01 基礎(chǔ)題


知識點(diǎn) 與坡度、坡角有關(guān)的應(yīng)用問題


1．某堤的橫斷面如圖，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長是13米，那么斜坡AB的坡度是(C)


A．1∶3 B．1∶2.6


C．1∶2.4 D．1∶2





2．如圖，修建抽水站時，沿著坡度為i＝1∶6的斜坡鋪設(shè)管道，下列等式成立的是(C)


A．sinα＝eq \f(1,6) B．csα＝eq \f(1,6)


C．tanα＝eq \f(1,6) D．以上都不對





3．某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，壩外斜坡的坡度i＝1∶1，則兩個坡角的和為75°．


4．(岳陽中考)如圖，一山坡的坡度為i＝1∶eq \r(3)，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，小辰上升了100米．





5．如圖，小明爬一土坡，他從A處爬到B處所走的直線距離AB＝4米，此時，他離地面的高度h＝2米，則這個土坡的坡角為30°．





6．(天門中考)某商場為方便顧客使用購物車，準(zhǔn)備將滾動電梯的坡面坡度由1∶1.8改為1∶2.4(如圖)．如果改動后電梯的坡面長為13米，求改動后電梯水平寬度增加部分BC的長．





解：在Rt△ADC中，


∵AD∶DC＝1∶2.4，


AC＝13，


由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132.


∴AD＝±5(負(fù)值不合題意，舍去)．


∴DC＝12.


在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，


∴BD＝5×1.8＝9.


∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.


答：改動后電梯水平寬度增加部分BC的長為3米．


7．如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為20 cm，深為30 cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改成斜坡，設(shè)臺階的起點(diǎn)為A，斜坡的起點(diǎn)為C(如圖所示)，現(xiàn)將斜坡的坡角∠BCA設(shè)計為12°，那么斜坡起點(diǎn)C應(yīng)離A點(diǎn)多遠(yuǎn)？(精確到1 cm，sin12°≈0.208，cs12°≈0.978，tan12°≈0.213)





解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，


由題意，得BD＝20×3＝60(cm)，AD＝30×2＝60(cm)，∠C＝12°，


在Rt△BCD中，CD＝eq \f(BD,tan12°)＝eq \f(60,0.213)≈282(cm)．


∴AC＝CD－AD＝222(cm)．


答：斜坡起點(diǎn)C應(yīng)離A點(diǎn)約222 cm.








02 中檔題


8．如圖，在坡度為1∶2的山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是6 m，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是3eq \r(5)m.








9．(濟(jì)寧中考)某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1.為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶eq \r(3).





(1)求新坡面的坡角α；


(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．


解：(1)∵tanα＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，


∴α＝30°.


∴新坡面的坡角α為30°.


(2)文化墻PM不需要拆除．理由如下：


作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠CDB＝90°，CD＝6.


∵坡面BC坡度為CD∶BD＝1∶1，


∴BD＝CD＝6.同理可得AD＝eq \r(3)CD＝6eq \r(3).


∴AB＝AD－BD＝6eq \r(3)－6.又∵PB＝8，


∴PB－AB＝8－(6eq \r(3)－6)＝(14－6eq \r(3))＝eq \r(196)－eq \r(108)＞0.


∴文化墻PM不需要拆除．





10．(荊門中考)如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq \r(3))米，小軍和小明同學(xué)分別從A處和B處向山頂勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq \f(\r(2),2)米/秒．若小明與小軍同時到達(dá)山頂C處，則小明的行走速度是多少？





解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD＝x米，


則AC＝eq \f(CD,sin45°)＝eq \r(2)x，BC＝eq \f(CD,sin30°)＝2x，AD＝x，BD＝eq \r(3)x.


∵A處與東端B處相距800(1＋eq \r(3))米，


∴AD＋BD＝x＋eq \r(3)x＝(eq \r(3)＋1)x＝800(1＋eq \r(3))，


解得x＝800，AC＝eq \r(2)x＝800eq \r(2)，BC＝2x＝1 600.


小軍從點(diǎn)A到點(diǎn)C用的時間是800eq \r(2)÷eq \f(\r(2),2)＝1 600(秒)．


小明從點(diǎn)B到點(diǎn)C的速度是1 600÷1 600＝1(米/秒)．


答：小明的行走速度是1米/秒．


03 綜合題


11．(天水中考)如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得C的仰角為45°，已知OA＝200米，山坡坡度為eq \f(1,3)(即tan∠PAB＝eq \f(1,3))，且O、A、B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的垂直高度．(測傾器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號)





解：過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，


在Rt△AOC中，OA＝200，∠CAO＝60°，


∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan60°＝200eq \r(3)(米)．


設(shè)PE＝x米，


∵tan∠PAB＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(1,3)，


∴AE＝3x米．


在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(200eq \r(3)－x)米，PF＝OA＋AE＝(200＋3x)米．


∵tan∠CPF＝eq \f(CF,PF)，


∴eq \f(CF,PF)＝tan45°＝1，則PF＝CF.


∴200＋3x＝200eq \r(3)－x，解得x＝50eq \r(3)－50.


∴PE＝(50eq \r(3)－50)米．


答：電視塔OC的高度為200eq \r(3)米，此人所在位置點(diǎn)P的垂直高度為(50eq \r(3)－50)米．


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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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