圓中的相關(guān)計算 弧長和扇形面積                                    一、學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)中我們鞏固幾個公式，都比較復(fù)雜，我們需要用心記憶。二、知識梳理 1、弧長公式n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為2、扇形面積公式，其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側(cè)面積，其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。 4、弦切角定理弦切角：圓的切線與經(jīng)過切點的弦所夾的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對的圓周角。如下圖，切線AB和弦AC的夾角∠2等于弧AC所對的圓周角，即：∠BAC=∠ADC 5、切割線定理PA為⊙O切線，PBC為⊙O割線，則 6.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）說明：幾何語言：　　若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）   三、典例精講題型一：例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點，，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為     。     練習(xí)、如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R．
（Ⅰ）求證：RP=RQ；    （Ⅱ）若OP=PA=1，試求PQ的長            題型二：求陰影部分面積例1、若圓錐的底面周長為20π，側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為120°，則圓錐的側(cè)面積為　　　　　　．例2、正方形ABCD的邊長為2cm，以B點為圓心，AB長為半徑作，則圖中陰影部分的面積為（    ）A、（4— π）cm2          B、（8—π ）cm2  C 、（2π —4）cm2       D、（π —2）cm2  例3、要在面積為1256m2的三角形廣場ABC的三個角處各建一個半徑相同的扇形草坪，要求草坪總面積為廣場面積的一半，那么扇形的半徑應(yīng)是      m（π取3.14）    例4、已知圓柱的底面半徑為3，高為8，求得這個圓柱的側(cè)面積為（     ）A、48π       B、48      C、24π     D、24 四、考點總結(jié)（1）、考點1、圓周長：C=2πR       2、弧長：L= nπR3、扇形面積：S=nπR2=LR4、圓柱的側(cè)面積  S=2πr·h （r是底面積，r是底面半徑）S表 =S側(cè) + 2S底=2πr·h+ 2πr25、圓錐的側(cè)面積  S=L·2πr=πrL（L是母線，r是底面半徑）  S表=S側(cè) + S底=πrL+πr2（2）、難點1、圓錐、圓柱側(cè)面展開圖的計算2、弓形面積的求法：① 當(dāng)弓形的弧是劣弧時 S弓形=S扇形－S▲   ② 當(dāng)弓形的弧是優(yōu)弧時S弓形=S扇形+S▲  2、陰影部分面積的計算：陰影部分的面積一般是不規(guī)則圖形的面積，一般不能直接利用公式，常采用① 割補法  ② 拼湊法  ③ 等積變形法           題型三;圓錐側(cè)面積例1、如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，求這個圓錐的側(cè)面積．解：根據(jù)條件得：圓錐母線長為10cm，所以圓錐側(cè)面積為：S=πrL=π·6·10=60π變式題：如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，則將該圓錐沿母線剪開后所得扇形對應(yīng)的圓心角為            例2、AB是⊙O的直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD的延長線交于點C，若CE=2，則圖中陰影部分的面積是（    ）A、π－B、π                                                 C、π－             D、π 變式題：AB是⊙O的直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD的延長線交于點C，若OA=2，則圖中陰影部分的面積是（    ）      3、已知矩形ABCD的一邊AB=5cm,另一邊AD=2cm，求：以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓柱的表面積   變式題：已知矩形ABCD的一邊AB=10πcm,另一邊AD=4cm，求：將BC、AD邊重合后所得圓柱的體積          五、中考視窗1、如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短D路線的長度是             (結(jié)果保留根式)．         解、小蟲爬行的最短路線的長度是=                              =2                2  如圖，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O是AB的中點，⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E．設(shè)⊙O交OB于F，連DF并延長交CB的延長線于G．（1）∠BFG與∠BGF是否相等？為什么？（2）求由DG、GE和弧ED圍成圖形的面積（陰影部分）．            六、鞏固練習(xí)1、鐘表的軸心到分針針端的長為5cm，那么經(jīng)過40分鐘，分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是  （A）    （B） （C）   （D）2、已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑與母線長的比為（    ）A．1：2    B．2：1    C．1：4   D．4：13、如圖，在△ABC 中，BC ＝4，以點A為圓心、2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交 AC于F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是（   ）．A．4－π       B．4－π        C．8－π       D．8－π 4、圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側(cè)面積為（    ）A. 60πcm2　　　　B. 45πcm2　　　　　　C. 30πcm2　　　　D15πcm2  5、如圖1，O為圓柱形木塊底面的圓心，過底面的一條弦AD，沿母線AB剖開，得剖面矩形ABCD，AD＝24 cm，AB＝25 cm．若的長為底面周長的，如圖2所示．　　(1)求⊙O的半徑；）                                                     (2)求這個圓柱形木塊的表面積．(結(jié)果可保留??和根號)  弧長和扇形面積及圓錐、圓柱面積答案 七、 課后作業(yè)一、填空1.兩個同心圓的半徑差為5，其中一個圓的周長為15π，則另一個圓的周長為_____.2.已知a、b、c分別是正六邊形的一邊、最短對角線和最長對角線，則a∶b∶c為_____.3.已知Rt△ABC，斜邊AB=13 cm，以直線BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個側(cè)面積為65π cm2的圓錐，則這個圓錐的高等于_____.4.已知在同一平面內(nèi)圓錐兩母線在頂點最大的夾角為60°，母線長為8，則圓錐的側(cè)面積為_____.5.已知圓柱的底面半徑長和母線長是方程4x2－11x+2=0的兩個根，則該圓柱的側(cè)面展開圖的面積是_____.6.圓內(nèi)接正方形的一邊切下的一部分的面積等于2π－4，則正方形的邊長是_____，這個正方形的內(nèi)切圓半徑是_____.7.要制造一個圓錐形的煙囪帽，如圖1，使底面半徑r與母線l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形鐵皮時，圓心角應(yīng)取_____.8.將一根長24 cm的筷子，置于底面直徑為5 cm，高為12 cm的圓柱形水杯中(如圖2).設(shè)筷子露在杯子外面的長為h cm，則h的取值范圍是_____.    圖1                       圖2二、選擇9.已知正三角形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r∶a∶R等于（   ）A.1∶2∶2   B.1∶2∶2   C.1∶2∶   D.1∶∶210.如圖3，△ABC是正三角形，曲線ABCDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中、   、      、…圓心依次按A、B、C循環(huán)，它們依次相連接，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是（     ） A.8π             B.6π             C.4π            D.2π11.如圖4，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB、AC的夾角為120°，AB長為30 cm，貼紙部分BD長為20 cm，貼紙部分的面積為（    ）A.800π cm2           B.500π cm2           C.π cm2        D.π cm212.已知如圖5，兩同心圓中大圓的半徑OA、OB交小圓于C、D，OC∶CA=3∶2，則和的長度比為（）A.1∶1             B.3∶2             C.3∶5            D.9∶2513.如圖6，AB為半圓O的直徑，C是半圓上一點，且∠COA=60°，設(shè)扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（    ）A.S1<S2<S3            B.S2<S1<S3             C.S1<S3<S2           D.S3<S2<S1     圖3                       圖4                      圖5                     圖614.如圖7中，正方形的邊長都相等，其中陰影部分面積相等的有(1)     (2)     (3)     (4)圖7A.(1)(2)(3)           B.(2)(3)(4)           C.(1)(3)(4)           D.(1)(2)(3)(4)15.如果圓錐的母線長為5 cm，底面半徑為3 cm，那么圓錐的表面積為A.39π cm2          B.30π cm2          C.24π cm2          D.15π cm216.一個圓臺形物體的上底面積是下底面積的.如圖8，放在桌面上，對桌面的壓強是200 帕，翻過來放，對桌面的壓強是A.50帕           B.80帕           C.600帕           D.800帕圖8三、基本功17.(6分)如圖9，圓錐底面半徑為r，母線長為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.    圖9            圖1018.(8分)如圖10，等腰Rt△ABC中斜邊AB=4，O是AB的中點，以O為圓心的半圓分別與兩腰相切于點D、E，圖中陰影部分的面積是多少？請你把它求出來.(結(jié)果用π表示)   四、生活中的數(shù)學(xué)19.(8分)鉛球比賽要求運動員在一固定圓圈內(nèi)投擲，推出的鉛球必須落在40°角的扇形區(qū)域內(nèi)(以投擲圈的中心為圓心).如果運動員最多可投7 m，那么這一比賽的安全區(qū)域的面積至少應(yīng)是多少？(結(jié)果精確到0.1 m2)    20.(10分)如圖11，有一直徑是1 m的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角是90°的扇形CAB.(1)被剪掉的陰影部分的面積是多少？(2)若用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？(結(jié)果可用根號表示)        圖11       圖12       圖13 五、探究拓展與應(yīng)用(共20分)21.(10分)現(xiàn)有總長為8 m的建筑材料，用這些建筑材料圍成一個扇形的花壇(如圖12)，當(dāng)這個扇形的半徑為多少時，可以使這個扇形花壇的面積最大？并求最大面積.    22.(10分)如圖13，正三角形ABC的中心恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形內(nèi)，要使扇形ODE繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角應(yīng)為多少度？說明你的理由.        八、學(xué)有余力：【基礎(chǔ)練習(xí)】一、填空題：1. 在半徑為5 cm的圓中，30°的圓周角所對的弧長為           ；2. 如圖3-34，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，若AB = 4 cm，則（+）的長等于         ；3. 已知扇形的半徑為3 cm，面積為6πcm2，則該扇形的弧長等于         .二、選擇題：1. 如圖3-35，矩形ABCD中，AB = 1，AD = ，以BC的中點E為圓心的弧與AD相切于點P，則圖中陰影部分的面積為（     ）；A.           B.           C.           D. 2. 已知：如圖3-36，扇形AOB的半徑為12，OA⊥OB，C是OB上一點，以OA為直徑的半圓O1和以BC為直徑的半圓O2相切，則圖中陰影部分的面積為（     ）.A. 6π          B. 10π          C. 12π          D. 20π       三、解答題：1. 已知扇形的圓心角為120°，弧長為20πcm，求扇形的面積（精確到1cm2）   2. 已知：如圖3-37，⊙O是等邊△ABC的外接圓，且其內(nèi)切圓的半徑為2 cm，求△ABC的邊長及扇形AOB的面積.      【綜合練習(xí)】1. 如圖3-38，兩個半圓中，大半圓的弦CD 與直徑AB平行且與小半圓相切，已知CD = 4 cm，求圖中陰影部分的面積.       2. 如圖3-39，⊙O的直徑EF = 10 cm，弦AB = 6 cm，CD = 8 cm，且AB∥EF∥CD，求由線段AE、BE和組成的圖形及由線段CF、DF和組成的圖形（圖中陰影部分）面積的和.         .

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級上冊電子課本 舊教材

2.5 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 蘇科版

年級： 九年級上冊

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