方法1 回歸定義


直接根據(jù)定義求三角函數(shù)值，首先求出相應(yīng)邊的長度，然后代入三角函數(shù)公式計算即可．





1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.





(1)求AB的長；


(2)求sinA，csA，tanA，sinB，csB，tanB的值．


解：(1)AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝13.


(2)sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(5,12)，


sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(12,5).








2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，求sinB的值．





解：∵AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，


∴CD＝3.


在Rt△ACD中，


∵AD＝5，CD＝3，


∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(52－32)＝4.


在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，


∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41).


∴sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,\r(41))＝eq \f(4\r(41),41).





方法2 巧設(shè)參數(shù)


若已知兩邊的比值，或一個三角函數(shù)值，而不能直接求出三角函數(shù)相應(yīng)邊的長，則可采用設(shè)參數(shù)的方法，先用參數(shù)表示出三角函數(shù)相應(yīng)邊的長，再根據(jù)三角函數(shù)公式計算它們的比值，即可得出三角函數(shù)值．





3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，則tanB＝(C)


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)


4．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若BD∶CD＝3∶2，則tanB＝(D)





A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)


C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),3)


5．如圖，正方形ABCD中，點E為BC中點，點F在CD邊上，且CF＝eq \f(1,4)CD，求∠EAF的正、余弦值．





解：設(shè)正方形的邊長為4a，則BE＝EC＝2a，CF＝a，AE＝2eq \r(5)a，EF＝eq \r(5)a，AF＝5a.


∴AE2＋EF2＝AF2.


∴△AEF是直角三角形，sin∠EAF＝eq \f(EF,AF)＝eq \f(\r(5)a,5a)＝eq \f(\r(5),5)，


cs∠EAF＝eq \f(AE,AF)＝eq \f(2\r(5)a,5a)＝eq \f(2\r(5),5).








方法3 等角轉(zhuǎn)換


若要求的角的三角函數(shù)值不容易求出，且這個角可以轉(zhuǎn)化為其他角，則可以直接求轉(zhuǎn)化后的角的三角函數(shù)值．





6．如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為(B)


A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)





7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D.已知AC＝eq \r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD＝(A)


A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)





8．如圖所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足為點E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三個三角函數(shù)值．





解：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，


∴∠DEB＝∠ACB.


又∵∠B＝∠B，


∴△ACB∽△DEB.


∴∠BDE＝∠A.


∴sin∠BDE＝sinA＝eq \f(3,5)，cs∠BDE＝csA＝eq \f(4,5)，


tan∠BDE＝tanA＝eq \f(3,4).











方法4 構(gòu)造直角三角形


若要求三角函數(shù)值的角不在直角三角形中，則需要我們根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形解決．





9．(安順中考)如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是(D)


A．2 B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,2)





10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3，3)和點B(7，0)，則sin∠ABO的值等于eq \f(3,5)．





11．(連云港中考)如圖，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq \f(1,8).





(1)求BC的長；


(2)利用此圖形求tan15°的值(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7，eq \r(5)≈2.2)


解：(1)過點A作AD⊥BC的延長線于點D，


∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.


∴AD＝eq \f(1,2)AC＝2，


CD＝AC·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).


在Rt△ABD中，∵tanB＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(1,8)，


∴eq \f(2,2\r(3)＋BC)＝eq \f(1,8).


∴BC＝16－2eq \r(3).


(2)在CB上截取CE＝CA＝4，連接AE，


則∠CEA＝∠CAE＝eq \f(1,2)∠ACD＝15°，


∴tan15°＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(2,4＋2\r(3))＝eq \f(1,2＋\r(3))＝2－eq \r(3)≈0.3.


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