知識點(diǎn)1 與坡度、坡角有關(guān)的問題
1.一斜坡的坡度是3∶1,則此斜坡的坡角是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如圖2,傳送帶和地面所成斜坡AB的坡比為1∶2,物體沿傳送帶上升到點(diǎn)B時,距離地面的高度為3米,那么斜坡AB的長度為( )
A.35米 B.53米 C.45米 D.6米

圖2 圖3
3.[2020·自貢] 如圖3,我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD,DC∥AB,BC長6米,坡角β為45°,AD的坡角α為30°,則AD長為 米.(結(jié)果保留根號)
4.自開展“全民健身運(yùn)動”以來,喜歡戶外步行健身的人越來越多,為方便群眾步行健身,某地政府決定對一段如圖4①所示的坡路進(jìn)行改造.如圖②所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度為1∶3;將斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造為斜坡CD,其坡度為1∶4.求斜坡CD的長.(結(jié)果保留根號)
圖4
知識點(diǎn) 2 坡度與仰角、俯角的綜合題
5.如圖5,小林在放學(xué)路上看到隧道上方有一塊廣告牌CD.他在A點(diǎn)測得廣告牌頂端D處的仰角為42°,由A點(diǎn)沿斜坡AB下到隧道底端B處(B,C,D在同一條直線上),AB=10m,坡度i=1∶3,則廣告牌CD的長約為(結(jié)果精確到0.1m)( )
(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cs42°≈0.74,tan42°≈0.90,3≈1.73)


圖5 圖6
6.如圖6,小明站在某廣場一看臺C處,從眼睛D處測得廣場中心F的俯角為21°,若CD=1.6米,BC=1.5米,BC平行于地面FA,臺階AB的坡度i=3∶4,坡長AB=10米,則看臺底端點(diǎn)A距離廣場中心點(diǎn)F的距離約為(參考數(shù)據(jù):sin21°≈0.36,cs21°≈0.93,tan21°≈0.38)( )
A.8.8米 B.9.5米 C.10.5米 D.12米
7.嘉琪同學(xué)想測算如圖7所示的仙女峰的高度,她利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)了一個實(shí)踐方案,并實(shí)施了如下操作:先在水平地面A處測得山頂B的仰角∠BAC=38.7°,再由A沿水平方向前進(jìn)377米到達(dá)山腳C處,測得山坡BC的坡度為1∶0.6,請你求出仙女峰的高度.(參考數(shù)據(jù):tan38.7°≈0.8)
圖7
【能力提升】
8.[2020·重慶] 如圖8,在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的點(diǎn)C處有一個山坡,山坡CD的坡度(或坡比)i=1∶0.75,山坡坡底點(diǎn)C到坡頂點(diǎn)D的距離CD=45m,在坡頂點(diǎn)D處測得居民樓樓頂點(diǎn)A的仰角為28°,居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi),則居民樓AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin28°≈0.47,cs28°≈0.88,tan28°≈0.53)( )
圖8

9.如圖9,在岷江的右岸邊有一高樓AB,左岸邊有一坡度i=1∶2的山坡CF,點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上,CF與AB在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓AB的高度,在坡底C處測得樓頂A的仰角為45°,然后沿坡面CF上行了205米到達(dá)點(diǎn)D處,此時在D處測得樓頂A的仰角為30°,求樓AB的高度.
圖9
10.圖10是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45°改為30°,已知原傳送帶AB長為42米.
(1)求新傳送帶AC的長度;
(2)如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道,試判斷距離點(diǎn)B5米的貨物MNQP是否需要挪走,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73)
圖10
11如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4．2米，上底的寬是12．51米，路
基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°．求路基下底的寬．（精確到0．1米sin32°≈0.529,cs32°≈0.848,tan32°≈0.624，sin28°≈0.469,cs28°≈0.848,tan28°≈0.532）
12、如圖，有一段斜坡長為10米，坡角，為方便殘疾人的輪椅車通行，現(xiàn)準(zhǔn)備把坡角降為5°．
（1）求坡高;
（2）求斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（精確到0.1米，sin12°≈0.208,cs12°≈0.978,tan12°≈0.213，sin5°≈0.087,cs5°≈0.996,tan5°≈0.087）
D
C
B
A
5°
12°
13、龐亮和李強(qiáng)相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發(fā)，以24米/分鐘的速
度攀登，同時，李強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，已知小山北坡的坡度，
山坡長為240米，南坡的坡角是45°．問李強(qiáng)以什么速度攀登才能和龐亮同時
到達(dá)山頂A？（將山路AB、AC看成線段，結(jié)果保留根號）
14.如圖11,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為四邊形ABCD,且AB∥CD)急需加固.防洪指揮部專家組制定的加固方案如下:背水坡面用土石方進(jìn)行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1∶3.
(1)求加固后壩底增加的寬度AF;
(2)求完成這項(xiàng)工程需要多少立方米土石方.(結(jié)果保留根號)
圖11
答案
1.D [解析]設(shè)坡角為α,由題意知tanα=3,
∴α=60°,即斜坡的坡角為60°.
2.A [解析]過點(diǎn)B作BC垂直地面于點(diǎn)C,如圖.由題意知,BC=3米.∵傳送帶和地面所成斜坡AB的坡比為1∶2,∴BC∶AC=1∶2,∴AC=6米,∴AB=BC2+AC2=32+62=35(米).
3.62 [解析]如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.∵CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB,∴DE=CF.在Rt△CFB中,CF=BC·sin45°=32(米),∴DE=CF=32米.
在Rt△ADE中,∵∠A=30°,∠AED=90°,∴AD=2DE=62米.
4.解:∵∠AEB=90°,AB=200米,AB的坡度為1∶3,∴tan∠ABE=13=33,∴∠ABE=30°,
∴AE=12AB=100米.∵AC=20米,∴CE=AE-AC=80米.∵∠CED=90°,斜坡CD的坡度為1∶4,
∴CEDE=14,即80DE=14,解得DE=320(米),∴CD=CE2+DE2=802+3202=8017(米).
答:斜坡CD的長是8017米.
5.D [解析]如圖,根據(jù)題意可知,斜坡AB的坡度i=1∶3,即AEBE=13=33,∴∠ABE=30°.
∵AB=10,∴AE=5,BE=53,∴AC=BE=53.在Rt△ACD中,∵∠DAC=42°,
∴CD=AC·tan42°≈53×0.90≈7.8(m).故選D.
6.C [解析]如圖,過點(diǎn)B作BM⊥FA交FA的延長線于點(diǎn)M,延長DC交FA的延長線于點(diǎn)N.由題意知,四邊形BMNC是矩形,∴MN=BC=1.5米,CN=BM.∵BM∶AM=3∶4,AB=10米,
∴BM=6米,AM=8米.
在Rt△DNF中,∵∠F=21°,tanF=DNFN,
∴6+1.6FN≈0.38,∴FN≈20米,
∴AF=FN-AM-MN≈20-8-1.5=10.5(米).
7.解:如圖,過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)D.
∵山坡BC的坡度為1∶0.6,
∴BDCD=10.6,則CD=0.6BD.
∵∠BAC=38.7°,∴tan38.7°=BDAD=BDAC+CD.
∵AC=377米,tan38.7°≈0.8,∴BD377+0.6BD≈0.8,解得BD=580(米).
答:仙女峰的高度約為580米.
8.B [解析]如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB,垂足為F,作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E,則四邊形DEBF為矩形,∴BF=DE,DF=BE.由題意,得∠ADF=28°,CD=45,BC=60.在Rt△DEC中,i=DEEC=10.75=43.
設(shè)DE=4x,則EC=3x,由勾股定理可得CD=5x.又CD=45,即5x=45,∴x=9,
∴EC=3x=27,DE=4x=36=FB,∴BE=BC+EC=60+27=87=DF.
在Rt△ADF中,AF=tan28°×DF≈0.53×87≈46.11,∴AB=AF+FB≈46.11+36≈82.1(m).故選B.
9.解:在Rt△DEC中,∵i=DEEC=12,DE2+EC2=CD2,CD=205米,
∴DE2+(2DE)2=(205)2,解得DE=20(米),∴EC=40米.
過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,如圖所示,則四邊形DEBG是矩形,∴BG=DE=20米,DG=BE.
∵∠ACB=45°,AB⊥BC,∴AB=BC.
設(shè)AB=BC=x米,則AG=(x-20)米,DG=BE=(x+40)米.
在Rt△ADG中,∵AGDG=tan∠ADG,∠ADG=30°,∴x-20x+40=33,解得x=50+303.
經(jīng)檢驗(yàn),x=50+303是所列方程的根且符合題意.
故樓AB的高度為(50+303)米.
10.解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,∴AD=AB·sin45°=42×22=4(米).
在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AC=ADsin30°=8(米),即新傳送帶AC的長度為8米.
(2)貨物MNQP不需要挪走.
理由:在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,∴BD=AD=4米.
在Rt△ACD中,CD=ADtan30°=43(米),∴BC=CD-BD=43-4≈2.92(米).
∵PC=PB-BC≈5-2.92=2.08(米)>2米,∴貨物MNQP不需要挪走.
略
14.解:(1)如圖,分別過點(diǎn)E,D作EG⊥AB,DH⊥AB,垂足分別為G,H,則DH=EG=10米,四邊形EGHD是矩形,∴ED=GH.在Rt△ADH中,AH=DHtan∠DAH=10tan45°=10(米).
在Rt△FGE中,∵i=13=EGFG,∴FG=3EG=103(米),∴AF=FG+GH-AH=103+3-10=(103-7)米.
答:加固后壩底增加的寬度AF為(103-7)米.
(2)加寬部分的體積V=S四邊形AFED×壩長=12×(3+103-7)×10×500=(250003-10000)米3.
答:完成這項(xiàng)工程需要(250003-10000)立方米土石方.

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26.4 解直角三角形的應(yīng)用

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