2020-2021學(xué)年第二章 直線和圓的方程本章綜合與測試導(dǎo)學(xué)案

這是一份2020-2021學(xué)年第二章 直線和圓的方程本章綜合與測試導(dǎo)學(xué)案，共13頁。學(xué)案主要包含了與距離有關(guān)的最值問題，與面積相關(guān)的最值問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
導(dǎo)語
2017年7月我國首座海上風(fēng)電平臺4G基站在黃海建成，信號覆蓋范圍達(dá)60公里．
一艘船由于機(jī)械故障在海上遇險，想要求救，卻發(fā)現(xiàn)手機(jī)沒有信號．已知基站在海面上的信號覆蓋范圍是以基站為圓心的一個圓及其內(nèi)部區(qū)域，那么船到達(dá)信號區(qū)域的最短路程是多少呢？(引出課題：探究與圓有關(guān)的最值問題．)
一、與距離有關(guān)的最值問題
1．圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
2．直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
3．過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝2eq \r(r2－d2)，最大值＝2r.
4．直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝eq \r(d2－r2).
例1 (1)當(dāng)直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，所以直線l會經(jīng)過定點eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))
解得定點坐標(biāo)為M(3,1) ，圓心C為(1,2)，當(dāng)直線l與CM垂直時，直線被圓截得的弦長最短，kCM＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，kl＝－eq \f(2m＋1,m＋1)，所以kCM×kl＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m＋1,m＋1)))＝－1，解得m＝－eq \f(3,4).
(2)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0關(guān)于直線l：3ax＋2by＋4＝0對稱，則由點M(a，b)向圓C所作的切線中，切線長的最小值是( )
A．2 B.eq \r(5) C．3 D.eq \r(13)
答案 B
解析 因為圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
所以圓心為C(1，－2)，半徑R＝2.
因為圓C關(guān)于直線l：3ax＋2by＋4＝0對稱，
所以l：3a－4b＋4＝0，所以點M(a，b)在直線l1：3x－4y＋4＝0上，
所以|MC|的最小值為d＝eq \f(|3＋8＋4|,5)＝3，切線長的最小值為eq \r(d2－R2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).
反思感悟 (1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數(shù)形結(jié)合確定距離的最值．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當(dāng)切線長最短時，m的值為( )
A．－1 B．1 C．2 D．0
答案 B
解析 x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化為(x－m)2＋(y－1)2＝1，圓心C(m，1)，半徑為1，
切線長最短時，|CP|最小，|CP|＝eq \r(?m－1?2＋9)，
即當(dāng)m＝1時，|CP|最小，切線長最短．
(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為________．
答案 2eq \r(2)
解析 設(shè)點A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.
當(dāng)弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，
|CA|＝eq \r(?2－3?2＋?2－1?2)＝eq \r(2).
∴半弦長＝eq \r(r2－|CA|2)＝eq \r(4－2)＝eq \r(2).
∴最短弦長為2eq \r(2).
二、與面積相關(guān)的最值問題
例2 已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則△OAM面積的最小值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 根據(jù)題意，得圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(3，－1)，半徑r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直線是y軸，
當(dāng)M到直線AO的距離最小時，△OAM的面積最小，
則M到直線AO的距離的最小值d＝3－2＝1，
則△OAM的面積最小值S＝eq \f(1,2)×|OA|×d＝1.
反思感悟 求圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
答案 B
解析 設(shè)圓心到直線的距離為d(00，所以k＝2.
三、利用數(shù)學(xué)式的幾何意義解圓的最值問題
例3 已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；
(3)求x＋y的最大值與最小值．
解 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化為(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)eq \f(y,x)表示圓上的點P與原點連線所在直線的斜率，如圖(1)所示，顯然PO(O為坐標(biāo)原點)與圓相切時，斜率最大或最小．
設(shè)切線方程為y＝kx(由題意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于半徑2，可得eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(9±2\r(14),5)，所以eq \f(y,x)的最大值為eq \f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq \f(9－2\r(14),5).
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圓上的點P到E(－1,0)的距離的平方再加2，所以當(dāng)點P與點E的距離最大或最小時，所求式子取得最大值或最小值，如圖(2)所示，顯然點E在圓C的外部，所以點P與點E距離的最大值為|P1E|＝|CE|＋2，點P與點E距離的最小值為|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝eq \r(?3＋1?2＋32)＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值為(5＋2)2＋2＝51，最小值為(5－2)2＋2＝11.
(3)設(shè)x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，如圖(3)所示，顯然當(dāng)動直線y＝－x＋b與圓(x－3)2＋(y－3)2＝4相切時，b取得最大值或最小值，此時圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓的半徑2，則eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq \r(2)，解得b＝6±2eq \r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq \r(2)，最小值為6－2eq \r(2).
反思感悟 (1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(l,b)的截距的最值問題．
跟蹤訓(xùn)練3 (多選)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則下列說法正確的是( )
A．y－x的最大值為eq \r(6)－2
B．x2＋y2的最大值為7＋4eq \r(3)
C.eq \f(y,x)的最大值為eq \f(\r(3),2)
D．x＋y的最大值為2＋eq \r(3)
答案 AB
解析 對于A，設(shè)z＝y(tǒng)－x，則y＝x＋z，z表示直線y＝x＋z的縱截距，當(dāng)直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，eq \f(|2＋z|,\r(2))≤eq \r(3)，解得－eq \r(6)－2≤z≤eq \r(6)－2，所以y－x的最大值為eq \r(6)－2，故A說法正確；
對于B，x2＋y2的幾何意義是表示圓上的點到原點距離的平方，易知原點到圓心的距離為2，則原點到圓上的最大距離為2＋eq \r(3)，所以x2＋y2的最大值為(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，故B說法正確；
對于C，設(shè)eq \f(y,x)＝k，把y＝kx代入圓方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，則Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－eq \r(3)≤k≤eq \r(3)，eq \f(y,x)的最大值為eq \r(3)，故C說法錯誤；
對于D，設(shè)m＝x＋y，則y＝－x＋m，m表示直線y＝－x＋m的縱截距，當(dāng)直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，eq \f(|－2＋m|,\r(2))≤eq \r(3)，解得－eq \r(6)＋2≤m≤eq \r(6)＋2，所以x＋y的最大值為eq \r(6)＋2，故D說法錯誤．
1．知識清單：
(1)與距離、面積有關(guān)的最值問題
(2)利用數(shù)學(xué)式的幾何意義解圓的最值問題．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想．
3．常見誤區(qū)：忽略隱含條件導(dǎo)致范圍變大．
1．圓x2＋y2＝4上的點到直線4x－3y＋25＝0的距離的取值范圍是( )
A．[3,7] B．[1,9]
C．[0,5] D．[0,3]
答案 A
解析 x2＋y2＝4，圓心(0,0)，半徑r＝2，
圓心到直線4x－3y＋25＝0的距離d＝eq \f(|0－0＋25|,\r(42＋?－3?2))＝5，
所以圓上的點到直線的距離的最小值為5－2＝3，
最大值為5＋2＝7，所以圓上的點到直線的距離的取值范圍為[3,7]．
2．已知O為坐標(biāo)原點，點P在單位圓上，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|的最小值為( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2 D．4
答案 B
解析 根據(jù)題意，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圓心C(4,3)，半徑r＝2，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|＝eq \r(|PC|2－4)，當(dāng)|PC|最小時，|PQ|最小，又由點P在單位圓上，則|PC|的最小值為|OC|－1＝eq \r(9＋16)－1＝4，則|PQ|的最小值為eq \r(16－4)＝2eq \r(3).
3．點M(x，y)在圓x2＋(y－2)2＝1上運(yùn)動，則eq \f(y,x)的取值范圍是( )
A．[eq \r(3)，＋∞)
B. (－∞，－eq \r(3)]
C. (－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞)
D. [－eq \r(3)，eq \r(3)]
答案 C
解析 將eq \f(y,x)看作圓上動點(x，y)與原點O(0,0)連線的斜率，如圖，可得k≥eq \r(3)或k≤－eq \r(3).
4．已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，動點P在圓C2：x2＋y2－4x－12＝0上，則△PC1C2面積的最大值為_________．
答案 4eq \r(5)
解析 因為C1(－2,2)，r1＝2eq \r(2)，C2(2,0)，r2＝4，
所以|C1C2|＝eq \r(?－2－2?2＋22)＝2eq \r(5)，
當(dāng)PC2⊥C1C2時，△PC1C2的面積最大，其最大值為eq \f(1,2)×2eq \r(5)×4＝4eq \r(5).
課時對點練
1．已知過點(1,1)的直線l與圓x2＋y2－4x＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 C
解析 將圓的方程x2＋y2－4x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4，
則圓心為(2,0)，半徑r＝2，則圓心(2,0)到定點(1,1)的距離為eq \r(2)，
|AB|的最小值為2eq \r(22－?\r(2)?2)＝2eq \r(2).
2．已知點P是直線3x＋4y＋5＝0上的動點，點Q為圓(x－2)2＋(y－2)2＝4上的動點，則|PQ|的最小值為( )
A.eq \f(19,5) B.eq \f(9,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(29,5)
答案 B
解析 圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的圓心為(2,2)，半徑為2，
則圓心到直線3x＋4y＋5＝0的距離為eq \f(|6＋8＋5|,5)＝eq \f(19,5)，
所以|PQ|的最小值為eq \f(19,5)－2＝eq \f(9,5).
3．已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為( )
A．－9,1 B．－10,1
C．－9,2 D．－10,2
答案 A
解析 y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，
當(dāng)直線y＝2x＋b與圓x2＋y2－4x－1＝0相切時，b取得最大值或最小值，此時eq \f(|2×2＋b|,\r(1＋22))＝eq \r(5)，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值為1，最小值為－9.
4．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．1 D．3
答案 A
解析 由題意知，圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑，即eq \f(|1－1＋4|,\r(12＋?－1?2))－eq \r(2)＝eq \r(2).
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(x1－2)2＋yeq \\al(2,1)＝5，x2－2y2＋4＝0，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(121,5) D.eq \f(11\r(5),5)
答案 B
解析 由已知得點(x1，y1)在圓(x－2)2＋y2＝5上，點(x2，y2)在直線x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的點和直線x－2y＋4＝0上點的距離的平方，
而距離的最小值為eq \f(|2＋4|,\r(1＋4))－eq \r(5)＝eq \f(\r(5),5)，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為eq \f(1,5).
6．已知點P是直線l：3x＋4y－7＝0上的動點，過點P引圓C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的兩條切線PM，PN，M，N為切點，則當(dāng)PM的最小值為eq \r(3)時，r的值為( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．1
答案 D
解析 如圖，由題意得|PM|2＝|PC|2－r2，
當(dāng)PC⊥l時，|PC|最小時，|PM|最小．
由題意得|PC|min＝d＝eq \f(|3×?－1?＋4×0－7|,\r(32＋42))＝2，
所以(eq \r(3))2＝22－r2，∴r＝1.
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案 (x－1)2＋y2＝2
解析 ∵直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，
∴圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝eq \r(?2－1?2＋?－1?2)＝eq \r(2)，
∴半徑最大為eq \r(2)，
∴半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.
8．已知圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和兩點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，則m的最小值為________．
答案 3
解析 根據(jù)題意，點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，
則AB的中點為(0,0)，|AB|＝2m，
則以AB的中點為圓心，半徑r＝eq \f(1,2)×|AB|的圓為x2＋y2＝m2，設(shè)該圓為圓O，
若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，
則圓C與圓O有交點，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|m－2|≤5，,m＋2≥5，))
又由m>0，
解得3≤m≤7，
即m的最小值為3.
9．已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．
解 (1)由圓C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2eq \r(2)，
又|QC|＝eq \r(?2＋2?2＋?7－3?2)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)由題可知eq \f(n－3,m＋2)表示直線MQ的斜率，
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
則eq \f(n－3,m＋2)＝k.
由直線MQ與圓C有交點，得eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(n－3,m＋2)的最大值為2＋eq \r(3)，最小值為2－eq \r(3).
10．已知直線l：3x＋4y＋1＝0，一個圓與x軸正半軸、y軸正半軸都相切，且圓心C到直線l的距離為3.
(1)求圓的方程．
(2)P是直線l上的動點，PE，PF是圓的兩條切線，E，F(xiàn)分別為切點，求四邊形PECF的面積的最小值．
解 (1)圓與x，y軸正半軸都相切，
∴圓的方程可設(shè)為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
圓心C到直線的距離為3，
∴由點到直線的距離公式，得d＝eq \f(|3a＋4a＋1|,\r(32＋42))＝3，
解得a＝2，
∴半徑為2.
∴圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圓的兩條切線，E，F(xiàn)分別為切點，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四邊形PECF＝2S△PCE，PE是圓的切線，且E為切點，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴當(dāng)斜邊PC取最小值時，PE也最小，即四邊形PECF的面積最小．|PC|min即為C到l的距離，
由(1)知|PC|min＝3，
∴|PE|eq \\al(2,min)＝32－4＝5，即|PE|min＝eq \r(5)，
∴S△PCE＝eq \f(1,2)|EC|·|PE|＝eq \f(1,2)×2×eq \r(5)＝eq \r(5)，
∴四邊形PECF面積的最小值為2eq \r(5).
11．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 如圖，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.又因為圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.
12．已知AC，BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，eq \r(2))，則四邊形ABCD面積的最大值為( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 A
解析 如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，則|AC|·|BD|≤10，
∴S四邊形ABCD＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|≤eq \f(1,2)×10＝5，當(dāng)且僅當(dāng)|AC|＝|BD|＝eq \r(10)時，等號成立，∴四邊形ABCD面積的最大值為5.
13．已知圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5，點B的坐標(biāo)為(0,2)，設(shè)P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動點，則|PB|＋|PQ|的最小值為________．
答案 2eq \r(5)
解析 由于點B(0,2)關(guān)于直線l：x＋y＋2＝0的對稱點為B′(－4，－2)，
則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|－R＝3eq \r(5)－eq \r(5)＝2eq \r(5)，
所以|PB|＋|PQ|的最小值為2eq \r(5).
14．已知實數(shù)x，y滿足方程y＝eq \r(－x2＋4x－1)，則eq \f(y,x)的取值范圍是________．
答案 [0，eq \r(3)]
解析 方程y＝eq \r(－x2＋4x－1)化為(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的圖形是一個半圓，令eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時，k＝eq \r(3)，所以eq \f(y,x)的取值范圍是[0，eq \r(3)]．
15．已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運(yùn)動，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為________．
答案 eq \r(30)
解析 把圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圓心M(1，－1)，半徑r＝eq \r(3).直線l與圓相交，由點到直線的距離公式得弦心距d＝eq \f(|1－?－1?－1|,\r(12＋?－1?2))＝eq \f(\r(2),2)，由勾股定理得半弦長＝eq \r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(10),2)，
所以弦長|AC|＝2×eq \f(\r(10),2)＝eq \r(10).
又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側(cè)，四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，當(dāng)B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線時(即為直徑)，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，最大面積為S＝eq \f(1,2)|AC|×|BE|＋eq \f(1,2)|AC|×|DE|＝eq \f(1,2)|AC|×|BD|＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×2eq \r(3)＝eq \r(30).
16．已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5))).
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知N(2,1)，經(jīng)過原點且斜率為正數(shù)的直線l1與圓C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①求證：eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)為定值；
②求|PN|2＋|QN|2的最大值．
(1)解 由圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5)))，設(shè)C(a，0)，
直線l：4x＋3y－6＝0的斜率為－eq \f(4,3)，
則kCM＝eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)，
所以eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－1，
所以a＝－1，
所以C(－1,0)，|CM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))2)＝2，
即r＝2，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)①證明 設(shè)直線l1：y＝kx(k>0)，與圓聯(lián)立方程組可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－eq \f(2,1＋k2)，x1x2＝－eq \f(3,1＋k2)，
則 eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(2,3)為定值．
②解 |PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10
＝eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16，
令t＝3＋k(t>3)，
則k＝t－3，
所以eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16＝eq \f(4t,1＋?t－3?2)＋16＝eq \f(4,t＋\f(10,t)－6)＋16≤eq \f(4,2\r(10)－6)＋16＝2eq \r(10)＋22，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq \f(10,t)，即t＝eq \r(10)時，取等號，此時k＝eq \r(10)－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值為2eq \r(10)＋22.