一．單項選擇題


1．（2020春?南關(guān)區(qū)校級期末）若直線mx+4y﹣2＝0與直線2x﹣5y﹣12＝0垂直，則實數(shù)m的值為（ ）


A．﹣12B．﹣10C．0D．10


【分析】由直線的垂直關(guān)系可得2m﹣20＝0，解方程可得m的值．


【解答】解：∵直線mx+4y﹣2＝0與2x﹣5y﹣12＝0垂直，


∴2m﹣20＝0，解得m＝10，


故選：D．


2．（2020春?啟東市期末）已知直線l經(jīng)過兩點O（0，0），A（1，），直線m的傾斜角是直線l的傾斜角的兩倍，則直線m的斜率是（ ）


A．﹣B．﹣C．D．


【分析】由已知兩點的坐標求得直線l的斜率，得到傾斜角，進一步得到直線m的傾斜角，再由斜率等于傾斜角的正切值求得直線m的斜率．


【解答】解：∵直線l經(jīng)過兩點O（0，0），A（1，），∴，


設(shè)直線l的傾斜角為α（0°≤α＜180°），則tan，α＝60°，


則直線m的傾斜角是120°．


∴，


故選：A．


3．（2020春?宿遷期末）已知圓C的圓心在直線y＝﹣x上，且過兩點A（2，0），B（0，﹣4），則圓C的方程是（ ）


A．（x﹣3）2+（y+3）2＝B．（x+3）2+（y﹣3）2＝


C．（x﹣3）2+（y+3）2＝10D．（x+3）2+（y﹣3）2＝10


【分析】由題意設(shè)圓心C的坐標（a，﹣a），又過A，B點，可得r＝|AC|＝|BC|，求出a的值，進而求出半徑，求出圓的標準方程．


【解答】解：由題意設(shè)圓的圓心坐標為C（a，﹣a），可得|AC|＝|BC|，即＝，解得：a＝3，


即圓心坐標（3，﹣3），半徑r＝＝，


所以圓的方程為：（x﹣3）2+（y+3）2＝10．


故選：C．


4．（2020春?安徽期末）已知圓x2﹣2ax+y2＝0（a＞0）截直線x﹣y＝0所得弦長是2，則a的值為（ ）


A．B．2C．D．3


【分析】化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標與半徑，再由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求a值．


【解答】解：由圓x2﹣2ax+y2＝0（a＞0），得（x﹣a）2+y2＝a2，


則圓心坐標為（a，0），半徑為a，


圓心到直線x﹣y＝0的距離d＝．


又半弦長為，由垂徑定理可得：，解得a2＝4．


∵a＞0，∴a＝2．


故選：B．


5．（2020?鄭州二模）圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4關(guān)于直線x﹣y+8＝0對稱的圓的方程為（ ）


A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4


C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4


【分析】一個圓關(guān)于直線對稱的圓是圓心坐標關(guān)于直線對稱，半徑相等，求出已知圓的圓心坐標及半徑，設(shè)所求的圓的圓心，可得兩個圓心的中垂線為已知直線，進而求出所求的圓心坐標，進而求出圓的方程．


【解答】解：由圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圓心坐標（﹣2，12），半徑為2，


由題意可得關(guān)于直線x﹣y+8＝0對稱的圓的圓心與（﹣2，12）關(guān)于直線對稱，半徑為2，


設(shè)所求的圓心為（a，b）則解得：a＝4，b＝6，


故圓的方程為：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，


故選：C．


6．（2020春?龍鳳區(qū)校級期末）已知△ABC的頂點A（1，2），C（5，2），∠ABC的平分線BH所在直線方程為y＝x，則直線BC的方程為（ ）


A．3x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x﹣3y﹣5＝0D．x﹣3y+1＝0


【分析】先求出點A關(guān)于直線y＝x的對稱點，再根據(jù)直線方程的兩點式即可求解結(jié)論．


【解答】解：因為點A（1，2）關(guān)于直線y＝x的對稱點（2，1）在直線BC上；


故直線BC的方程為：＝，即x﹣3y+1＝0；


故選：D．


7．（2019秋?城關(guān)區(qū)校級期末）已知兩定點A（﹣3，5），B（2，8），動點P在直線x﹣y+1＝0上，則|PA|+|PB|的最小值為（ ）


A．5B．C．5D．


【分析】推導(dǎo)出點A（﹣3，5），B（2，8）P在直線x﹣y+1＝0同側(cè)，求出點A關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對稱點為C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值為|BC|，由此能求出結(jié)果．


【解答】解：∵兩定點A（﹣3，5），B（2，8），動點P在直線x﹣y+1＝0上，


∴點A（﹣3，5），B（2，8）P在直線x﹣y+1＝0同側(cè)，


設(shè)點A關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對稱點為C（a，b），


則，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），


∴|PA|+|PB|的最小值為：


|BC|＝＝2．


故選：D．


8．（2020春?金牛區(qū)校級期末）如圖，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．過點A任作一條直線與圓O：x2+y2＝1相交于M，N兩點，的值為（ ）





A．2B．3C．D．


【分析】由已知求得A與B的坐標，設(shè)N（csα，sinα），由兩點間的距離公式，求弦長|NB|與|NA|，作商得答案．


【解答】解：∵圓C與x軸相切于點T（1，0），∴圓心的橫坐標為1．


取AB中點E，∵|AB|＝2，∴|BE|＝1，則|BC|＝．


即圓的半徑為，則圓心C（1，），E（0，）．


又|AB|＝2，且E為AB的中點，∴A（0，），B（0，）．


∵N在圓O上，∴可設(shè)N（csα，sinα），


則|NA|＝＝．


|NB|＝．


∴＝．


故選：D．


二．多項選擇題


9．（2020春?沭陽縣期中）下列說法中，正確的有（ ）


A．過點P（1，2）且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0


B．直線y＝3x﹣2在y軸上的截距為﹣2


C．直線 的傾斜角為60°


D．過點（5，4）并且傾斜角為90°的直線方程為x﹣5＝0


【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率，直線的截距的意義，得出結(jié)論．


【解答】解：∵過點P（1，2）且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0，或者y＝2x，故A錯誤；


∵直線y＝3x﹣2在y軸上的截距為﹣2，故B正確；


由于直線 的斜率為，故它的傾斜角為30°，故C錯誤；


∵過點（5，4）并且傾斜角為90°的直線方程為x﹣5＝0，故D正確，


故選：BD．


10．（2020春?惠州期末）如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項正確的是（ ）





A．k1＜k3＜k2B．k3＜k2＜k1C．α1＜α3＜α2D．α3＜α2＜α1


【分析】根據(jù)直線的圖象特征，結(jié)合查直線的斜率和傾斜角，得出結(jié)論．


【解答】解：如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，


則 k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1為鈍角，


故選：AD．


11．（2020春?揚州期末）已知直線l與圓C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1），則實數(shù)a的取值可為（ ）


A．1B．2C．3D．4


【分析】由弦AB的中點為M（0，1）可得點M在圓內(nèi)，可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故選出答案．


【解答】解：由題意弦AB的中點為M（0，1），則可得M點在圓內(nèi)，將點M坐標代入圓的方程可得：﹣3+a＜0，即a＜3，


故選：AB．


12．（2020春?崇川區(qū)校級期中）已知圓M：（x﹣1﹣csθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直線l：kx﹣y﹣k+2＝0，下列四個選項，其中正確的是（ ）


A．對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點


B．存在實數(shù)k與θ，直線l和圓M相離


C．對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)θ，使得直線l與圓M相切


D．對任意實數(shù)θ，必存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切


【分析】A．由題意得圓M與直線l有公共點（1，2），


B．由d≤r判斷直線和圓不會相離．


C．由k存在和tanβ存在，對應(yīng)β存在，θ也存在．


D．舉例說明不一定存在實數(shù)k，使得直線l和圓M相切．


【解答】解：A．根據(jù)題意知圓M的圓心坐標為（1+csθ，2+sinθ），半徑為1，


無論θ取何值，都由（1﹣1﹣csθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，


從而圓M過定點（1，2），


又因為直線l：kx﹣y﹣k+2＝0，可化為k（x﹣1）﹣y+2＝0，


所以直線l過定點（1，2），從而直線l和圓M有公共點．


B．圓心到直線l的距離d＝＝


＝＝|sin（β﹣θ）|≤1＝r，（其中sinβ＝，csβ＝，tanβ＝k）


從而不存在實數(shù)k與θ，使直線與圓M相離，所以不正確，


C．因為對任意實數(shù)k，tanβ＝k，所以必存在實數(shù)θ，使d＝|sin（θ﹣α）|＝1＝r，


即直線l與圓M相切，所以正確．


D．對任意實數(shù)θ，不一定存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切，如θ＝0°時，tan90°不存在，所以不正確．


故選：AC．


三．填空題


13．（2020春?北海期末）經(jīng)過點P（2，1）且與直線x﹣2y+4＝0平行的直線方程為 ．


【分析】設(shè)經(jīng)過點P（2，1）且與直線x﹣2y+4＝0平行的直線方程為x﹣2y+c＝0，把P（2，1）代入，能求出所求的直線方程．


【解答】解：設(shè)經(jīng)過點P（2，1）且與直線x﹣2y+4＝0平行的直線方程為x﹣2y+c＝0，


把P（2，1）代入，得：2﹣2×1+c＝0，


解得c＝0，


∴經(jīng)過點P（2，1）且與直線x﹣2y+4＝0平行的直線方程為x﹣2y＝0．


故答案為：x﹣2y＝0．


14．（2020春?乃東區(qū)校級期末）已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，則x2+y2的最大值和最小值分別為 、 ．


【分析】根據(jù)題意，分析可得x2+y2﹣4x+1＝0的幾何意義為圓x2+y2﹣4x+1＝0，x2+y2的幾何意義圓上的一點與原點距離的平方，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系分析圓x2+y2﹣4x+1＝0上的點到原點距離最大值、最小值，計算可得答案．


【解答】解：根據(jù)題意，實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，則點（x，y）是圓x2+y2﹣4x+1＝0上的點，


設(shè)t＝x2+y2，其幾何意義為圓上的一點與原點距離的平方，


而圓x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，其圓心為（2，0），半徑r＝，


又圓心到原點的距離為＝2，則圓x2+y2﹣4x+1＝0上的點到原點距離最大值為2+，最小值為2﹣，


所以x2+y2的最大值是，x2+y2的最小值是；


故答案為：7+4，7﹣4．


15．（2020?永康市模擬）過定點P（4，t）作直線l，使l被圓C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦長為4，若這樣的直線l只有1條，則直線l在y軸的截距為 ．


【分析】化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標與半徑，畫出圖形，可知滿足條件的直線l是過P且與CP垂直的直線，由已知圓的半徑、弦長及垂徑定理求得|CP|，再由兩點間的距離公式列式求得t，分類寫出l的方程，則答案可求．


【解答】解：由圓C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0，得（x﹣3）2+（y﹣3）2＝9，


則圓心C（3，3），半徑為3．


如圖，


要使過定點P（4，t）的直線l被圓C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦長為4，且這樣的直線l只有1條，


則P在圓C內(nèi)部，且直線l是過P且與CP垂直的直線．


∵圓C的半徑為3，弦長為4，則|CP|＝．


即|CP|＝，解得t＝1或t＝5．


當(dāng)t＝1時，P（4，1），，，


此時直線l的方程為y﹣1＝，即x﹣2y﹣2＝0，直線l在y軸上的截距為﹣1；


當(dāng)t＝5時，P（4，5），，，


此時直線l的方程為y﹣5＝﹣，即x+2y﹣14＝0，直線l在y軸上的截距為7．


綜上，直線l在y軸的截距為﹣1或7．


故答案為：﹣1或7．





16．（2020?南京模擬）已知圓O：x2+y2＝4，點A（2，2），直線l與圓O交于P，Q兩點，點E在直線l上且滿足＝2．若AE2+2AP2＝48，則弦PQ中點M的橫坐標的取值范圍為 ．





【分析】由題意可得M，Q為線段EP的三等分點，首先證明三角形的中線長定理，可推得AM2+2QM2＝16，由垂徑定理可得AM2+2（4﹣OM2）＝16，所以AM2﹣2OM2＝8，設(shè)M（x，y），求得M的軌跡方程，考慮M在圓O內(nèi)，求得分界點的橫坐標，進而得到所求橫坐標的范圍．


【解答】解：點E在直線l上且滿足＝2．


可得M，Q為線段EP的三等分點，


先證明在三角形ABC中，AM為邊BC上的中線，即＝（+），


可得2＝（2+2+2?）


＝（2+2+2+2﹣2），


則AB2+AC2＝2AM2+2BM2，


在三角形AEP中，可得AE2+AM2＝2AQ2+2QM2，


AQ2+AP2＝2AM2+2QM2，


則AE2+2AP2＝（2AQ2+2QM2﹣AM2）+2AP2＝2（AQ2+AP2）+2QM2﹣AM2


＝2（2AM2+2QM2）+2QM2﹣AM2


＝3AM2+6QM2＝48，


即AM2+2QM2＝16，


即AM2+2（4﹣OM2）＝16，


所以AM2﹣2OM2＝8，


設(shè)M（x，y），可得（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2（x2+y2）＝8，


化為x2+y2+4x+4y＝0，


可令x2+y2＝4，聯(lián)立可得2x2+2x﹣3＝0，解得x＝，


所以由M在圓O內(nèi)，可得M的橫坐標x∈（，）．


故答案為：（，）．





四．解答題


17．（2020春?石家莊期末）已知直線l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．


（Ⅰ）若l1⊥l2，求m的值；


（Ⅱ）若l1∥l2，且他們的距離為，求m，n的值．


【分析】（Ⅰ）由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得l1⊥l2時，m的值．


（Ⅱ）由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)、兩平行直線間的距離公式，求得l1∥l2時，m、n的值．


【解答】解：（Ⅰ） 直線l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．


若l1⊥l2，則m+2＝0，求得m＝﹣2．


（Ⅱ）直線l1：x+y+2＝0； 2x+2y+4＝0 l2：mx+2y+n＝0，


若l1∥l2，且他們的距離為，則＝≠，且＝，


求得 m＝2，n＝4+2，或 n＝4﹣2．


18．（2020春?沭陽縣期中）已知△ABC的頂點為A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．


（1）求BC邊上的中線AM所在的直線方程；


（2）求AB邊上的高所在的直線方程．


【分析】（1）求出BC的中點坐標，計算中線所在的直線斜率，利用斜截式寫出直線方程；


（2）計算直線AB的斜率，求出AB邊上的高所在的直線斜率，再求對應(yīng)直線方程．


【解答】解：（1）△ABC的頂點為A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．


所以BC的中點M（﹣1，﹣3），


計算中線AM所在直線的斜率為，


所以BC邊上的中線方程為y＝7x+4；


（2）計算直線AB的斜率為，


所以AB邊上的高所在的直線方程為：，


化為一般式為x﹣6y﹣21＝0．


19．（2019秋?濮陽期末）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．


（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；


（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．





【分析】（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．設(shè)圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通過F，M在圓上，求出變量的值，得到圓的方程．


（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x＝代入圓的方程，求出y，然后求出限高．


【解答】解：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，


以1m為單位長度建立直角坐標系．


則E（﹣3，0），F(xiàn)（3，0），M（0，3），


由于所求圓的圓心在y軸上，所以設(shè)圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，


因為F，M在圓上，所以，


解得b＝﹣3，r2＝36．


所以圓的方程為x2+（y+3）2＝36．


（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，


將P的橫坐標x＝代入圓的方程，


得，


得y＝2或y＝﹣8（舍），


所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．


答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．





20．（2020春?龍崗區(qū)期末）已知圓O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0．


（1）圓O的圓心和半徑；


（2）已知點P（2，0），過點P作圓O的切線，試判斷過點P可以作出幾條切線？并求出切線方程．


【分析】（1）化圓的一般方程為標準方程，即可求得圓心坐標與半徑；


（2）判斷P在圓外，可得過點P可以作出圓O的2條切線，當(dāng)切線的斜率不存在時，直接得到切線方程，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出切線方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑列式求k，則切線方程可求．


【解答】解：（1）由圓O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1．


∴圓O的圓心為（3，4），半徑為1；


（2）把P（2，0）代入圓O的方程的左邊，得（2﹣3）2+（0﹣4）2＝17＞1，


可知點P在圓O外部，則過點P作圓O的切線，可以作2條．


當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x＝2；


當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0．


由，解得k＝．


∴切線方程為，即15x﹣8y﹣30＝0．


故過點P可以作出圓O的2條切線，切線方程為x＝2和15x﹣8y﹣30＝0．


21．（2020春?常州期末）在平面直角坐標系xOy，中，已知點A（0，﹣2），B（4，0），圓C經(jīng)過點（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．斜率為k的直線l經(jīng)過點B．


（1）求圓C的標準方程；


（2）當(dāng)k＝2時，過直線l上的一點P向圓C引一條切線，切點為Q，且滿足PQ＝PA，求點P的坐標；


（3）設(shè)M，N是圓C上任意兩個不同的點，若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點，求k的取值范圍．


【分析】（1）由圓C過三點，設(shè)圓的一般方程，將三點的坐標代入可得參數(shù)的值，進而求出圓的一般方程，由圓的標準方程和一般方程之間的轉(zhuǎn)化求出圓的標準方程；


（2）由k＝2，由題意求出直線l的方程，設(shè)P的坐標，滿足l的方程，可得橫縱坐標之間的關(guān)系，由題意可得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，又可得P的橫縱坐標的關(guān)系，進而求出P的坐標；


（3）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為K，T為該圓上任意一點，可得K為MN的中點，設(shè)CK的值為d，則d∈[0，），可得該圓的半徑的表達式，


再由|CK﹣r|≤CT≤CK+r可得CT的取值范圍，T總在以C（﹣1，0）為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，再由以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點，可得圓心到直線的距離大于半徑可得k的取值范圍．


【解答】解：（1）設(shè)圓C的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由圓C過（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．


可得E＝0，D＝2，F(xiàn)＝﹣1，


所以圓C的方程為：x2+y2+2x﹣1＝0；其標準方程為（x+1）2+y2＝2；


（2）設(shè)P（x，y），由PQ與圓C切于Q可得：PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，


所以：（x+1）2+y2﹣2＝2[（x+1）2+y2]，整理可得：x2+y2﹣2x+8y+9＝0，


因為斜率為k＝2經(jīng)過點B（4，0）的直線l的方程為y＝2（x﹣4），即y＝2x﹣8，而P在l上，


由解得：或，


所以P（3，﹣2）或（，﹣）；


（3）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為K，T為該圓上任意一點，則K為MN的中點，設(shè)CK＝d，則圓的半徑r＝，


因為|CK﹣r|≤CT≤CK+r，所以2﹣2d≤CT2≤2+2d，


因為M，N是圓C上任意兩個不同的點，所以d∈[0，），


對于任意d∈[0，），d＝∈[0，1]，所以0≤CT2≤4，


故T總在以C（﹣1，0）為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，


故直線l：y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，與該圓無公共點，


所以＞2，解得k或k．


22．（2020春?泰州期末）已知A（0，3），B，C為圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上三點．


（1）求r的值；


（2）若直線BC過點（0，2），求△ABC面積的最大值；


（3）若D為曲線x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的動點，且，試問直線AB和直線AC的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．





【分析】（1）由A（0，3）為圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上的點即可得r；


（2）方法1：設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），


S△ABC＝?1?|x1﹣x2|利用韋達定理即可求解；


方法2：設(shè)O到直線BC的距離為d，d∈（0，2]，


S△ABC＝＝＝，即可求解；


（3）直線AB和直線AC的斜率之積為m，


設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），


即可得m＝?，


由可得D（x1+x2，y1+y2﹣3），帶入x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）?，


求得m即可．


【解答】解：（1）∵A（0，3）為圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上的點，∴r2＝9，即r＝3；


（2）方法1：設(shè)直線BC的方程為y＝kx+2，B（x1，y1），C（x2，y2），


將y＝kx+2代入x2+y2＝9得，（1+k2）x2+4kx﹣5＝0．


，


S△ABC＝?1?|x1﹣x2|＝＝．


令，則S△ABC＝＝，


∵函數(shù)y＝t+在[，+∞）遞增，


所以當(dāng)k＝0時，△ABC面積取得最大值；


方法2，∵直線BC過點（0，2），∴△ABC的面積等于△OBC面積的一半，


設(shè)O到直線BC的距離為d，d∈（0，2]，


S△ABC＝＝＝，


令t＝d2∈（0，4]，S△ABC＝＝，


∴當(dāng)t＝4，即d＝2時，△ABC面積取得最大值；


（3）直線AB和直線AC的斜率之積為m，


設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），則m＝，


?，


∵，，


∴，


整理，


∵，∴（x1，y1﹣3）+（x2，y2﹣3）＝（x0，y0﹣3）．


從而D（x1+x2，y1+y2﹣3），又因為D為x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的動點，


∴，展開得（）+（x22+y）+2x1x2+2y1y2﹣4（y1+y2）+4＝4．


?9+9+（y1﹣3）（y2﹣3）+2y1y2﹣4（y1+y2）＝0，


?（m+1）y1y2﹣（2m+3）（y1+y2）+9（m+1）＝0．


?，


∵y1+y2﹣3≠﹣3，∴y1+y2≠0，


從而5m2+m＝0，（m≠0），∴．


直線AB和直線AC的斜率之積為定值﹣．


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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

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