高中2.4 圓的方程測(cè)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

十六　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(15分鐘　30分)1．以點(diǎn)P(2，－3)為圓心，并且與y軸相切的圓的方程是(　　)A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．＋＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．＋＝9【解析】選C.半徑2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝4.2．若過點(diǎn)(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為(　　)A． B． C． D．【解析】選B.因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，且點(diǎn)(2，1)在該圓上，所以可設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標(biāo)為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為＝或＝.3．圓C的半徑為5，圓心在x軸的負(fù)半軸上，且被直線3x＋4y＋4＝0截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為(　　)A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋8)2＋y2＝25C．(x－8)2＋y2＝25 D．(x－2)2＋y2＝4【解析】選B.設(shè)圓心為(a，0)(a<0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離為d＝＝＝4，解得a＝－8，則圓C的方程為(x＋8)2＋y2＝25.4．已知直線x＋y＋1＝0與圓C相切，且直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)始終平分圓C的面積，則圓C的方程為(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2【解析】選D.將直線mx－y－2m－1＝0變形得y＋1＝m(x－2)，易知直線恒過定點(diǎn)(2，－1)，由題意得圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－1)，又因?yàn)橹本€x＋y＋1＝0與圓C相切，所以半徑r＝＝，所以圓C的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝2.5．設(shè)兩條直線x＋y－2＝0，3x－y－2＝0的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M在圓(x－m)2＋y2＝5內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】由題意可知：解得交點(diǎn)，交點(diǎn)M在圓2＋y2＝5的內(nèi)部，可得2＋1<5，解得－1<m<3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－1，3). (30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．以(a，1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．2＋2＝5 B．2＋2＝5C．2＋y2＝5 D．x2＋2＝5【解析】選A.由題意，圓心在直線2x－y－1＝0上，代入可得a＝1，即圓心為，半徑為r＝＝，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝5.2．已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直線x＋y－m＝0垂直于圓C的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個(gè)三等分點(diǎn)，則m＝(　　)A．2或10 B．4或8C．4或6 D．2或4【解析】選A.圓心C(3，3)，半徑為6，由題意得，圓心C到直線x＋y－m＝0距離為圓C半徑的，所以＝×6，所以m＝2或10.3．已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)(1，0)且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)比為1∶2，則圓C的方程為(　　)A．2＋y2＝ B．2＋y2＝C．x2＋2＝ D．x2＋2＝【解析】選C.由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對(duì)圓心角為π，設(shè)圓心為(0，a)，半徑為r，則r sin ＝1，r cos ＝，解得r＝，即r2＝，＝，即a＝±，故圓C的方程為x2＋＝.4．已知圓C關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱的圓的方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓C的方程為(　　)A．x2＋(y＋2)2＝1 B．(x－2)2＋y2＝1C．x2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1【解析】選C.因?yàn)閳A的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心(1，1)，半徑為1.圓心(1，1)關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱點(diǎn)為(0，2).所以圓的方程是x2＋(y－2)2＝1.【誤區(qū)警示】本題易錯(cuò)在求圓心．兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑相等．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．若過點(diǎn)(3，1)總可以作兩條直線和圓(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，則k的值可以是(　　)A． B．3 C．－1 D．4【解析】選ABD.因?yàn)檫^點(diǎn)(3，1)總可以作兩條直線和圓(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，點(diǎn)(3，1)在圓的外部，所以(3－2k)2＋(1－k)2>k，解得k<1或k>2，又k>0.k的范圍是(0，1)∪(2，＋∞).6．已知圓C的圓心在直線3x－y＝0上，半徑為1且與直線4x－3y＝0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1【解題指南】可以利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑．【解析】選CD.設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1，則解得或所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.三、填空題(每小題5分，共10分)7．已知圓的內(nèi)接正方形相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則這個(gè)圓的方程是________．【解題指南】由題意可知，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為圓的直徑．【解析】圓心為，的中點(diǎn)(4，1)，半徑為＝.所以圓的方程為2＋2＝26.答案：＋＝268．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)為圓心且與直線2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【解析】直線2mx－y－2m－1＝0(m∈R)方程化成m(2x－2)－(y＋1)＝0.由得所以直線2mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒過定點(diǎn)(1，－1).所以當(dāng)直線與圓相切于定點(diǎn)(1，－1)時(shí)，半徑最大．此時(shí)半徑為.所以圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5【補(bǔ)償訓(xùn)練】　若直線3x＋4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【解析】A(－4，0)，B(0，－3)，△AOB為直角三角形．所以內(nèi)切圓半徑為r＝＝＝1，根據(jù)圖形(圖略)可知圓心(－1，－1)，所以內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與y軸相切，與x軸相交于點(diǎn)A，B，若＝，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1(a>0，b>0).因?yàn)閳A與y軸相切，所以a＝1.因?yàn)閨AB|＝，所以圓心到x軸的距離為，所以b＝，因此該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋2＝1.10．點(diǎn)P是圓(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(2，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最小值．【解析】由題意＝2，設(shè)P到直線OQ的距離為h，所以S△OPQ＝×h，因?yàn)閳A(x＋3)2＋(y－1)2＝2，直線OQ的方程為y＝x，所以圓心(－3，1)到直線OQ的距離為d＝＝2，所以圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線OQ的距離h的最小值為d－r＝2－＝，所以S△OPQ＝×h的最小值為×2×＝2.【創(chuàng)新遷移】1．過點(diǎn)M(2，2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．【解析】設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點(diǎn)M(2，2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設(shè)A(4，0)，B(0，4)，則圓心為(2，2)，半徑為2，所以△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝82．定義：圓心到直線的距離與圓的半徑之比稱為“直線關(guān)于圓的距離比λ”．(1)設(shè)圓C0：(x－2)2＋y2＝1，求過點(diǎn)P的直線關(guān)于圓C0的距離比λ＝的直線方程；(2)若圓C與y軸相切于點(diǎn)A，且直線y＝x關(guān)于圓C的距離比λ＝，求出圓C的方程．【解析】(1)設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y＝k(x＋1)，由圓C0：(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2，0)，半徑為r＝1，由題意可得＝，解得k＝±，所以所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.(2)設(shè)圓的方程為2＋2＝r2，由題意可得a2＋(3－b)2＝r2　①，＝r　②，＝r　③由①②③聯(lián)立方程組，可得a＝－3，b＝3，r＝3或a＝1，b＝3，r＝1，所以圓C的方程為2＋2＝9或2＋2＝1.

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