2.1~2.5綜合拔高練高考練考點(diǎn)1　直線方程及其應(yīng)用1.已知A(2,5),B(4,1).若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,則2x-y的最大值為(　　)　 　　　　　 　　　　　 A.-1    B.3 C.7   D.82.(2019江蘇,10,5分,)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是　　　　.  考點(diǎn)2　圓的方程及其應(yīng)用3.()直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(　　)A.[2,6]            B.[4,8]C.[,3]            D.[2,3]4.(2019浙江,12,6分,)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=　　　　,r=　　　　.  5.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,15,5分,)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　. 6.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為　　　　. 7.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為　　　　　　. 8.如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB和橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng);(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說明理由;(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離.     
模擬練應(yīng)用實(shí)踐1.(2020湖南五市十校高二上期中,)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,里面證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比值為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(　　)　　　　 　　　　　 A.x2+(y-5)2=9     B.x2+(y+5)2=9C.(x-5)2+y2=16     D.(x+5)2+y2=162.(2020四川成都高二上期末,)圓(x+3)2+(y+4)2=16與圓x2+y2=4的位置關(guān)系為(　　)A.相離     B.內(nèi)切C.外切     D.相交3.(2020安徽阜陽高二上期末,)“-2≤a≤2”是“直線y=x+a與圓x2+y2=4相交”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(2020河北保定高二上期末,)若關(guān)于x的方程-kx+4k-3=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)A.          B.C.          D.5.(多選)()設(shè)有一組圓Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四個(gè)命題中為真命題的是(　　)A.存在一條定直線與所有的圓均相切B.存在一條定直線與所有的圓均相交C.存在一條定直線與所有的圓均不相交D.所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)6.(2020河北唐山一中高二上期中,)過點(diǎn)P(3,6),且被圓x2+y2=25所截弦長(zhǎng)為8的直線方程為　　　　.7.(2020河南信陽高級(jí)中學(xué)高二上期中,)已知圓N經(jīng)過點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),且它的圓心在直線3x-y-2=0上.(1)求圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程;(2)若點(diǎn)D為圓N上任意一點(diǎn),且點(diǎn)C(3,0),求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程.           8.(2020安徽銅陵高二上期末,)已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,0),且該圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,4).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn)B也在圓C上,且弦AB的長(zhǎng)為8,求直線AB的方程;(3)直線l交圓C于M,N兩點(diǎn),若直線AM,AN的斜率之積為2,求證:直線l過一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).          
遷移創(chuàng)新9.(2020廣東佛山一中高二上期中,)規(guī)定:在桌面上,用母球擊打目標(biāo)球,使目標(biāo)球運(yùn)動(dòng),球的位置是指球心的位置,我們說球A是指該球的球心點(diǎn)A.兩球碰撞后,目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線上運(yùn)動(dòng),目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向是指目標(biāo)球被母球擊打時(shí),母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向.所有的球都簡(jiǎn)化為平面上半徑為1的圓,且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時(shí),目標(biāo)球就開始運(yùn)動(dòng),在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系,解決下列問題:(1)如圖①,若母球A的位置為(0,0),目標(biāo)球B的位置為(4,0),要使目標(biāo)球B向B'(8,-4)處運(yùn)動(dòng),求母球A的球心運(yùn)動(dòng)的直線方程;(2)如圖②,若母球A的位置為(0,-2),目標(biāo)球B的位置為(4,0),能否讓母球A擊打目標(biāo)球B后,使目標(biāo)球B向B'(8,-4)處運(yùn)動(dòng)?(3)當(dāng)A的位置為(0,a)時(shí),使得母球A擊打目標(biāo)球B,目標(biāo)球B(4,0)運(yùn)動(dòng)方向可以碰到目標(biāo)球C(7,-5),求a的最小值(只需要寫出結(jié)果即可).圖①圖②答案全解全析五年高考練1.C　如圖,點(diǎn)P(x,y)在線段AB上且A(2,5),B(4,1),設(shè)z=2x-y,則y=2x-z,易知-z為y軸上的截距,則當(dāng)-z最小時(shí),z最大.由圖知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)B(4,1)時(shí),z取得最大值,最大值為2×4-1=7.2.答案　4解析　解法一:設(shè)P,x0>0,則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離d==·≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x0=,即x0=時(shí)取“=”.故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.解法二:作直線x+y=0的平行線x+y+C=0(圖略),當(dāng)直線x+y+C=0與曲線y=x+(x>0)相切于點(diǎn)P時(shí),點(diǎn)P到直線x+y=0的距離最小,由得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4.因?yàn)?/span>x>0,所以y>0,所以C<0,所以C=-4,故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是=4.3.A　由圓(x-2)2+y2=2可得圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=,△ABP的面積記為S,點(diǎn)P到直線AB的距離記為d,則有S=|AB|·d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2≤S≤6.故選A.4.答案　-2;解析　解法一:設(shè)直線2x-y+3=0為l,則AC⊥l,又kl=2,∴kAC==-,解得m=-2,∴C(0,-2),∴r=|AC|==.解法二:由題知點(diǎn)C到直線的距離為,r=|AC|=.由直線與圓C相切得=,解得m=-2,∴r==.5.答案　2解析　將圓x2+y2+2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=4,則圓心坐標(biāo)為(0,-1),半徑r=2,∴圓心到直線x-y+1=0的距離d==,∴|AB|=2=2=2.6.答案　4π解析　把圓C的方程化為x2+(y-a)2=2+a2,則圓心為(0,a),半徑r=.圓心到直線x-y+2a=0的距離d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,則r2=4,所以圓C的面積S=πr2=4π.7.答案　(x-2)2+y2=9解析　設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),則圓心到直線2x-y=0的距離d==,解得a=2(負(fù)值舍去),半徑r==3,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.8.解析　解法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因?yàn)?/span>PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==,所以PB===15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD==10,從而cos∠BAD==>0,所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí),CQ===3. 此時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)PB⊥AB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且CQ=3時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+3.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為(17+3)百米.解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為3,-3.因?yàn)?/span>AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(-4,-3),直線AB的斜率為.因?yàn)?/span>PB⊥AB,所以直線PB的斜率為-,直線PB的方程為y=-x-.所以P(-13,9),PB==15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點(diǎn)E(-4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).在線段AD上取點(diǎn)M,因?yàn)?/span>OM=<=5,所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1(-13,9);當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí),設(shè)Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9).此時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(-13,9),Q(4+3,9)時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=4+3-(-13)=17+3.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為(17+3)百米.三年模擬練1.C　設(shè)M(x,y),依題意得,=2,化簡(jiǎn)得,x2-10x+y2+9=0,配方得,(x-5)2+y2=16.故選C.2.D　圓(x+3)2+(y+4)2=16的圓心坐標(biāo)為(-3,-4),半徑r=4,圓x2+y2=4的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑R=2,∴兩圓的圓心距d==5,∵r+R=4+2=6>5,|R-r|=4-2=2<5,∴兩圓相交.故選D.3.A　若直線y=x+a與圓x2+y2=4相交,則圓心到直線的距離d=<2,即-2<a<2,所以“-2≤a≤2”是“直線y=x+a與圓x2+y2=4相交”的充分不必要條件.故選A.4.D　方程-kx+4k-3=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即=k(x-4)+3有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即y=的圖象與直線y=k(x-4)+3有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即過(4,3)的直線與以(2,0)為圓心,2為半徑的上半圓有且只有兩個(gè)交點(diǎn),如圖所示,當(dāng)直線與半圓相切時(shí),圓心(2,0)到直線kx-y-4k+3=0的距離為2,即=2,解得k=,當(dāng)直線過(0,0)時(shí),斜率為,所以k的取值范圍為.故選D.5.BD　根據(jù)題意得,圓心(k-1,3k),圓心在直線y=3(x+1)上,故存在直線y=3(x+1)與所有圓都相交,B正確;考慮兩圓的位置關(guān)系,圓Ck:圓心(k-1,3k),半徑r=k2,圓Ck+1:圓心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半徑R=(k+1)2,兩圓的圓心距d==,兩圓的半徑之差R-r=(k+1)2-k2=2k+,任取k=1或k=2時(shí),R-r>d,Ck含于Ck+1之中,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)k無限增大時(shí),可以認(rèn)為所有直線都與圓相交,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;將(0,0)代入圓Ck的方程,則有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因?yàn)榈忍?hào)左邊為奇數(shù),等號(hào)右邊為偶數(shù),所以不存在k使上式成立,即所有圓均不經(jīng)過原點(diǎn),選項(xiàng)D正確.故選BD.6.答案　x=3或3x-4y+15=0解析　設(shè)圓心到直線的距離為d,依題意得,42+d2=25,∴d=3.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,∴d==3,化簡(jiǎn)得,4k-3=0?k=,此時(shí)直線的方程為y-6=(x-3),即3x-4y+15=0.綜上,直線的方程為x=3或3x-4y+15=0.易錯(cuò)警示　在設(shè)直線的斜率求直線的方程時(shí),不要遺漏斜率不存在的直線.一方面,要能發(fā)現(xiàn)“遺漏”:在化簡(jiǎn)含有k的方程時(shí),若消去二次項(xiàng),要懷疑直線有“遺漏”的情況;另一方面,要能找回“遺漏”的直線,此時(shí)只要直接驗(yàn)證斜率不存在的直線是否符合題意即可.7.解析　(1)由已知可設(shè)圓心N(a,3a-2),又由已知得|NA|=|NB|,從而有=,解得a=2,所以圓N的圓心為N(2,4),半徑r=,所以圓N的方程為(x-2)2+(y-4)2=10,圓心關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為(1,5),所以圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程為(x-1)2+(y-5)2=10.(2)設(shè)M(x,y),D(x1,y1),則由C(3,0)及M為線段CD的中點(diǎn)得,解得又點(diǎn)D在圓N:(x-2)2+(y-4)2=10上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,即+(y-2)2=,故所求的軌跡方程為+(y-2)2=.8.解析　(1)因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),所以半徑為|AC|=5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=25.(2)①當(dāng)斜率k不存在時(shí),直線AB的方程為x=0;②當(dāng)斜率k存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+4,B(xB,yB),聯(lián)立方程解得又|AB|=8,所以k=-,所以直線AB的方程為7x+24y-96=0,綜上所述,直線AB的方程為x=0或7x+24y-96=0.(3)設(shè)直線MN:y=kx+t,M(x1,kx1+t),N(x2,kx2+t),則kAM·kAN=·=2?(k2-2)x1x2+k(t-4)(x1+x2)+(t-4)2=0,①聯(lián)立?(k2+1)x2+(2kt-6)x+t2-16=0,所以x1+x2=,x1x2=,代入①得(k2-2)(t2-16)+(kt-4k)(-2kt+6)+(t-4)2(1+k2)=0,化簡(jiǎn)得k=+2,所以直線l的方程為y=x+t,所以過定點(diǎn)(-6,-12).9.解析　(1)過點(diǎn)B(4,0)與點(diǎn)B'(8,-4)的直線方程為x+y-4=0, 依題意,知A,B兩球碰撞時(shí),球A的球心在直線x+y-4=0上,且在第一象限,此時(shí)|AB|=2.設(shè)A,B兩球碰撞時(shí)球A的球心坐標(biāo)為A'(a,b),則有解得即A,B兩球碰撞時(shí)球A的球心坐標(biāo)為A'(4-,),所以母球A運(yùn)動(dòng)的直線方程為y=x=x.(2)由(1)知,A'(4-,),又A(0,-2),B(4,0),∴=(4-,2+),=(-,),∴·=(4-,2+)·(-,)= 4-2>0,故∠AA'B為銳角.所以點(diǎn)B(4,0)到線段AA'的距離小于2,故球A的球心未到直線BB'上的點(diǎn)A'之前就會(huì)與球B碰撞.故不可能讓母球A擊打目標(biāo)球B后,使目標(biāo)球B向B'(8,-4)處運(yùn)動(dòng).(3)a的最小值為-2.要使得a最小,臨界條件為母球A從目標(biāo)球B的左上方A'處撞擊目標(biāo)球B后, 目標(biāo)球B從目標(biāo)球C的右上方B'處撞擊目標(biāo)球C.如圖所示, 設(shè)B'(x,y)是目標(biāo)球B可碰到目標(biāo)球C的所有路徑中最遠(yuǎn)離BC的那條路徑上離目標(biāo)球C最近的點(diǎn),則有聯(lián)立解得∴B'(8,-4),∴直線CB'的傾斜角為45°,∴直線A'B的傾斜角為135°,易得A'(3,).過A'(3,)作傾斜角為45°的直線,交y軸于點(diǎn)A,易得A(-2,0),若a<-2,則母球A會(huì)在到達(dá)A'之前就與目標(biāo)球B碰撞,不合題意.因此a的最小值為-2.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

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版本： 人教A版 (2019)

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