本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第二節(jié)《立體圖形的直觀圖》。以下是本節(jié)的課時安排：
學(xué)生通過觀察一些空間幾何體得到給出直觀圖定義并思考其畫法。通過觀察空間幾何體得出結(jié)論，更有說服力，且利于學(xué)生理解。
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.會利用直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系進行運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；
3.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。
1.重點：了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟
2.難點：會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖
（一）新知導(dǎo)入
美術(shù)與數(shù)學(xué)，一個屬于藝術(shù)，一個屬于科學(xué)，看似毫無關(guān)系，但事實上這兩個學(xué)科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，在美術(shù)畫圖中，空間圖形或?qū)嵨镌诋嫲迳袭嫷眉雀挥辛Ⅲw感，又能表達出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系.
問題 在畫板上畫實物圖時，其中的直角在圖中一定畫成直角嗎？
提示 為了直觀，不一定.

（二）斜二測畫法
1.斜二測畫法的步驟
(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸和y′軸， 兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．
(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成 平行于x′軸或y′軸的線段．
(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．
2.用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖．
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.( )
(2)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行．( )
(3)相等的角在直觀圖中仍相等．( )
（4）在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變.( )
（5）建立z軸的一般原則是讓z軸過空間圖形的頂點.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× （4）× （5）√
直觀圖中“變”與“不變”
(1)平面圖形用其直觀圖表示時，一般來說，平行關(guān)系不變.
(2)點的共線性不變，線的共點性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化).
(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化.因此圖形的形狀發(fā)生變化，這種變化，目的是使圖形富有立體感.
（三）典型例題
1.畫水平放置的平面圖形的直觀圖
例1.如圖，畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖(尺寸自定)．
解析：畫法：(1)如圖，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立平面直角坐標系，畫對應(yīng)的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以點O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.
(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．
【類題通法】畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)淖鴺讼凳顷P(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．
(2)在直觀圖中，確定坐標軸上的對應(yīng)點以及與坐標軸平行的線段端點的對應(yīng)點都比較容易，但是如果原圖中的點不在坐標軸上或不在與坐標軸平行的線段上，就需要我們經(jīng)過這些點作坐標軸的平行線段，將其轉(zhuǎn)化到與坐標軸平行的線段上來確定．
(3)同一個圖形選取坐標系的角度不同，得到的直觀圖可能不同．
【鞏固練習(xí)1】如圖，畫出水平放置的直角梯形的直觀圖．(尺寸自定)
解析：(1)在已知的直角梯形ABCD中，以底邊AB所在直線為x軸，垂直于AB的腰AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖①.
(2)畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，在x′軸上取O′B′＝AB，在y′軸上取O′D′＝eq \f(1,2)AD，過D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC，如圖②.
(3)連接B′C′，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直觀圖，如圖③.
2.畫空間幾何體的直觀圖
例2.已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．
解析：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)畫下底面．以O(shè)為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作AB//EF，CD//EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．
(3)畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．
(4)連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②)．
【類題通法】畫空間圖形的直觀圖的原則：
(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．
(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,2).
【鞏固練習(xí)2】用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面的投影是正六邊形的中心O(尺寸自定)．
解析： (1)畫出六棱錐P-ABCDEF的底面．
如圖1所示，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN為y軸，兩軸相交于O.
圖1
圖2
(2)畫相應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在圖2(1)中，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝eq \f(1,2)MN；以N′點為中點畫B′C′平行于x′軸，且等于BC；再以M′為中點畫E′F′平行于x′軸，且等于EF；連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.
(3)畫正六棱錐P-ABCDEF的頂點．在z′軸上取點P′，使P′O′＝PO.
(4)成圖．連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并進行整理，便得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P′-A′B′C′D′E′F′，如圖2(2)所示．
3.由直觀圖還原平面圖形
例3.如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形．
解析：(1)如圖②，畫直角坐標系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在圖①中，過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′，在圖②中，在x軸上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′.
(3)連接AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′原來的圖形，如圖②.
【類題通法】由直觀圖還原為平面圖形的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．
【鞏固練習(xí)3】如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為a，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則它的原圖形OABC的周長是多少？
解析：∵O′A′＝a，對角線O′B′＝eq \r(2)a，
∴原圖形中OA＝O′A′＝a，OB＝2O′B′＝2eq \r(2)a，且△OBC為直角三角形，
∴OC＝eq \r(9a2)＝3a，∴原圖形周長是2(3a＋a)＝8a.
4.直觀圖與原圖形的面積
例4. 如圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原圖形的面積．
解析：如圖，建立平面直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在過點D與y軸平行的平行線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過點A與x軸平行的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形(如圖)．
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.
故面積為S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5.
【類題通法】直觀圖與原圖形的面積問題
方法1：由直觀圖還原出原圖形，進而確定相關(guān)的量，從而求出原圖形的面積．
方法2：不作圖，直接根據(jù)面積關(guān)系S直＝eq \f(\r(2),4)S原求解.
【鞏固練習(xí)4】已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是( )
A.eq \f(\r(6),2)a2 B.eq \f(\r(6),4)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2D.eq \f(\r(6),16)a2
解析：因為正△ABC的邊長為a，所以其面積S＝eq \f(\r(3),4)a2，又因為直觀圖面積S′與原圖面積之比為eq \f(\r(2),4)，即eq \f(S′,S)＝eq \f(\r(2),4)，所以S′＝eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(6),16)a2.
答案：D
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是( )
A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直
C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點
2．如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項中的( )
3．如圖是一梯形OABC的直觀圖，其直觀圖面積為S，則梯形OABC的面積為( )
A．2S B.eq \r(2)S C．2eq \r(2)S D.eq \r(3)S
4．若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成( )
A．平行于z′軸且大小為10 cm B．平行于z′軸且大小為5 cm
C．與z′軸成45°且大小為10 cm D．與z′軸成45°且大小為5 cm
答案：1.B 2.C 3.C 4.A

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第109頁 練習(xí) 第1，2題
第111頁 練習(xí) 第1，2,3題
第111 頁 習(xí)題8.2 第1,2,3，4,5，6,7題









8.2立體圖形的直觀圖
課時內(nèi)容
直觀圖
所在位置
教材第107頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是立體圖形直觀圖，由前兩節(jié)學(xué)習(xí)的基本立體圖形導(dǎo)入，引出斜二測畫法并與實際圖形建立聯(lián)系，理論結(jié)合實際。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
教學(xué)主線
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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.2 立體圖形的直觀圖

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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