二十一　橢圓的簡單幾何性質(zhì)(15分鐘　30分)1．已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．長軸長為       B．焦距為 C．短軸長為      D．離心率為【解析】選D.橢圓C：16x2＋4y2＝1，化為標(biāo)準(zhǔn)形式為＋＝1，可得a＝，b＝，則c＝＝，可得離心率為e＝＝＝.2．若焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m等于(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選B.因為a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，所以m＝.3．設(shè)F1，F2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選C.如圖，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形?|PF2|＝|F2F1|?2＝2c?e＝＝.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 某月球探測器的運行軌道是以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，其近月點與月球表面距離為100 km，遠(yuǎn)月點與月球表面距離為400 km.已知月球的直徑約為3 476 km，則該橢圓形軌道的離心率約為(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選B.如圖(示意圖)：F為月球的球心，月球半徑約為×3 476＝1 738(km).依題意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，所以橢圓的離心率e＝＝≈.4．(2020·盤錦高二檢測)已知F是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點，點P在橢圓C上，線段PF與圓(x－)2＋y2＝(其中c為橢圓的半焦距)相切于點Q，且＝2，則橢圓C的離心率等于(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選A.如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為F1，連接PF1，設(shè)圓心為C，則圓心坐標(biāo)為，半徑為r＝，所以|F1F|＝3|FC|，因為PQ＝2QF，所以PF1∥QC，|PF1|＝b，所以|PF|＝2a－b，因為線段PF與圓相切于點Q，所以CQ⊥PF，所以PF1⊥PF，所以b2＋(2a－b)2＝4c2，所以b2＋(2a－b)2＝4，所以a＝b，則＝，所以e＝＝＝.5．橢圓C：＋y2＝1的左右焦點分別為F1，F2，點M為其上的動點，當(dāng)∠F1MF2為鈍角時，求點M的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解析】設(shè)M(x，y)，焦點F1(－，0)，F2(，0).因為∠F1MF2為鈍角，所以cos ∠F1MF2＝<0，即|MF1|2＋|MF2|2<|F1F2|2?(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2<12.整理得x2＋y2<3.因為點M在橢圓＋y2＝1上，將x2＝4－4y2代入x2＋y2＜3，解得y>或y<－.又因為－1≤y≤1，所以點M的縱坐標(biāo)y的取值范圍為∪.(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2020·嘉興高二檢測)已知橢圓＋y2＝1(a>1)的離心率為，則其焦距為 (　　)A．      B．2      C．      D．2【解析】選B.根據(jù)題意得e＝＝＝＝，解得a2＝4，因此c＝＝，所以焦距為2.2．方程＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)與方程＋＝1表示的橢圓，那么它們(　　)A．有相同的離心率        B．有共同的焦點C．有等長的短軸、長軸       D．有相同的頂點【解析】選A.對于橢圓＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)，a′＝＝a，b′＝＝b，c′＝＝，則橢圓＋＝1的離心率為e′＝＝＝，焦點坐標(biāo)為(±，0)，短軸長為2b，長軸長為2a，頂點坐標(biāo)為和；對于橢圓＋＝1，離心率為e＝＝，焦點坐標(biāo)為，短軸長為2b，長軸長為2a，頂點坐標(biāo)為和.因此，兩橢圓有相同的離心率．3．已知橢圓C：＋＝1的右頂點是圓x2＋y2－4x＋3＝0的圓心，其離心率為，則橢圓C的方程為(　　)A．＋y2＝1       B．＋y2＝1C．＋y2＝1       D．＋＝1【解析】選A.由圓的方程知圓心為，所以a＝2，又橢圓的離心率為e＝＝，所以c＝，b＝＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.4．(2020·盤錦高二檢測)若點O和點F分別為橢圓＋y2＝1的中心和右焦點，P為橢圓上任意一點，則·的最小值為(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選C.設(shè)點P的坐標(biāo)為，則y2＝1－，且有－≤x≤，F，＝，·＝x2－x＋y2＝x2－x＋1－x2＝x2－x＋1＝2＋，因為－≤x≤，所以當(dāng)x＝1時，·取得最小值.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2020·南京高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1上存在點P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為(　　)A．      B．      C．3－6      D．【解析】選BD.設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的定義可得，解得PF1＝，PF2＝，由題意可得，解得≥，又0<<1，所以≤<1，所以，該橢圓離心率的取值范圍是.6．(2020·濟(jì)南高二檢測)人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論正確的是(　　)A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠(yuǎn)地點時最小【解析】選ABD.根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是，A正確；當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧運行時，對應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，速度更慢，B正確；＝＝－1，當(dāng)比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C錯誤；根據(jù)面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點時向徑最大，故速度最小，D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2c，以O為圓心，a為半徑作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________.【解析】如圖，切線PA，PB互相垂直，半徑OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.答案：8．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A.在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足，且⊥，則橢圓的離心率為______．【解析】由題意，根據(jù)，可知點B的坐標(biāo)為(－3c，0)，因為A(0，b)，F2(c，0)，所以＝(－3c，－b)，＝(c，－b)，所以·＝－3c2＋b2＝－3c2＋a2－c2＝a2－4c2＝0，解得＝，即e＝＝.答案：四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.(1)求橢圓離心率的范圍．(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．【解析】(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號).所以≥，即e≥.又0<e<1，所以e的取值范圍是.(2)由(1)知mn＝b2，所以S△PF1F2＝mn sin 60°＝b2，即△PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)．10．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(－2，0)，且長軸長與短軸長的比是2∶.(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)點M(m，0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當(dāng)最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)，且＋＝1，所以2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以2為關(guān)于x0的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為4m.由題意知，當(dāng)x0＝4時，2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又點M(m，0)在橢圓長軸上，所以1≤m≤4.【創(chuàng)新遷移】1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點為F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根x1，x2，則點P(x1，x2)(　　)A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi)      B．必在圓x2＋y2＝2上C．必在圓x2＋y2＝2外      D．以上三種情況都有可能【解析】選A.因為x1，x2是方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝－＝－.所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1，因為a>b，所以<1，所以＋1<2，故點P(x1，x2)在圓x2＋y2＝2內(nèi)．2．已知定點A(a，0)，其中0＜a＜3，它到橢圓＋＝1上的點的距離的最小值為1，求a的值．【解析】設(shè)橢圓上任一點為P(x，y)(－3≤x≤3)，則|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)＝＋4－a2，當(dāng)0＜a≤時，有0＜a≤3.所以當(dāng)x＝a時，(|PA|2)min＝4－a2＝1，解得a＝＞(舍)；當(dāng)＜a＜3時，有3＜a＜，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，(|PA|2)min＝a2－6a＋9＝1，解得a＝2或a＝4(舍)，綜上可得a＝2.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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