在周星馳的電影《西游·降魔篇》中，村民們?yōu)榱酥品狭Υ髴?zhàn). 觀看完影片片段，你能說說他們是如何制服水妖的嗎？ 這個方法的原理是什么？
公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡. 后來人們把它歸納為“杠桿原理”. 通俗地說，杠桿原理為：
阻力×阻力臂=動力×動力臂.
例1 小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為 1200 N 和 0.5 m.(1) 動力 F 與動力臂 l 有怎樣的函數(shù)關(guān)系? 當(dāng)動力臂為 1.5 m時，撬動石頭至少需要多大的力?
解：根據(jù)“杠桿原理”，得 Fl =1200×0.5，
(2) 若想使動力 F 不超過題 (1) 中所用力的一半，則 動力臂l至少要加長多少?
300－1.5 =1.5 (m).
在物理中，我們知道，在阻力和阻力臂一定的情況下，動力臂越長就越省力，你能用反比例函數(shù)的知識對其進行解釋嗎？
假定地球重量的近似值為 6×1025 牛頓 (即阻力)，阿基米德有 500 牛頓的力量，阻力臂為 2000 千米，請你幫助阿基米德設(shè)計，該用多長動力臂的杠桿才能把地球撬動？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米，
當(dāng) F =500時，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
故用2.4×1029 米動力臂的杠桿才能把地球撬動.
例2 某?？萍夹〗M進行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地. 當(dāng)人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板面積 S (m2)的變化，人和木板對地面的壓強 p (Pa)也隨之變化變化. 如果人和木板對濕地地面的壓力合計為 600 N，那么(1) 用含 S 的代數(shù)式表示 p，p 是 S 的反比例函數(shù)嗎？ 為什么？
p 是 S 的反比例函數(shù)，因為給定一個 S 的值，對應(yīng)的就有唯一的一個 p 值和它對應(yīng)，根據(jù)函數(shù)定義，則 p 是 S 的反比例函數(shù)．
(2) 當(dāng)木板面積為 0.2 m2 時，壓強是多少？
解：當(dāng) S ＝0.2 m2 時， 故當(dāng)木板面積為0.2m2時，壓強是3000Pa．
(3) 如果要求壓強不超過 6000 Pa，木板面積至少要 多大？
(4) 在直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象．
某人對地面的壓強與他和地面接觸面積的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人必須站立在面積為多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不計) ( )A. 至少2m2 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2
例3 一個用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為 110～220 Ω. 已知電壓為 220 V，這個用電器的電路圖如圖所示.(1) 功率 P 與電阻 R 有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
解：根據(jù)電學(xué)知識， 當(dāng) U = 220 時，得
(2) 這個用電器功率的范圍是多少?
解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，電阻越大，功率 越小. 把電阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把電阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值
因此用電器功率的范圍為220~440 W.
1. 在公式 中，當(dāng)電壓 U 一定時，電流 I 與電 阻 R 之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象大致表示為 ( )
2. 在某一電路中，保持電壓不變，電流 I (安培) 和電阻 R (歐姆) 成反比例，當(dāng)電阻 R＝5 歐姆時，電流 I＝2 安培． (1) 求 I 與 R 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 當(dāng)電流 I＝0.5 時，求電阻 R 的值．
解：(1) 設(shè) ∵ 當(dāng)電阻 R = 5 歐姆時，電流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 與 R 之間的函數(shù)關(guān)系式為
1. 當(dāng)電壓為 220 V 時 (電壓=電流×電阻)，通過電路 的電流 I (A) 與電路中的電阻 R (Ω) 之間的函數(shù)關(guān) 系為 ( )
2. 某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時， 氣球內(nèi)氣體的氣壓 p (kPa) 是氣體體積 V (m3)的反 比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大 于120 kPa 時，氣球?qū)⒈ǎ疄榱税踩鹨?，? 球的體積應(yīng) ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于
3. 受條件限制，無法得知撬石頭時的阻力，小剛選 擇了動力臂為 1.2米 的撬棍，用了 500 牛頓的力剛 好撬動；小明身體瘦小，只有 300 牛頓的力量， 他該選擇動力臂為 的撬棍才能撬動這塊大石 頭呢.
4. 在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的 二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會 隨之改變，密度ρ (單位：kg/m3) 是體積 V (單位： m3) 的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示， 當(dāng) V =10m3 時，氣體的 密度是 .
5. 蓄電池的電壓為定值．使用此電源時，電流 I (A) 是電 阻 R (Ω) 的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示． (1) 求這個反比例函數(shù)的表達式；
解：設(shè) ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 這個反比例函數(shù)的 表達式為 .
(2) 當(dāng) R =10Ω 時，電流能是 4 A 嗎？為什么？
解：當(dāng) R=10Ω 時，I = 3.6 ≠ 4， ∴電流不可能是4A．
6. 某汽車的功率 P 為一定值，汽車行駛時的速度 v (m/s) 與它所受的牽引力F (N)之間的函數(shù)關(guān)系如 下圖所示： (1) 這輛汽車的功率是多少？請寫出這一函數(shù)的表 達式；
(3) 如果限定汽車的速度不超過 30 m/s，則 F 在什 么范圍內(nèi)？
(2) 當(dāng)它所受牽引力為1200牛時，汽車的速度為多 少 km/h？
解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽車的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
答案：F ≥ 2000 N.

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26.1.1 反比例函數(shù)

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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