到了哪些圖形？3.引入課題---直線與圓的位置關(guān)系設(shè)計意圖   以實際生活中的日出問題作為知識學(xué)習(xí)的切入點，讓學(xué)生感受實際問題中所蘊(yùn)含的直線與圓的位置關(guān)系，突出數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，讓學(xué)生不再感到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實無關(guān)，并對學(xué)習(xí)對象產(chǎn)生親切感，進(jìn)而愉快地投入到數(shù)學(xué)活動中.   （二）觀察操作，提出問題操作一：請你利用自制的工具再現(xiàn)日出的整個情景并用簡筆畫畫出.1.請你嘗試將直線與圓的位置關(guān)系分類，然后小組討論.（1）       交流. 第一種分法：根據(jù)直線與圓的公共點的個數(shù)分為三類：直線與圓有兩個公共點、直線與圓只有一個公共點、直線與圓沒有公共點.第二種分法：根據(jù)圓心到直線距離與半徑大小的關(guān)系分為三類：圓心到直線距離大于半徑、圓心到直線距離等于半徑、圓心到直線距離等于半徑.（2）       質(zhì)疑：直線與圓的公共點的個數(shù)最多是兩個嗎？有可能是三個嗎？歸納：因為不在直線上的三個點確定一個圓，所以直線與圓的公共點的個數(shù)不可能是三個，因此直線與圓的公共點的個數(shù)最多是兩個。2.畫出表示直線與圓的位置關(guān)系的示意圖.結(jié)合示意圖歸納得出直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離設(shè)計意圖  一是讓學(xué)生在活動中感受直線與圓的位置關(guān)系的變化：（1）直線與圓的公共點的個數(shù)有變化；（2）圓心到直線的距離有變化；二是通過操作活動引導(dǎo)學(xué)生歸納直線與圓的三種位置關(guān)系，介紹直線與圓相交、相切、相離的概念。操作二：畫圖表示圓心到直線的距離.在操作一的圖形中，分別過點O作直線l的垂線，垂足為點D,觀察點D與⊙O的位置關(guān)系，思考：（1）點D與⊙O的位置關(guān)系有哪幾種？點D與⊙O位置關(guān)系與直線與圓的位置關(guān)系有怎樣的聯(lián)系？(2)如果⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離OD長為d,d與r的大小關(guān)系有哪幾種情況？d與r的數(shù)量關(guān)系與直線與圓的三種位置關(guān)系之間有怎樣的聯(lián)系？歸納：（1）直線與圓的位置關(guān)系決定了d與r的數(shù)量關(guān)系，反之d與r的數(shù)量關(guān)系又可判定直線與圓的位置關(guān)系，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合的思想.（2）判定直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：①由直線與圓的公共點的個數(shù)來判斷；②由圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系來判斷.簡稱“一看二算”，“看”更直接但容易有誤差，算更準(zhǔn)確，因此在實際應(yīng)用中，常采用第二種方法判定.互動內(nèi)容：我來問，你來答設(shè)⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,請一名同學(xué)提出一個與直線與圓的位置關(guān)系有關(guān)的問題，并指明另外一人解答，其他同學(xué)舉牌做出判斷（藍(lán)牌代表反對，紅牌代表同意）.設(shè)計意圖  通過操作引領(lǐng)學(xué)生畫出直線與圓的三種位置關(guān)系的圖示定義.問題1的提出是引導(dǎo)學(xué)生觀察垂足D與⊙O的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生類比“點與圓的位置關(guān)系”，進(jìn)而將直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點（圓心到直線的垂線段的垂足）與圓的位置關(guān)系。這樣在使學(xué)生體會到垂足D與⊙O的三種位置關(guān)系分別與圓的三種位置關(guān)系相對應(yīng)的同時也滲透了類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.問題2的提出是引導(dǎo)學(xué)生探索圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系。“我來問，你來答”這個互動環(huán)節(jié)，通過學(xué)生自己提出問題，自行解答問題將所學(xué)知識加以鞏固.（三）意義建構(gòu)，解決問題問題1： 如圖1，在Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm.(1)以點A為圓心，4cm為半徑的⊙A與直線BC的位置關(guān)系是___________；（2）以點B為圓心的⊙B與直線AC相離，則⊙B 的半徑R的取值范圍是________；（3）請你結(jié)合已知條件，提出一個類似的問題并解答，然后小組相互交流.    問題2：在△ABC中，∠ ABC=30°，半徑為1cm的⊙M的圓心M在線段BA上，且與點B的距離為6cm。(1)⊙M直線BC的位置關(guān)系是___________；（2）如果⊙M以1cm/s的速度沿A向B的方向運(yùn)動，那么        秒后與直線BC相切.變式：在△ ABC中，∠ B=30°，半徑為1cm的⊙M的圓心M在直線BA上，且與點B的距離為6cm，如果⊙M以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么_ _     秒后與直線BC相切.設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)是通過對教材的適當(dāng)改編與重組，△ ABC的形狀從特殊到一般設(shè)計了一組問題及其變式。在變化中解決問題旨在引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行分析，體會到運(yùn)用直線與圓的位置的判定方法判定直線與圓的位置關(guān)系的本質(zhì)是：要判定直線與圓的位置關(guān)系就要比較圓心這個點C到直線AB的距離與半徑之間的大小，因此，要做出圓心C到直線AB的垂線段CD，由CD與⊙C半徑之間的數(shù)量關(guān)系，便可以判定直線AB與⊙C的位置關(guān)系；反過來，也可以通過點到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系。這樣在層層推進(jìn)中由形的關(guān)系定數(shù)量的關(guān)系，由數(shù)量的關(guān)系定形的關(guān)系，既強(qiáng)化了本節(jié)的知識內(nèi)容，又滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法.（四）反思交流，歸納內(nèi)化請你選擇下面一個或幾個關(guān)鍵詞談?wù)劚竟?jié)課的體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅、困惑、成功……設(shè)計意圖   充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生學(xué)會自我反思，了解學(xué)習(xí)重點，找出學(xué)習(xí)疑點.教師引領(lǐng)學(xué)生既總結(jié)知識點，也對本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想予以總結(jié)。這樣的課堂整理，旨在引導(dǎo)學(xué)生反思探索過程，對自身活動進(jìn)行回顧、總結(jié)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，從而形成科學(xué)的學(xué)習(xí)觀。(五)當(dāng)堂訓(xùn)練，鞏固新知（必做題）1．圓的直徑長為12，如果直線l和圓相離，且圓心到直線的距離為d，那么d滿足的條件是                  2.在平面直角坐標(biāo)系中，以點（-3,4）為圓心，4為半徑的圓與x軸有      個公共點，與y軸的位置關(guān)系是          .                                                         3.⊙O的半徑為2，直線l上有點P，且OP=2,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是 （     ）                                                          A.相離        B.相切            C.相交         D.相切或相交（選作題） 如圖， O為原點，點A的坐標(biāo)為（4，3），⊙A的半徑為2．過A作直線平行于軸，點P在直線上運(yùn)動．（1）當(dāng)點P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo)           ；（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由．設(shè)計意圖   本環(huán)節(jié)設(shè)計了必做題和選做題，體現(xiàn)當(dāng)堂訓(xùn)練、分層提高的思想。必做題當(dāng)堂完成后進(jìn)行點評，進(jìn)一步強(qiáng)化、落實本節(jié)課知識、方法的理解、應(yīng)用。選做題進(jìn)一步讓學(xué)生理解判定直線與圓的位置關(guān)系的判定方法就是比較圓心這個點到直線的距離與半徑之間的大小。      (六)布置作業(yè)1.(必做題)課本135頁1、2、3題.2.(選做題) 如圖,海中有一個小島P,該島四周12海里內(nèi)暗礁.今有貨輪由西向東航行,開始在A點觀測P在北偏東60°處, 行駛10海里后到達(dá)B點觀測P在北偏東45°處,貨輪繼續(xù)向東航行.你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?四、回顧與反思本節(jié)課采取了問題啟發(fā)式教學(xué)法，上課伊始就以實際生活中的日出問題作為知識學(xué)習(xí)的切入點，突出數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，讓學(xué)生不再感到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實無關(guān)，并對學(xué)習(xí)對象產(chǎn)生親切感，進(jìn)而愉快地投入到數(shù)學(xué)活動中. “直線與圓的位置關(guān)系”這個新知識的形成環(huán)節(jié)，以問題為引領(lǐng)引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖，課堂上通過操作交流、仔細(xì)觀察、大膽猜想、探索說理，將動手操作與合情推理有效結(jié)合，讓學(xué)生在直觀的基礎(chǔ)上說理，體現(xiàn)合情推理與演繹推理的融合，促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)地、能動地認(rèn)識世界的良好品質(zhì). “直線與圓的位置關(guān)系”和“圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系”的對應(yīng)關(guān)系這個問題的探究，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗——點與圓的位置關(guān)系作為新知識的生長點，學(xué)生在動手實踐、自主探索和合作交流中展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展和解決的過程，讓學(xué)生深刻理解知識的來龍去脈.推導(dǎo)出“直線與圓的位置關(guān)系”和“圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系”的對應(yīng)關(guān)系后，馬上進(jìn)行的“我來問，你來答”這個互動環(huán)節(jié)，通過學(xué)生自己提出問題，自行解答問題將所學(xué)知識加以了鞏固.問題一、二是以教材為軸心，對教材內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整和拓展，拓寬了知識背景， “勾股定理”和“直線與圓的位置關(guān)系”的相融合，將學(xué)生所學(xué)知識與學(xué)生的認(rèn)知起點聯(lián)系起來，在探索過程中，教師鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，同伴互助、合作探究等方法解決問題，從而使學(xué)生自主構(gòu)建認(rèn)知建構(gòu)和經(jīng)驗世界，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)力發(fā)展.同時在整個探索過程中，直觀感知、合情推理與嚴(yán)格驗證相結(jié)合，以學(xué)生的活動為核心，適時滲透了“類比”、“轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類”等數(shù)學(xué)思想和方法，有效提高了學(xué)生的推理能力。學(xué)生在基本達(dá)成目標(biāo)后，對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行交流歸納整理，從而實現(xiàn)從感性到理性認(rèn)識的提升，促進(jìn)知識的鞏固和強(qiáng)化，使知識序列條理化、系統(tǒng)化. “當(dāng)堂訓(xùn)練”環(huán)節(jié)設(shè)計的必做題和選做題是讓不同基礎(chǔ)的同學(xué)進(jìn)行不同的操練，在操練中讓學(xué)生對獲取的知識和體驗進(jìn)行存儲，以強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，從而讓知識結(jié)構(gòu)更牢固.

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2.5 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 蘇科版

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