學(xué)習(xí)目標 1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
導(dǎo)語
如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫．如何在公路上選擇一個點，修一條公路到達A點，要想使這個路線長度理論上最短，應(yīng)該如何設(shè)計？
一、點到直線的距離
問題1 如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點．如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
提示 設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得點P到直線l的距離為PQ＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq \r(a2－?a·u?2).
知識梳理
PQ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)))＝eq \r(a2－?a·u?2).
問題2 類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？
提示 在其中一條直線上取定一點，則該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離．
例1 在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直線AC的距離．
解 方法一 建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，過O1作O1D⊥AC于點D，
設(shè)D(x，y,0)，則eq \(O1D,\s\up6(—→))＝(x，y，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y,0)．
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，eq \(O1D,\s\up6(—→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)，))
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))，
∴|eq \(O1D,\s\up6(—→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,13)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2＋?－2?2)＝eq \f(2\r(286),13).
即O1到直線AC的距離為eq \f(2\r(286),13).
方法二 連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
∴eq \(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，
∴eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，
a＝eq \(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，u＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2,\r(13))，\f(3,\r(13))，0))，
∴eq \f(\(AO1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,\r(13))，
∴O1到直線AC的距離
d＝eq \r(a2－?a·u?2)＝eq \f(2\r(286),13).
反思感悟 用向量法求點到直線的距離的一般步驟
(1)求直線的方向向量．
(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．
跟蹤訓(xùn)練1 如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到BD的距離．
解 如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))＝(3,0，－1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－3,4,0)，
取a＝eq \(PB,\s\up6(→))＝(3,0，－1)，u＝eq \f(\(BD,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)，0))，
則a2＝10，a·u＝－eq \f(9,5)，
所以點P到BD的距離為eq \r(a2－?a·u?2)＝eq \r(10－\f(81,25))＝eq \f(13,5).
二、點到平面的距離與直線到平面的距離
問題3 已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．如何求平面α外一點P到平面α的距離？
提示 過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離為PQ＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
知識梳理
PQ＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
注意點：
(1)實質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的長度．
(2)如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解．
(3)如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內(nèi)任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解．
例2 如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．
(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
解 (1)建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)).
設(shè)DH⊥平面PEF，垂足為H，則
eq \(DH,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(DF,\s\up6(→))＋zeq \(DP,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y，\f(1,2)x＋y，z))，x＋y＋z＝1，
eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－1))，
所以eq \(DH,\s\up6(→))·eq \(PE,\s\up6(→))＝x＋eq \f(1,2)y＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y))－z
＝eq \f(5,4)x＋y－z＝0.
同理，eq \(DH,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝x＋eq \f(5,4)y－z＝0，
又x＋y＋z＝1，解得x＝y(tǒng)＝eq \f(4,17)，z＝eq \f(9,17).
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \f(3,17)(2,2,3)，所以|eq \(DH,\s\up6(→))|＝eq \f(3,17)eq \r(17).
因此，點D到平面PEF的距離為eq \f(3,17)eq \r(17).
(2)由題意得，AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離，由(1)知eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))
平面PEF的一個法向量為n＝(2,2,3)，
所求距離為eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(17))＝eq \f(\r(17),17).
反思感悟 用向量法求點面距離的步驟
(1)建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．
(2)求點坐標：寫出(求出)相關(guān)點的坐標．
(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(eq \(AP,\s\up6(→))，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱．若點C到平面AB1D1的距離為eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
解 設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，
則eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1,0，－h(huán))，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1，－h(huán))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，
設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－h(huán)z＝0，,y－h(huán)z＝0，))
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
所以點C到平面AB1D1的距離為d＝eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(h＋h＋0,\r(h2＋h2＋1))＝eq \f(4,3)，
解得h＝2.
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.
1．知識清單：
(1)點到直線的距離．
(2)點到平面的距離與直線到平面的距離．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化法．
3．常見誤區(qū)：對距離公式理解不到位，在使用時生硬套用．對公式推導(dǎo)過程的理解是應(yīng)用的基礎(chǔ)．
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，則點A到直線BC的距離為( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．1 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 A
解析 ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,2，－2)，
∴點A到直線BC的距離為
d＝eq \r(|\(AB,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3).
2．若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點P到平面ABC的距離是( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)，
則d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3).
3．已知棱長為1的正方體 ABCD－A1B1C1D1，則平面 AB1C 與平面 A1C1D 之間的距離為( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以 eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，設(shè)平面 A1C1D 的一個法向量為m＝(x，y,1) ，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(DA1,\s\up6(→))，,m⊥\(DC1,\s\up6(→))，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,y－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
故m＝(1,1,1)，
顯然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3) .
4．已知直線l經(jīng)過點A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點P(4,3,2)到l的距離為________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 因為eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2,0，－1)，又n與l垂直，
所以點P到l的距離為eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
課時對點練
1. 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點D1到直線AC的距離為( )
A.eq \r(3)a B.eq \f(\r(3),2)a C.eq \f(2\r(2)a,3) D.eq \f(3\r(2)a,2)
答案 D
解析 方法一 連接BD，AC交于點O(圖略)，
則D1O＝eq \r(?2a?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq \f(3\r(2),2)a為所求．
方法二 如圖建立空間直角坐標系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
取a＝eq \(CD1,\s\up6(→))＝(－a,0,2a)，
u＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
則點D1到直線AC的距離為eq \r(a2－?a·u?2)＝eq \r(5a2－\f(1,2)a2)＝eq \f(3\r(2),2)a.
2．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3) D．3eq \r(2)
答案 B
解析 ∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2，1,1)，
eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，
∴兩平面間的距離d＝eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(|－2＋0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
3．已知三棱錐O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，則點A到直線BC的距離為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D．3
答案 B
解析 以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，
取a＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，u＝eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).則點A到直線BC的距離為eq \r(a2－?a·u?2)＝eq \r(5－2)＝eq \r(3).
4.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是( )
A．5 B．8
C.eq \f(60,13) D.eq \f(13,3)
答案 C
解析 以D為坐標原點，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C(0,12,0)，D1(0,0,5)．
設(shè)B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)．
設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，
由n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，n⊥eq \(CD1,\s\up6(→))，
得n·eq \(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq \(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝eq \f(5,12)c，所以可取n＝(0,5,12)．
又eq \(B1B,\s\up6(—→))＝(0,0，－5)，所以點B1到平面A1BCD1的距離為eq \f(|\(B1B,\s\up6(—→))·n|,|n|)＝eq \f(60,13).
因為B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為eq \f(60,13).
5．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，則點C1到平面B1EF的距離等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 以D1為坐標原點，分別以eq \(D1A1,\s\up6(—→))，eq \(D1C1,\s\up6(—→))，eq \(D1D,\s\up6(—→))的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(xiàn)(1,2,2)．
eq \(B1E,\s\up6(—→))＝(0，－1,2)，eq \(B1F,\s\up6(—→))＝(－1,0,2)，
設(shè)平面B1EF的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(B1E,\s\up6(—→))＝0，,n·\(B1F,\s\up6(—→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y＋2z＝0，,－x＋2z＝0))
令z＝1，得n＝(2,2,1)．
又∵eq \(B1C1,\s\up6(—→))＝(－2,0,0)，
∴點C1到平面B1EF的距離d＝eq \f(|n·\(B1C1,\s\up6(—→))|,|n|)＝eq \f(|－2×2＋0＋0|,\r(22＋22＋1))＝eq \f(4,3).
6.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 以{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))}為正交基底建立空間直角坐標系，
則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，eq \(C1O,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，平面ABC1D1的一個法向量為eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，點O到平面ABC1D1的距離d＝eq \f(|\(DA1,\s\up6(→))·\(C1O,\s\up6(—→))|,|\(DA1,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4).故選B.
7．Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq \f(9,5)，則點P到斜邊AB的距離是________．
答案 3
解析 以C為坐標原點，CA，CB，CP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A(4,0,0)，B(0,3,0)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(9,5)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,3,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0，\f(9,5))).
取a＝eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0，\f(9,5)))，u＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)，0))，
則P到AB的距離為d＝eq \r(a2－?a·u?2)＝eq \r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3.
8.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(bie na)，如圖．已知在鱉臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為________．
答案 eq \r(2)
解析 以B為坐標原點，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，
如圖，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M為PC的中點可得M(1,1,1)．
eq \(BM,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(2,0,2)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABM的一個法向量，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BM,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x＋y＋z＝0，))
令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，點P到平面MAB的距離為d＝eq \f(|n·\(BP,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \r(2).
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．
(1)求點M到直線AC1的距離；
(2)求點N到平面MA1C1的距離．
解 (1)建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
直線AC1的一個單位方向向量為s0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2,0,1)，
故點M到直線AC1的距離d＝eq \r(|\(AM,\s\up6(→))|2－|\(AM,\s\up6(→))·s0|2)＝eq \r(5－\f(1,2))＝eq \f(3\r(2),2).
(2)設(shè)平面MA1C1的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(—→))＝0，,n·\(A1M,\s\up6(—→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,2x－z＝0，))
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量，因為N(1,1,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，
故N到平面MA1C1的距離d＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).
10．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD與底面ABCD所成的角為45°.求點B到直線PD的距離．
解 ∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)．
方法一 設(shè)存在點E，使eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DP,\s\up6(→))，且BE⊥DP，
設(shè)E(x，y，z)，
∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴點E(0,4－4λ，4λ)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,4－4λ，4λ)．
∵BE⊥DP，
∴eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，
解得λ＝eq \f(1,2).
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，
∴|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(4＋4＋4)＝2eq \r(3)，
故點B到直線PD的距離為2eq \r(3).
方法二 eq \(BP,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－4,4)，
∴eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝16，
∴eq \(BP,\s\up6(→))在eq \(DP,\s\up6(→))上的投影向量的長度為eq \f(|\(BP,\s\up6(→))·\(DP,\s\up6(→))|,|\(DP,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,\r(16＋16))＝2eq \r(2).
所以點B到直線PD的距離為
d＝eq \r(|\(BP,\s\up6(→))|2－?2\r(2)?2)＝eq \r(20－8)＝2eq \r(3).
11.如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，則P到AB的距離為( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 如圖，分別以AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))可作為x，y，z軸方向上的單位向量，
因為eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)，
所以P點到AB的距離
d＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6).
12．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，M為棱A1B1上的一點，且A1M＝λ(0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

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