01 基礎(chǔ)題


知識點 有方位角有關(guān)的應(yīng)用問題


1．如圖，小雅家(圖中點O處)門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔(圖中點A處)在距離北偏東60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是(A)





A．250米 B．250eq \r(3)米


C.eq \f(500,3)eq \r(3)米 D．500eq \r(2)米


2．如圖，某人從O點沿北偏東30°的方向走了20米到達(dá)A點，B在O點的正東方，且在A的正南方，則此時AB間的距離是10eq \r(3)米．(結(jié)果保留根號)





3．如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時漁船與燈塔P的距離約為11海里．(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cs55°≈0.6，tan55°≈1.4)





4．(長春中考)如圖，海面上B、C兩島分別位于A島的正東和正北方向，一艘船從A島出發(fā)，以18海里/時的速度向正北方向航行2小時到達(dá)C島，此時測得B島在C島的南偏東43°.求A、B兩島之間的距離．(結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93)





解：由題意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.


在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，


∴AB＝AC·tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)，


故A、B兩島之間的距離約為33.5海里．





5．(湘西中考)釣魚島自古以來就是中國的神圣領(lǐng)土，為宣誓主權(quán)，我海監(jiān)船編隊奉命在釣魚島附近海域進(jìn)行維權(quán)活動，如圖，一艘海監(jiān)船以30海里/時的速度向正北方向航行，海監(jiān)船在A處時，測得釣魚島C在該船的北偏東30°方向上，航行半小時后，該船到達(dá)點B處，發(fā)現(xiàn)此時釣魚島C與該船距離最短．


(1)請在圖中作出該船在點B處的位置；


(2)求釣魚島C到B處的距離．(結(jié)果保留根號)





解：(1)如圖所示．


(2)AB＝30×0.5＝15(海里)，


由題意知CB⊥AB，


在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，


tan∠BAC＝eq \f(BC,AB)，


∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×eq \f(\r(3),3)＝5eq \r(3)(海里)．


答：釣魚島C到B處的距離為5eq \r(3)海里．








6．(臨沂中考)一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向，距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達(dá)燈塔P南偏西45°方向上的B處？(參考數(shù)據(jù)：eq \r(3)≈1.732，結(jié)果精確到0.1)





解：作PC⊥AB，交AB的延長線于點C.


在Rt△APC中，∵AP＝20海里，∠APC＝60°，


∴PC＝AP·cs60°＝20×eq \f(1,2)＝10(海里)，


AC＝AP·sin60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)＝10×1.732≈17.3(海里)．


在Rt△BPC中，∵∠BPC＝45°，


∴BC＝PC＝10海里．


∴AB＝AC－BC＝17.3－10＝7.3(海里)．


答：它向東航行7.3海里到達(dá)燈塔P南偏西45°方向上的B處．








02 中檔題


7．某人從A處出發(fā)沿北偏東30°方向走了100米到達(dá)B處，再沿北偏西60°方向走了100米到達(dá)C處，則他從C處回到A處至少要走100eq \r(2)米．








8．(常德中考)南海是我國的南大門．如圖所示，某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域進(jìn)行常態(tài)化巡航，在A處測得北偏東30°方向上，距離為20海里的B處有—艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查，經(jīng)過一段時間后，在C處成功攔截不明船只．問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里？(最后結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cs75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)


解：過點B作BD⊥AC，垂足為點D，由題意知∠BAD＝45°.


在△ABD中，AD＝cs45°AB＝eq \f(\r(2),2)×20＝10eq \r(2)(海里)，


∴BD＝AD＝10eq \r(2)海里．


在△BCD中，DC＝BD·tan75°≈53(海里)．


∴AC＝AD＋CD＝67海里．


答：海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了約67海里．








9．如圖，在東西方向的海岸線MN上有A、B兩艘船均收到已觸礁擱淺的船P的求救信號，已知船P在船A的北偏東58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距離為30海里．(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，sin55°≈0.82，cs55°≈0.57)





(1)求船P到海岸線MN的距離；(精確到0.1海里)


(2)若船A、船B分別以20海里/時、15海里/時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往救援，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá)船P處．


解：(1)過點P作PD⊥AB于點D.


由題意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30，


在Rt△ADP中，sin∠PAD＝eq \f(PD,AP)，得


PD＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9.


答：船P到海岸線MN的距離約為15.9海里．


(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝eq \f(PD,BP)，


∴BP＝eq \f(PD,sin∠PBD)＝eq \f(15.9,sin55°)≈19.4，


A船需要的時間為eq \f(30,20)＝1.5(小時)，


B船需要的時間為eq \f(19.4,15)≈1.3(小時)．


∵1.5＞1.3，∴B船先到達(dá)P處．


答：B船先到達(dá)P處．





03 綜合題


10．(達(dá)州中考)如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5 km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20 km.一輪船以36 km/h的速度航行，上午10：00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12 km.





(1)若輪船照此速度與航向航行，何時到達(dá)海岸線l?


(2)若輪船不改變航向，該輪船能否?？吭诖a頭？請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)


解：(1)延長AB交直線l于點F，過A，B分別作AD⊥l，BE⊥l.


∵∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°.


∵∠DAC＝30°，∴∠DCA＝60°.


∴∠ACB＝90°.


在Rt△ABC中，BC＝12 km，


AB＝36×eq \f(40,60)＝24(km)，


∴AB＝2BC.∴∠BAC＝30°.


AC＝eq \r(242－122)＝12eq \r(3)(km)．


在Rt△ACD中，AD＝AC·cs30°＝12eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝18(km)．


在Rt△ADF中，AF＝2AD＝36 km.


36÷36＝1小時．


答：輪船在11：00到達(dá)海岸線l.


(2)能，理由：


在Rt△ADF中，DF＝AF·sin60°＝36×eq \f(\r(3),2)＝18eq \r(3).


在Rt△ADC中，DC＝eq \f(1,2)AC＝6eq \r(3)，


∴CF＝12eq \r(3).


∵CN＝20，CM＝21.5，12eq \r(3)≈20.4，


∴20＜20.4＜21.5.∴輪船能夠停靠在碼頭．

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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版

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