1.了解三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形的概念；
2.會作已知三角形的內(nèi)切圓.
3.會利用三角形的內(nèi)切圓有關知識解決問題.
小明的媽媽想給圓桌剪一塊圓形的桌布，發(fā)現(xiàn)只剩下一塊三角形的布料，怎樣剪才能使剪下的圓形面積最大呢？
操作1 如圖，在⊙O上任取一點D，過點D畫⊙O的切線.
操作2 在⊙O上另取合適的點E和點F，分別過點E、F畫⊙O的切線，使得3條切線兩兩相交，交點分別記為A、B、C.
思考1 上面畫的△ABC的各邊都與⊙O_______，圓心O到各邊的距離_______. 點O在_____________________的平分線上.
思考2 上面的三角形布料，怎樣剪才能使剪下的圓形面積最大呢？請你用準備好的三角形紙片試一試.
當圓與三角形三邊同時相切時，圓的面積最大.
思考3 如何作一個圓，使它與已知三角形的各邊都相切.
思考3 如何作一個圓，使它與已知三角形的各邊都相切.請你試一試，說出你作法的理由.小組交流.
問題1.作圓的關鍵是什么？
問題2.怎樣確定圓心的位置？
問題3.圓心的位置確定后怎樣確定圓的半徑？
(作兩條角平分線，其交點就是圓心的位置.)
(過圓心作三角形一邊的垂線，垂線段的長就是圓的半徑.)
已知：△ABC(如圖).求作：和△ABC的各邊都相切的圓.
作法:1.作∠ABC、∠ACB的平分線BM和CN， BM和CN交點為O.2.過點O作OD⊥BC，垂足為D.3.以點O為圓心，OD為半徑作⊙O.⊙O就是所求的圓.
和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓．三角形叫圓的外切三角形．
三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心．
注意：三角形的邊與圓的位置關系稱為切.
如圖，⊙O叫做△ABC的內(nèi)切圓，△ABC叫做⊙O的外切三角形．
分別畫出下圖各個三角形的內(nèi)切圓.
觀察內(nèi)心的位置，想一想內(nèi)心有什么性質？
①三角形的內(nèi)心是________________的交點．
②三角形的內(nèi)心______________相等．
③三角形的內(nèi)心一定在三角形的____部．
三角形的內(nèi)心(一定在三角形內(nèi)部)
三角形的外心(不一定在三角形內(nèi)部)
三角形的三條角平分線的交點
三角形的三邊垂直分線的交點
到三角形的三邊距離相等
到三角形的三個頂點距離相等
判斷下列說法是否正確.①圓有且只有一個外切三角形.（ ）②三角形有且只有一個內(nèi)切圓.（ ）③三角形的內(nèi)心到三角形的三個頂點的距離相等.（ ）④三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點.（ ）⑤三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等 .（ ）⑥三角形的內(nèi)心可能在三角形的內(nèi)部 .（ ）
例1 如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，∠A＝50°，求∠EDF的度數(shù).
有切點，連半徑，得垂直
變式1 ∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度數(shù).
變式2 當☉O 上有一點P (不與點E、F 重合),求∠EPF 的度數(shù).
變式3 當∠A＝n°，求∠ BOC的度數(shù).
變式4 如圖，在△ABC中，∠A＝50°,點O是△ABC的外心，求∠BOC的度數(shù).
三角形內(nèi)切圓和外接中的有關角
1.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70°
2.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，∠BOC=110°，則∠A=______，∠EDF=______.
解：設△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，
連接OA、OB、OC、OD、OE、OF.
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
1.已知，△ABC的周長為40，面積為60，則它的內(nèi)切圓的半徑為____________.
2. 已知一個三角形的三邊長分別為5、7、8，則其內(nèi)切圓的半徑為（　C?。?br/>1. 三角形的內(nèi)心是 ( ) A. 三條邊的垂直平分線的交點 B. 三條角平分線的交點 C. 三條中線的交點 D. 三條高的交點
2.如圖，在△ABC中，∠BIC=120°，點I是內(nèi)心，則∠A的大小為( ) A.50° B. 60° C. 65° D. 70°
5. 三角形的內(nèi)切圓能作____個, 三角形的內(nèi)心在三角形的_______.6.如圖，O是△ABC的內(nèi)心，則OA平分∠______，OB平分∠______，OC平分∠______.
若∠BAC=80o，則∠BOC=________.
7.如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=5，CA=12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是______.
9.如圖，點C、 D分別在∠AOB的兩邊上，求作⊙ P，使它與OA、OB、CD都相切(不寫作法，保留作圖痕跡).
10.如圖，O是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)下列條件求∠BOC的度數(shù)．
(1) ∠ABC＝50°，∠ACB＝60°.
(2) ∠A＝50°.
1.如圖 ，有三條兩兩相交的公路a，b，c，今要在公路旁修一加油站P，使P到三條公路的距離相等，你認為應修在何處？請確定所有符合條件的P的位置．
2. 如圖，☉O是△ABC的外接圓，BC為☉O的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交☉O于點D，連接BD并延長至點F，使得BD＝DF，連接CF、BE.求證：(1) DB＝DE；
求證：(2)直線CF為☉O的切線.

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初中數(shù)學蘇科版（2024）九年級上冊電子課本 舊教材

2.5 直線與圓的位置關系

版本： 蘇科版（2024）

年級： 九年級上冊

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