二十　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (15分鐘　30分)1．(2020·寧波高二檢測(cè))已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(　　)A．2      B．5       C．6       D．7【解析】選D.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，則|PF1|＋|PF2|＝2a，由橢圓方程知a＝5，所以點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10－3＝7.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 (2020·吳起高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，PF的中點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OQ|＝1，則|PF|＝(　　)A．3      B．4      C．5      D．6【解析】選D.設(shè)左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為E，因?yàn)?/span>PF的中點(diǎn)為Q，EF的中點(diǎn)為O，所以|PE|＝2|OQ|＝2，又|PE|＋|PF|＝2a＝8，所以|PF|＝6.2．已知橢圓過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.＋x2＝1       B．＋y2＝1或x2＋＝1C．＋y2＝1       D．以上都不對(duì)【解析】選A.設(shè)橢圓方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由題意得解得所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1.3．橢圓5x2＋ky2＝5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，2)，那么k＝(　　)A．－1      B．1      C．      D．－【解析】選B.由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1.因?yàn)榻裹c(diǎn)為(0，2)，所以a2＝，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1.4．(2020·濟(jì)南高二檢測(cè))若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【解析】由題可知，方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得1－m>m>0，解得0<m<，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.答案：5．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】由題意可得所以故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2020·綏德高二檢測(cè))橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F2，P為橢圓上一點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為(　　)A．9      B．12      C．10      D．8【解析】選A.由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝10，又PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4×＝64，從而得|PF1|·|PF2|＝18，所以△F1PF2的面積為9.2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則橢圓C的方程為(　　)A．＋y2＝1        B．＋＝1C．＋＝1        D．＋＝1【解析】選C.設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，令x＝c，則y＝±，由|AB|＝3，得＝3，①，又a2－b2＝c2＝1，②聯(lián)立①②得a2＝4，b2＝3.所以橢圓的方程為＋＝1.3．設(shè)橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，P為橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，則|PF|＝(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選D.由橢圓方程易求點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)為，左焦點(diǎn)為F(－，0)，所以|PF|＝＝.4．(2020·常德高二檢測(cè))已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P在橢圓C上，若|PF1|＝6，則∠PF1F2的余弦值為(　　)A．      B．      C．      D．【解析】選A.因?yàn)闄E圓方程為＋＝1，|PF1|＝6，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝16，所以|PF2|＝10，而|F1F2|＝2＝10，故cos ∠PF1F2＝＝＝.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，給出下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法是(　　)A．當(dāng)a＝2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在B．當(dāng)a＝4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為3C．當(dāng)a＝4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為6D．當(dāng)a＝3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓【解析】選AC.當(dāng)a＝2時(shí)，2a＝4<|AB|，故點(diǎn)P的軌跡不存在，A正確；當(dāng)a＝4時(shí)，2a＝8>|AB|，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為|AB|＝6，B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)a＝3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段AB，D錯(cuò)誤．6．(2020·沈陽(yáng)高二檢測(cè))橢圓＋＝1上的一點(diǎn)P到橢圓焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為(　　)A．    B．    C．    D．【解析】選BD.記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，則知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，0)或(4，0).三、填空題(每小題5分，共10分)7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(－4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓＋＝1上，則＝______.【解析】由題意知，A，C為橢圓的兩焦點(diǎn)，則|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以＝＝＝.答案：8．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．【解析】橢圓方程化為＋＝1，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F1共線時(shí)等號(hào)成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.答案：6＋　6－四、解答題(每小題10分，共20分)9．(2020·遂寧高二檢測(cè))求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與橢圓＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(2)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．【解析】(1)橢圓＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1，0)，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(m>0，n>0，m≠n).把A，B兩點(diǎn)代入，得，解得m＝8，n＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.10．設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|.當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程．【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，P的坐標(biāo)是(xP，yP)，因?yàn)辄c(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.因?yàn)?/span>P在圓x2＋y2＝25上，所以x2＋＝25，整理得＋＝1，即點(diǎn)M的軌跡C的方程是＋＝1.【創(chuàng)新遷移】1．已知點(diǎn)P(6，8)是橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，F1，F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，若＝0.試求(1)橢圓的方程．(2)sin ∠PF1F2的值．【解析】(1)因?yàn)?/span>＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以橢圓方程為＋＝1.(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，則|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，所以|PF1|＝＝＝8，所以sin ∠PF1F2＝＝＝.2．(2020·靖遠(yuǎn)高二檢測(cè))已知△ABC的周長(zhǎng)為4＋8且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線Q.(1)求曲線Q的方程；(2)直線l過(guò)點(diǎn)P，交曲線Q于M，N兩點(diǎn)，且P為MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．【解析】(1)因?yàn)?/span>△ABC的周長(zhǎng)為4＋8，點(diǎn)A，B，所以|AB|＝4，|BC|＋|AC|＝8.因?yàn)?/span>8>4，所以點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，所以點(diǎn)C的軌跡是橢圓，設(shè)它的方程為＋＝1.所以a＝4，c＝2，b2＝4，所以橢圓的方程是＋＝1.(2)設(shè)M，N，因?yàn)閮牲c(diǎn)在橢圓上，所以，兩式相減可得＋＝0，因?yàn)?/span>x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入可得＝－，所以直線l的方程是y－1＝－，即x＋4y－5＝0.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

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