十八　直線與圓的位置關(guān)系(15分鐘　30分)1．(多選題)在同一直角坐標(biāo)系中，直線ax－y＋a＝0與圓(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是(　　)【解析】選AD.圓(x＋a)2＋y2＝a2的圓心(－a，0)，半徑為|a|，由題意可得d＝，不妨＜|a|，可得＜1，即1－2a＋a2＜1＋a2，當(dāng)a＞0時(shí)，恒成立，可知A正確，B不正確；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式不成立，說(shuō)明直線與圓相離，但是直線的斜率為負(fù)數(shù)，所以C不正確，截距是負(fù)數(shù)，所以D正確．2．已知直線2x－y＋3＝0與圓C：x2＋y2＋ay－1＝0相切，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)A．－1      B．4      C．－1或4      D．－1 或2【解析】選C.圓C：x2＋y2＋ay－1＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋2＝1＋，可知圓心坐標(biāo)為，半徑＝.因?yàn)橹本€2x－y＋3＝0與圓C相切，所以＝.化簡(jiǎn)得a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1.3．直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)A．[2，6]          B．[4，8]C．[，3]       D．[2，3]【解析】選A.因?yàn)橹本€x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，所以A，B，則＝2.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓2＋y2＝2上，所以圓心為，則圓心到直線距離d1＝＝2，故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d的范圍為，則S△ABP＝d＝d∈.4．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．【解析】由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.所以圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.答案：25．過(guò)定點(diǎn)M的直線：kx－y＋1－2k＝0與圓：2＋2＝9相切于點(diǎn)N，求.【解析】直線：kx－y＋1－2k＝0過(guò)定點(diǎn)M(2，1)，(x＋1)2＋(y－5)2＝9的圓心，半徑為3；定點(diǎn)與圓心的距離為＝5.過(guò)定點(diǎn)M的直線：kx－y＋1－2k＝0與圓：(x＋1)2＋(y－5)2＝9相切于點(diǎn)N，則＝＝4.(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A．        B. C.          D. 【解析】選A.依題意可知，直線與圓相交或相切．x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，即為＋2＝2－a.由≤，解得a≤0.2．已知直線ax＋y－1＝0與圓C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1      B．2      C．1或2      D．1或－1【解析】選D.因?yàn)?/span>△ABC是等腰直角三角形，所以圓心C到直線ax＋y－1＝0的距離為1×sin 45°＝1×＝.由點(diǎn)到直線的距離公式可得＝，解得a＝±1.3．曲線y＝1＋與直線y＝k＋4有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)A．k≥        B．－≤k<－C．k>        D．<k≤【解析】選D.y＝1＋可化為x2＋2＝4，所以曲線y＝1＋表示以為圓心，2為半徑的圓的y≥1的部分，又直線y＝k＋4恒過(guò)定點(diǎn)A可得圖象如圖所示：當(dāng)直線y＝k＋4為圓的切線時(shí)，可得d＝＝2，解得k＝，當(dāng)直線y＝k＋4過(guò)點(diǎn)B時(shí)，k＝＝.由圖象可知，當(dāng)y＝k＋4與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)<k≤.4．過(guò)圓O：x2－2x＋y2－15＝0內(nèi)一點(diǎn)M(－1，3)作兩條相互垂直的弦AB和CD且AB＝CD，則四邊形ACBD的面積為(　　)A．16      B．17      C．18      D．19【解析】選D.將圓的一般方程x2－2x＋y2－15＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝16，得圓心O的坐標(biāo)為(1，0)，半徑長(zhǎng)為4.過(guò)圓心O作弦AB和CD的垂線可得一矩形，且OM是該矩形的一條對(duì)角線．由AB＝CD可知該矩形為正方形．由OM＝＝及垂徑定理可得AB＝CD＝2＝，所以S四邊形ACBD＝＝19.【誤區(qū)警示】本題容易轉(zhuǎn)化為一條弦過(guò)圓心．解決本題，應(yīng)該作出圖象，把弦長(zhǎng)相等轉(zhuǎn)化為圓心到弦所在直線距離相等．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．若直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝1相切，則b可取的值為(　　)A．－2      B．±      C．2      D．± 【解析】選AC.因?yàn)橹本€y＝x＋b與圓x2＋y2＝1相切，所以＝1，解得b＝±2.6．若圓x2＋y2＝r2上恰有相異兩點(diǎn)到直線4x－3y＋25＝0的距離等于1，則r可以取值(　　)A．      B．5      C．      D．6【解析】選ABC.圓心(0，0)到直線4x－3y＋25＝0的距離d＝＝5，半徑為r，若圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y＋25＝0的距離等于1，則r＝4或r＝6，故當(dāng)圓x2＋y2＝r2上恰有相異兩點(diǎn)到直線4x－3y＋25＝0的距離等于1，所以r∈(4，6).三、填空題(每小題5分，共10分)7．已知圓的方程為x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，過(guò)點(diǎn)P(1，0)作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A，那么線段PA的長(zhǎng)度為________．【解題指南】根據(jù)勾股定理求切線長(zhǎng)．【解析】圓x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，即(x＋1)2＋(y－4)2＝9，故設(shè)點(diǎn)C(－1，4)為圓心、半徑R＝3，由切線長(zhǎng)定理可得切線長(zhǎng)＝＝＝.答案：8．過(guò)點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則·的值為________．【解析】依題意作出圖象．由題意可知，PA⊥OA，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓O上，所以PA是圓O的一條切線．作出另一條切線PB，如圖所示．因?yàn)?/span>tan ∠POA＝＝，且∠POA∈，所以∠POA＝.因?yàn)?/span>A，B均是切點(diǎn)，所以∠PBO＝∠PAO＝，∠POB＝∠POA＝，所以∠BPA＝.·＝|PA|·|PB|·cos ∠BPA＝××＝.答案：四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知圓C的圓心為(1，1)，直線x＋y－4＝0與圓C相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若另一條直線過(guò)點(diǎn)(2，3)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，求此直線的方程．【解析】(1)半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由弦長(zhǎng)為2得圓心到直線的距離為＝1.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，x＝2，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)直線y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，由＝1，解得k＝，直線方程3x－4y＋6＝0.綜上，所求直線方程為x＝2或3x－4y＋6＝0.10．已知以點(diǎn)A(－1，2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過(guò)點(diǎn)B(－2，0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)．(1)求圓A的方程．(2)當(dāng)MN＝2時(shí)，求直線l的方程．【解析】(1)設(shè)圓A的半徑為r，因?yàn)閳AA與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝＝2，所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，則直線l的方程為x＝－2，此時(shí)有MN＝2，即x＝－2符合題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，因?yàn)?/span>Q是MN的中點(diǎn)，所以AQ⊥MN，所以AQ2＋＝r2，又因?yàn)?/span>MN＝2，r＝2，所以AQ＝＝1，解方程AQ＝＝1，得k＝，所以此時(shí)直線l的方程為y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.【創(chuàng)新遷移】(多選題)直線l：x＋y＝t和圓O：x2＋y2＝20交于點(diǎn)A和B，且△AOB的面積為整數(shù)，則所有滿足要求的正整數(shù)t的值為(　　)A．2       B．4       C．5      D．6【解析】選AD.直線l：x＋y＝t，即x＋y－t＝0，所以圓心(0，0)到直線的距離d＝，所以弦長(zhǎng)AB＝2，即AB＝2，面積S＝AB×d＝，所以只有t取2或6時(shí)，滿足要求． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.5 直線與圓、圓與圓的位置

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