單元素養(yǎng)評價(jià)(二)(第二章)(120分鐘　150分)一、單選題(每小題5分，共40分)1．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圓心為C(2，2)，半徑為2的圓，則a，b，c的值依次為(　　)A．2，4，4    B．－2，4，4C．2，－4，4    D．2，－4，－4【解析】選B.配方得(x＋a)2＋＝a2＋－c，所以解得a＝－2，b＝4，c＝4.2．若直線x＋y＋a＝0是圓x2＋y2－2y＝0的一條對稱軸，則a的值為(　　)A．1    B．－1    C．2    D．－2【解析】選B.圓x2＋y2－2y＝0化為x2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，1)，因?yàn)橹本€x＋y＋a＝0是圓x2＋y2－2y＝0的一條對稱軸，所以0＋1＋a＝0，即a＝－1.3．已知圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1與直線kx＋y＋1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB為等邊三角形，則k2的值為(　　)A．3    B．4    C．5    D．6【解析】選A.圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圓心為C(1，－1)，半徑為1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB為等邊三角形，所以點(diǎn)C到直線kx＋y＋1＝0的距離為，即＝，解得k2＝3.4．點(diǎn)P與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　)A．＋＝1B．＋＝4C．＋＝4D．＋＝1【解析】選A.設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q，PQ中點(diǎn)為M，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得因?yàn)镼在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即＋＝4，化為＋＝1.5．過點(diǎn)的直線l被圓(x－1)2＋y2＝4所截得的弦長最短時，直線l的斜率為(　　)A．1    B．－1    C．    D．－【解析】選A.點(diǎn)在2＋y2＝4圓內(nèi)，要使得過點(diǎn)的直線l被圓2＋y2＝4所截得的弦長最短，則該弦以為中點(diǎn)，與圓心和連線垂直，而圓心和連線的斜率為＝－1，所以所求直線斜率為1.6．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點(diǎn)A作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則＝(　　)A．2    B．4    C．6    D．2【解析】選C.圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為C(2，1)，半徑為r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，＝＝＝6.7．圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　)A．內(nèi)切    B．相交C．外切    D．相離【解析】選B.化簡圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)?M(0，a)，r1＝a?M到直線x＋y＝0的距離d＝?＋2＝a2?a＝2?M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1?|MN|＝?|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|?兩圓相交．8．已知P是直線kx＋4y－10＝0(k>0)上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為(　　)A．    B．    C．2    D．3【解析】選D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝1，則圓心為C，半徑為1，則直線與圓相離，如圖：S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝·＝，S△PBC＝·＝，又＝＝，所以當(dāng)取最小值時＝取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此時，CP⊥l，四邊形PACB面積的最小值為2，S△PAC＝S△PBC＝，所以＝2，所以＝3，所以＝3，因?yàn)閗>0，所以k＝3.二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．已知圓C1：(x－1)2＋y2＝1和圓C2：x2＋(y－b)2＝1，且－2＜b＜2，則兩圓的位置關(guān)系可能是(　　)A．內(nèi)切    B．相交C．外切    D．外離【解析】選BCD.由－2<b<2，圓心距∈[1，).所以兩圓的位置關(guān)系可能是相交、外切和外離．10．若圓2＋2＝r2上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離為1，則半徑r的取值可以是(　　)A．4    B．5    C．    D．6【解析】選BC.易求圓心(3，－5)，到直線4x－3y－2＝0的距離d＝5，由已知得d－1<r<d＋1，即4<r<6.11．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－1)，過點(diǎn)P作圓C的切線，則切線方程可以是(　　)A．7x－y－15＝0     B．x＋y－1＝0C．x＝2        D．x－y＋1＝0【解析】選AB.由已知得過點(diǎn)P的圓的切線斜率的存在，設(shè)切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.則圓心C(1，2)到直線的距離為，即＝，所以k2－6k－7＝0，所以k＝7或k＝－1.所以所求直線的切線方程為y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.12．如圖A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以O(shè)D為直徑的圓上一段圓弧，是以BC為直徑的圓上一段圓弧，是以O(shè)A為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線W.則下述正確的是(　　)A.曲線W與x軸圍成的面積等于2πB．曲線W上有5個整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))C．所在圓的方程為：x2＋(y－1)2＝1D．與的公切線方程為：x＋y＝＋1【解析】選BCD.曲線W與x軸構(gòu)成的圖形為以(0，1)圓心、1為半徑的半圓加上以(1，0)為圓心，1為半徑的圓，加上以(－1，0)為圓心，1為半徑的圓，加上長為2，寬為1的矩形構(gòu)成，可得其面積為π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A錯誤；曲線W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5個整點(diǎn)，故B正確；是以(0，1)為圓心，1為半徑的圓，其所在圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，故C正確；設(shè)與的公切線方程為y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直線和圓相切的條件可得＝1＝，解得k＝－1，t＝1＋(1－舍去)，則其公切線方程為y＝－x＋1＋，即x＋y＝1＋，故D正確．三、填空題(每小題5分，共20分)13．已知圓C(C為圓心，且點(diǎn)C在第一象限)經(jīng)過A(0，0)，B(2，0)，且△ABC為直角三角形，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．【解析】設(shè)圓C的半徑為R，因?yàn)閨CA|＝|CB|＝R，△ABC為直角三角形，所以∠C＝90°.因?yàn)辄c(diǎn)A(0，0)，B(2，0)，C在第一象限，所以C(1，1)，且R＝，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝214．平面內(nèi)動點(diǎn)P到兩點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ(λ＞0，且λ≠1)，則動點(diǎn)P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓，若已知A(－2，0)，B(2，0)，λ＝，則此阿波羅尼斯圓的方程為________．【解析】由題意，設(shè)P(x，y)，則＝，化簡可得x2＋y2＋x＋4＝0.答案：x2＋y2＋x＋4＝015．已知直線l：x＋y＋4＝0與圓C：x2＋y2＋2mx－6y＋1＝0，若直線l將圓C分割成面積相等的兩部分，則m＝________．【解析】圓C的方程可化為(x＋m)2＋(y－3)2＝8＋m2，圓心C(－m，3).因?yàn)橹本€l將圓C分割成面積相等的兩部分，所以l：x＋y＋4＝0過圓心(－m，3)，所以－m＋3＋4＝0，解得m＝7.答案：716．已知直線y＝kx＋b與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切，則k＝________；b＝________．【解析】方法一：因?yàn)橹本€y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1，圓(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－.方法二：因?yàn)橹本€y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1，圓(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直線y＝kx＋b必過兩圓心連線的中點(diǎn)，所以2k＋b＝0.設(shè)直線y＝kx＋b的傾斜角為θ，則sin θ＝，又k>0，所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－.答案：　－四、解答題(共70分)17．(10分)求與x軸相切，圓心C在直線3x－y＝0上，且截直線x－y＝0得的弦長為2的圓的方程．【解析】因?yàn)閳A心C在直線3x－y＝0上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，3a)，圓心(a，3a)到直線x－y＝0的距離為d＝.又圓與x軸相切，所以半徑r＝3|a|，設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－3a)2＝9a2，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，則|AM|＝.在Rt△AMC中，由勾股定理，得2＋()2＝(3|a|)2，解得a＝±1，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9，或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.18．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大?。?/span>(2)已知不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．【解析】(1)圓C的方程變形為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圓心C的坐標(biāo)為，半徑為.(2)因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，所以設(shè)直線l的方程為x＋y＋a＝0(a≠0)，所以a＝1或a＝－3，所以所求直線l的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.19．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0上一點(diǎn)A.(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．【解析】(1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N.因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，于是圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝1.(2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為＝2.設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝＝，因?yàn)锽C＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.20．(12分)已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓圓心為H.(1)求圓H的方程；(2)若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(3)對于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍．【解析】(1)設(shè)圓H的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則有解得則圓H的方程為x2＋y2－6y－1＝0.(2)由直線與圓位置關(guān)系得：半徑，半弦長，圓心到直線距離構(gòu)成勾股定理，即12＋d2＝10，因此d＝3，又直線l過點(diǎn)C，故利用直線方程點(diǎn)斜式求解，注意先討論斜率不存在的情況：若l⊥x軸，直線方程為x＝3，滿足題意；若l的斜率存在，設(shè)l的方程為y＝k(x－3)＋2，圓心到直線的距離為d＝3＝，解得k＝，直線方程為4x－3y－6＝0，綜上，直線l的方程為x＝3或4x－3y－6＝0.(3)結(jié)合圖象(圖略)由題意得：0<CP－r≤2r，即r<CP≤3r恒成立，所以從而≤r<.21．(12分)已知圓C過點(diǎn)P(1，1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的點(diǎn)，且·＝－4，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】(1)設(shè)圓心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，則解得則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2＝－4.所以解得所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(－1，－1).22．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；(2)試求圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4，0)的距離等于線段OF的長？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】(1)設(shè)圓C的圓心為C(a，b)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8.因?yàn)橹本€y＝x與圓C相切于原點(diǎn)O，所以O(shè)點(diǎn)在圓C上，且OC垂直于直線y＝x，于是有解得或由于點(diǎn)C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假設(shè)存在點(diǎn)Q符合要求，設(shè)Q(x，y)，則有解得x＝或x＝0(舍去).所以存在點(diǎn)Q，使Q到定點(diǎn)F(4，0)的距離等于線段OF的長． 

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