01 基礎(chǔ)題


知識點1 正切的定義


1．在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝eq \r(2)，則tanA等于(D)


A.eq \r(3) B.eq \r(2)


C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)


2．(廣州中考)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA＝(D)


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)





3．(湖州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq \f(1,2)，則BC的長是(A)


A．2 B．8


C．2eq \r(5) D．4eq \r(5)





4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，tanB的值．


解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，


∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4.


∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3).





知識點2 特殊角的正切值


5．tan45°的值等于(C)


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)


C．1 D.eq \r(2)


6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，則∠A＝(D)


A．90° B．60°


C．45° D．30°


7．計算：


(1)2tan30°－tan45°－eq \r(（1－tan60°）2)；


解：原式＝2×eq \f(\r(3),3)－1－eq \r(3)＋1＝－eq \f(\r(3),3).





(2)(eq \r(2 017)－1)0－(eq \r(3)－2)＋2tan45°＋(eq \f(1,3))－1.


解：原式＝1－eq \r(3)＋2＋2＋3＝8－eq \r(3).








知識點3 用計算器求銳角的正切值及已知正切值求銳角


8．填空(精確到0.000 1)：


(1)tan36°≈0.726__5；


(2)tan83°18′≈8.512__6；


(3)tan23°42′≈0.439__0；


(4)tan57°54′≈1.594__1．


9．填空(精確到0.1°)：


(1)已知tanα＝0.241 9，則α≈13.6°；


(2)已知tanα＝0.472 7，則α≈25.3°；


(3)已知tanα＝1.528 2，則α≈56.8°；


(4)已知tanα＝31.820 5，則α≈88.2°.


知識點4 銳角三角函數(shù)


10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，則下列三角函數(shù)表示正確的是(A)





A．sinA＝eq \f(12,13) B．csA＝eq \f(12,13)


C．tanA＝eq \f(5,12) D．tanB＝eq \f(12,5)


11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sinA，csA，tanA.





解：在Rt△ABC中，


∵∠C＝90°，AB2＝AC2＋BC2，AC＝24，BC＝7，


∴AB＝eq \r(242＋72)＝25.


∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(7,25)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(24,25)，


tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(7,24).





02 中檔題


12．(涼山中考)在△ABC中，若|csA－eq \f(1,2)|＋(1－tanB)2＝0，則∠C的度數(shù)是(C)


A．45° B．60°


C．75° D．105°


13．(巴中中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(5,13)，則tanB的值為(D)


A.eq \f(12,13) B.eq \f(5,12)


C.eq \f(13,12) D.eq \f(12,5)


14．將△AOB按如圖所示放置，然后繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△A′OB′的位置，點A的坐標(biāo)為(2，1)，則tan∠A′OB′的值為(A)





A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)


15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，則sinA＝eq \f(\r(10),10)，csA＝eq \f(3\r(10),10)，tanA＝eq \f(1,3).


16．如圖，P(12，a)在反比例函數(shù)y＝eq \f(60,x)的圖象上，PH⊥x軸于H，則tan∠POH的值為eq \f(5,12)．





17．已知α為銳角，且tanα是方程x2＋2x－3＝0的一個根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．


解：解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3.


∵tanα＞0，∴tanα＝1.∴α＝45°.


∴2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(45°＋15°)＝2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan(45°＋15°)＝2sin245°＋cs245°－tan60°＝2×(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(2),2))2－eq \r(3)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2).





18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1.





(1)求BC的長；


(2)求tan∠DAE的值．


解：(1)∵AD是BC邊上的高，


∴AD⊥BC.


在Rt△ABD中，∵sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3).AD＝1，


∴AB＝3.∴BD＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2).


在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.


∴BC＝2eq \r(2)＋1.


(2)∵AE是BC邊上的中線，


∴DE＝eq \f(2\r(2)＋1,2)－1＝eq \r(2)－eq \f(1,2).


∴tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\r(2)－\f(1,2),1)＝eq \r(2)－eq \f(1,2).








03 綜合題


19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠C＝90°.若定義ctA＝eq \f(A的鄰邊,對邊)＝eq \f(b,a)，則稱它為銳角A的余切，根據(jù)這個定義解答下列問題：


(1)求ct30°的值；


(2)已知tanA＝eq \f(3,4)，其中∠A為銳角，試求ctA的值；


(3)求證：tanA＝ct(90°－∠A)．


解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝30°，則AB＝2BC，AC＝eq \r(3)BC，


∴ct30°＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(3)BC,BC)＝eq \r(3).


(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，


∴設(shè)BC＝3k，則AC＝4k.


∴ctA＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4k,3k)＝eq \f(4,3).


(3)證明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠A＋∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，


∵tanA＝eq \f(BC,AC)，ctB＝eq \f(BC,AC)，


∴tanA＝ctB，即tanA＝ct(90°－∠A)．


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