8.2　立體圖形的直觀圖
用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時(shí)使用平面圖形的斜二測(cè)畫法即可.(2)畫z′軸，z′軸過點(diǎn)O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時(shí)只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖.(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示.
用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的_________和_______都不變.
幾何體直觀圖的畫法規(guī)則
[知識(shí)解讀]　1．對(duì)斜二測(cè)畫法中“斜”“二測(cè)”的解讀“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x軸成45°或135°；“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長(zhǎng)度不變；平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?斜二測(cè)畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點(diǎn)，并在直觀圖中畫出.
2．在直觀圖中“變”的量與“不變”量(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般說來，平行關(guān)系不變；(2)點(diǎn)的共線性不變，線的共點(diǎn)性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)；(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化.因此圖形的形狀發(fā)生變化.斜二測(cè)畫法的位置特征與度量特征簡(jiǎn)記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變.
　畫正五邊形的直觀圖.[分析]　(1)如何建立直角坐標(biāo)系.(2)確定不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn).(3)建立坐標(biāo)系xOy后，B、E兩點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸的直線上，故需作BG⊥x軸于G，EH⊥x軸于H.
[解析]　(1)以正五邊形的中心為原點(diǎn)O，建立如圖(1)所示的直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
[歸納提升]　畫平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵點(diǎn)畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類：一類是在軸上或與軸平行的線段上；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，遇到這類頂點(diǎn)一般通過過此點(diǎn)作與軸平行的線段，將其轉(zhuǎn)化到與軸平行的線段上來確定.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　畫邊長(zhǎng)為1 cm的正三角形的水平放置的直觀圖.[解析]　(1)如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.
　用斜二測(cè)畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF是正六邊形，點(diǎn)P在底面的投影是正六邊形的中心O(尺寸自定).
[解析]　畫法：(1)畫六棱錐P－ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于O(如圖1所示)，畫相應(yīng)的x′軸和y′軸、z′軸，三軸交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如圖2所示).
(3)成圖.連接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′軸、y′軸、z′軸，便得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′(圖3).
[歸納提升]　簡(jiǎn)單幾何體直觀圖的畫法規(guī)則：(1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系.(2)畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面.(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn).(4)連線成圖.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖.[解析]　(1)畫軸.如圖①所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(4)成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖(如圖②).
(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為_______.[分析]　利用斜二測(cè)畫法的規(guī)則將直觀圖復(fù)原.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(2019·河南省鄭州市檢測(cè))水平放置的正方形ABCO如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4)，則由斜二測(cè)畫法畫出的該正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為_____.
　如圖①所示，△ABC水平放置的直觀圖為△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，請(qǐng)用作圖法畫出原△ABC，并量出△ABC的各內(nèi)角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？
對(duì)斜二測(cè)畫法理解不透，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.
[錯(cuò)解]　∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)誤的原因是對(duì)斜二測(cè)畫法理解不透，在用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)，角的度數(shù)一般會(huì)發(fā)生變化，但這種變化并不是角的度數(shù)減小了一半，它的變化與角的兩邊的位置有關(guān).[正解]　如圖②所示，畫出直角坐標(biāo)系xOy，以點(diǎn)A為原點(diǎn).在直觀圖中過C′作C′D′∥O′y′軸，交A′B′于D′，在Ox軸上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.過D作DC∥Oy軸，使DC＝2D′C′，連接AC，BC，則△ABC為原三角形.用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是(　　)A．銳角三角形　　B．直角三角形C．鈍角三角形　　D．任意三角形[解析]　將△A′B′C′還原，由斜二測(cè)畫法知，△ABC為鈍角三角形.

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8.2 立體圖形的直觀圖

版本： 人教A版 (2019)

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