第二章 直線(xiàn)和圓的方程 章節(jié)復(fù)習(xí) 夯實(shí)、拓展、感悟與提升 一、夯實(shí)雙基，逐層認(rèn)知 本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 重點(diǎn)1 直線(xiàn)的傾斜角與斜率 例1（1） （多選）已知直線(xiàn)和滿(mǎn)足下列條件，則正確結(jié)論是（ ） A. 若的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則 B. 若過(guò)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，，則 C. 若過(guò)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，，則 D. 若過(guò)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，，則 【解析】對(duì)于A，，.∵，∴，正確； 對(duì)于B，的傾斜角為，則軸．，則軸，∴，正確； 對(duì)于C，，，∴.又，∴，正確； 對(duì)于D，∵與都與軸垂直，∴，正確. 故選ABCD 例1（2）已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB始終有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是__________. 【解析】由已知，, . 作圖分析，可知直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足或 即或 【答案】 重點(diǎn)2 直線(xiàn)的方程 例2（1）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直，則的方程是（ ） A. B. C. D. 【解析】方法一：由直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可知直線(xiàn)的斜率是， 由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)的方程為，即，故選A 方法二：由直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可設(shè)直線(xiàn)的方程為， 又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得 直線(xiàn)的方程為，故選A 例2（2）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線(xiàn)的方程為_(kāi)________________ 【解析】設(shè)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距為． 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以此時(shí)直線(xiàn)的方程為． 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，則此時(shí)直線(xiàn)的方程為． 綜上知，所求直線(xiàn)的方程為或． 【答案】或 例2（3）一條光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)射向軸上一點(diǎn)又從反射到直線(xiàn)上的一點(diǎn)又從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為 ___________. 【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為， 在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)得 【答案】 重點(diǎn)3 直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系 例3（1） 已知，若平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)，則_______ 【解析】由已知，三點(diǎn)共線(xiàn)， 所以 【答案】 例3（2）經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是___________ 【解析】由圓方程，所以圓心為 所求直線(xiàn)的斜率為，方程為，即 【答案】 例3（3）已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則過(guò)圓心且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方程為 . 【解析】由已知，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意 ， 又圓心在x軸的正半軸上，所以，圓心坐標(biāo)為， 因?yàn)閳A心在所求的直線(xiàn)上，所以， 所以，所求的直線(xiàn)方程為 【答案】 例3（4）已知直線(xiàn)的方程為，則該直線(xiàn)對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是____ 【解析】將方程整理為，這個(gè)方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立， 必須滿(mǎn)足，解得且，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 【答案】 重點(diǎn)4 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程 例4（1）過(guò)點(diǎn)的圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，則圓的方程為_(kāi)____________ 【解析】設(shè)圓的方程為， 則 解得，所以，所求圓的方程為. 【答案】 例4（2）已知圓，過(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線(xiàn)，則的取值范圍為 ． 【解析】有由已知，圓的方程可化為， 其中，即 ① 因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線(xiàn)，所以點(diǎn)在圓外 ，即． ② 由①②可得：， 所以的取值范圍 【答案】 重點(diǎn)5 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例5（1）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓：有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【解析】方法一：設(shè)過(guò)的直線(xiàn)的方程為，即 （注：當(dāng)不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意）． 直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則，故選C． 方法二：如圖， 因此 故選C 例5（2）已知直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸.過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則（　?。?A. 2 B. C. 6 D. 【解析】由已知，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為， 因此，，即， 所以，故選C. 例5（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________. 【解析】由題意得，半徑等于 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為，故所求圓為 【答案】 二、拓展思維，熟知方法 重點(diǎn)6 直線(xiàn)與圓的應(yīng)用 例6（1） 已知直線(xiàn)和直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的值為_(kāi)_________ 【解析】直線(xiàn)的方程可化為， 該直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 直線(xiàn)的方程可化為， 該直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 如圖，所求四邊形是， 所以當(dāng)時(shí)，四邊形面積最?。?【答案】 例6（2）一條光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓 QUOTE \* MERGEFORMAT 相切，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（ ） A. 或 B.  QUOTE \* MERGEFORMAT 或  QUOTE -23 \* MERGEFORMAT  C. 或 D. 或 【解析】由已知，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)點(diǎn) ， 設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為 ，即. 又因?yàn)楣饩€(xiàn)與圓相切， ， 所以 ，即 ， 解得 ，或，故選D． 三、感悟問(wèn)題，提升能力 1. 已知圓，若直線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值是_________. 【解析】由已知，得圓，所以圓的圓心為 依題意，直線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)，且 以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)， 所以存在，使得成立，即 又即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，解得. 所以實(shí)數(shù)的最大值是 【答案】 2.若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是_________ 【解析】由曲線(xiàn)，所以曲線(xiàn)是以點(diǎn)，1為半徑的圓； 曲線(xiàn)則表示兩條直線(xiàn)，即軸與直線(xiàn)， 因?yàn)檩S與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，依題意直線(xiàn)與圓相切， 所以，圓心到直線(xiàn)的距離 【答案】 3. 已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【解析】由已知，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上， 又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可， 所以，即， 即的最大值為6，故選B 4. 設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【解析】由已知得，則消去得， 所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，，所以， 令，則 .因?yàn)?，所? 所以，，故選B. 5. 在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線(xiàn)相切． （1）求圓的方程； （2）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使，求的取值范圍． 【解析】（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離， 即． 得圓的方程為． （2）不妨設(shè)． 由即得．設(shè)， 由，得 ， 化簡(jiǎn)得 ． 方法一： 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故 由此得． 所以的取值范圍為． 方法二： 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故 又 所以 所以的取值范圍為

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