高中數(shù)學8.2 立體圖形的直觀圖精品同步訓練題-試卷下載-教習網(wǎng)

知識點01：空間幾何體的直觀圖
（1）空間幾何體的直觀圖的概念
直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.
直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.
（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）
（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，畫直觀圖時作出與之對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點，且使（或）
（2）畫線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在軸，軸上的線段.
（3）取長度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長度不變.在軸上或平行于軸的線段，長度為原來長度的一半.
（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.
方法歸納：設(shè)一個平面多邊形的面積為，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有.
【即學即練1】（2023上·上?！じ叨？计谥校┤鐖D有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（）

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】作出直角梯形的直觀圖如下圖所示：

A選項滿足要求.
故選：A.
知識點02：空間幾何體的直觀圖的繪制方法
（1）畫軸. 在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點, 畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點, 且使”(或）, 它們確定的平面表示水平面；
（2）畫底面. 已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；
（3）畫側(cè)棱. 已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>（4）成圖. 連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.
簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.
【即學即練2】（2023·全國·高一隨堂練習）畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.
【答案】直觀圖見解析
【詳解】第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形；
第二步，取四邊形對角線中點O，建立坐標系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐標系，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形；
第四步，連接，得四棱臺即為所求，如圖：

知識點03：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)
①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．
【即學即練3】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ写笸袑W?？茧A段練習）水平放置的的斜二測直觀圖是如圖中的，已知，則邊的實際長度是 .
【答案】5
【詳解】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，
則，
所以.
故答案為：5.
題型01 畫水平放置的平面圖形的直觀圖
【典例1】（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谀┯眯倍y畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的選項是（）
A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖必為矩形
C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形
【答案】A
【詳解】對于A，三角形的三個頂點不共線，直觀圖中，三個頂點對應(yīng)的點也必然不共線，
三角形的直觀圖依然是三角形，A正確；
對于B，如下圖所示的平行四邊形，其中，
其直觀圖為平行四邊形，而非矩形，B錯誤；

對于C，正方形的直觀圖為平行四邊形，如下圖所示，C錯誤；

對于D，如下圖所示的菱形，其中，
其直觀圖為平行四邊形，
若，則，，即，
四邊形不是菱形，D錯誤.

故選：A.
【典例2】（2023上·上海寶山·高二校考階段練習）畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

【答案】答案見解析，的面積為
【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形的直觀圖，
如圖所示，則的面積為.

【典例3】（2023·全國·高一課堂例題）畫水平放置的正三角形的直觀圖．
【答案】畫圖見解析
【詳解】畫法如圖，按如下步驟完成：

第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對稱軸CO為y軸．畫對應(yīng)的軸、軸，使．
第二步在軸上取，，在軸上取．
第三步連接，，，所得就是水平放置的正三角形ABC的直觀圖．
【變式1】（2023上·上海普陀·高二?？计谥校┯眯倍y畫法畫水平放置的正方形的直觀圖為平行四邊形，取所在直線為x軸，所在直線為y軸．若在直觀圖中，則．
【答案】2
【詳解】如圖所示，
斜二測畫法畫邊長為2的正方形的直觀圖，是平行四邊形，
且；
由于四邊形為正方形，所以，
故答案為：2
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）用斜二測畫法畫出下列圖形：
(1)水平放置的邊長為5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四邊形；
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）在已知正方形中，，取所在直線為軸（如圖1（1）），
畫出對應(yīng)的，軸，使，，（如圖1（2）），
即四邊形即為正方形的直觀圖.

（2）仿照正方形的直觀圖的畫法：
水平放置的梯形（如圖2（1））的直觀圖（如圖2（2）），

水平放置的平行四邊形（如圖3（1））的直觀圖（如圖3（2）），

題型02 由直觀圖還原平面圖形
【典例1】（2024·全國·高二專題練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為，
所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為，
故選：A．
【典例2】（2023下·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點，則（）

A．B．4C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意可得的原圖如圖所示，其中D為AB的中點，
由于為的中點，,
且OA=2，，，故．
故選：C

【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在斜二測畫法下被畫成正三角形，請畫出的真正圖形．
【答案】作圖見解析
【詳解】如圖，即為所求圖形．
作圖過程：
過C作CD⊥AB于D，延長DA到O，使得DO＝DC，連接OC，則∠COD＝45°．
過O作Oy⊥OB，并以O(shè)y作為y軸，OB作為x軸，
在y軸正半軸取，使得，連接、，
則根據(jù)斜二測畫法的原理可知即為真正的圖形．
【變式1】（2023下·江西九江·高一德安縣第一中學?？计谀﹫D為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，
且在直觀圖中平行于軸的邊與底邊垂直，
原圖形如圖所示：
此平面圖形可能是C.
故選：C.
【變式2】（2023下·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形AOBC的面積為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】在直觀圖中，四邊形為等腰梯形，，而，則，
由斜二測畫法得原四邊形AOBC是直角梯形，，，如圖.

所以四邊形AOBC的面積為.
故選：D.
【變式3】（2024·全國·高二專題練習）如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.
【答案】作圖見解析；5
【詳解】如圖，建立直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2
在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.
所以面積為S＝×2＝5.
題型03 畫簡單幾何體的直觀圖
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．
【答案】圖形見解析
【詳解】①取的中點，畫，
用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為的正三角形，其中，；
②畫平面，在上截?。?br>畫出，；，，且與交于點，如圖所示；

③連接、、，即得正三棱柱，
④最后將，，軸擦去，即可得到正三棱柱的直觀圖如下：

【典例2】（2023下·高一課時練習）用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖，其中上、下底面邊長分別為2，3，高為2．
【答案】答案見解析
【詳解】（1）畫軸．畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，，．
（2）畫下底面．如圖①，以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使；在y軸上取線段PQ，使．分別過點M和點N作y軸的平行線，分別過點P和點Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，則面ABCD即為四棱臺的下底面．
（3）畫上底面．在z軸上取一點，使，過點分別作，，在平面內(nèi)以為中心畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖．
（4）連線．被遮擋的線畫成虛線，擦去輔助線并整理，就得到四棱臺的直觀圖（如圖②）．

【典例3】（2023下·高一課時練習）畫一個底面邊長為，高為的正五棱錐（底面是正五邊形，頂點在底面的投影是底面的中心），比例尺是．
【答案】答案見解析
【詳解】依題意，先作出邊長為的正五邊形，
同時以過正五邊形中心且平行于所在的直線為軸，以所在直線為軸，如圖，

利用斜二測畫法作出正五邊形的直觀圖，如圖，

再在直觀圖中，以過原點且垂直于的直線為軸，
按比例尺在軸作出，連接，如圖，

最后將軸去掉，將看不到的線畫成虛線，即可得到滿足題意的正五棱錐，如圖.

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．
【答案】答案見解析
【詳解】畫法：（1）畫軸，畫軸、軸、軸，它們交于點，
使.
（2）畫底面，按軸、軸畫正方形的直觀圖，取邊長等于，
使正方形的中心對應(yīng)于點，在軸上分別取點、、、，且使，，分別過、、、作平行于軸的直線，分別交于、、、四點.
（3）畫高（線），在軸上取
（4）成圖，連結(jié)、、、，并加以整理，就得到所要畫的正四棱雉的直觀圖.

【變式2】（2023·高一課前預習）畫出下列圖形的直觀圖：
(1)棱長為4cm的正方體；
(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．
【答案】(1)畫法見解析，
；
(2)畫法見解析，
【詳解】（1）如下圖所示，按如下步驟完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直觀圖，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四邊形ABCD的中心O，作x軸∥AB，y軸∥BD，
第二步：過點O作∠xOz=90°，過點A、B、C、D分別作等于4cm，順次連接，
第三步：去掉圖中的輔助線，就得到棱長為4的正方體的直觀圖.
（2）如下圖所示，按如下步驟完成：
第一步：作水平放置的圓的直觀圖，使cm，cm.
第二步：過作軸，使，在上取點，使=4cm，連接，.
第三步：去掉圖中的輔助線，就得到所求圓錐的直觀圖.
【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習）畫出上、下底面邊長分別為3cm和5cm，高為4cm的正四棱臺的直觀圖.
【答案】圖形見解析
【詳解】(1)畫軸：如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使，
(2)畫下底面：以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN=5cm，在y軸上取線段PQ，使PQ=cm，
分別過點M，N作y軸的平行線，過點P，Q作x軸的平行線，
令它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正四棱臺的下底面，
(3)畫上底面：在z軸上取點，使=4cm，過作軸、軸分別平行于x軸、y軸，
以點為中心，在軸上取線段M1N1，使M1N1=3cm，在軸上取線段P1Q1，使P1Q1=cm，
分別過點M1，N1作軸的平行線，過點P1，Q1作軸的平行線，
令它們的交點分別為A1，B1，C1，D1，四邊形A1B1C1D1就是正四棱臺的上底面，
(4) 成圖：連接線段AA1，BB1，CC1，DD1，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，就得到正四棱臺的直觀圖，如圖.
題型04 求直觀圖的長度和面積
【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由直角梯形中，且，作于，
則四邊形為正方形，為等腰直角三角形，
故，.

故原圖為直角梯形，且上底，高，
下底.
其面積為.

故選：C
【典例2】（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯(lián)考期末）如圖，一個水平放置的平行四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為矩形，若，，則在原平行四邊形ABCD中，（）

A．3B．C．D．9
【答案】D
【詳解】在直觀圖中，，，則，，
把直觀圖還原為原圖，如圖，則根據(jù)斜二測畫法規(guī)則得，，
所以.

故選：D.
【典例3】（多選）（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┱切蔚倪呴L為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（）

A．為銳角三角形
B．的面積為
C．的周長為
D．的面積為
【答案】CD
【詳解】如圖，因為正三角形的邊長為，故，所以，，
在中，，由余弦定理得，,
在中，，由余弦定理得，,
選項A，在中，因為，
由余弦定理知，故選項A錯誤；
選項B和D，，故選項B錯誤，選項D正確；
選項C，的周長為，故選項C正確.

故選：CD.
【典例4】（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西農(nóng)興中學?？计谥校┤鐖D，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
【答案】(1)圖形見解析
(2)邊上的高為，原圖形的面積為.
【詳解】（1）畫出平面直角坐標系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點作軸，并使,
連接，，則即為原來的圖形，如圖②所示：

（2）由（1）知，原圖形中，于點，則為原圖形中邊上的高，且，
在直觀圖中作于點，

則的面積，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原圖形中邊上的高為，原圖形的面積為.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個（）

A．等邊三角形B．直角三角形
C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形
【答案】A
【詳解】由圖形知，在原中，，如圖，

因為，所以，
，，
又，.
為等邊三角形.
故選：A
【變式2】（多選）（2023下·浙江溫州·高一樂清市知臨中學?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，，，點在線段上，對應(yīng)原圖中的點P，則在原圖中下列說法正確的是（）
A．四邊形ABCD的面積為14
B．與同向的單位向量的坐標為
C．在向量上的投影向量的坐標為
D．最小值為13
【答案】AB
【詳解】由直觀圖可得，
四邊形為直角梯形，且，
則四邊形的面積為，故A正確；
如圖，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，則，
所以與同向的單位向量的坐標為，故B正確；
，則在向量上的投影向量的坐標為，故C錯誤；
設(shè)，則，
則，
，
當時，取得最小值，故D錯誤.
故選：AB.
【變式3】（2024上·上?！じ叨？计谀┤鐖D所示直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，若，則這個平面圖形的面積是 .

【答案】
【詳解】由已知直角三角形中，直角邊，
則直角三角形的面積為1，
由原圖的面積與直觀圖面積之比為，
可得原圖的面積為，
故答案為：.
【變式4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示直角梯形上下兩底分別為2和4，高為，則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為 .
【答案】
【詳解】如圖所示，作出直觀圖，
則，，，
梯形的高為，
∴直觀圖的面積為.
故答案為：.
題型05 直觀圖還原和計算問題
【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由直角梯形中，且，作于，
則四邊形為正方形，為等腰直角三角形，
故，.

故原圖為直角梯形，且上底，高，
下底.
其面積為.

故選：C
【典例2】（多選）（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，D'是中B'C'邊上的一點，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'軸，那么原的AB、AD、AC三條線段中（）

A．最長的是ABB．最長的是ACC．最短的是ACD．最短的是AD
【答案】AD
【詳解】根據(jù)題意，原的平面圖如圖，
其中，，，
則有，
故的AB、AD、AC三條線段中最長的是AB，最短的是AD；
故選：AD

【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為．
【答案】
【詳解】因為，，，
所以，，
所以．
故答案為：．
【變式1】（2024·全國·高二專題練習）若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（）
A．12B．6C．D．
【答案】C
【詳解】解：因為，，，，
所以由斜二測畫法的直觀圖知可，
所以由斜二測畫法的畫法規(guī)則還原原圖形，如圖：
所以，，，，，
所以梯形的面積為．
故選：C．
【變式2】（2023上·高二單元測試）如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是 cm．
【答案】8
【詳解】由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角線在軸上，
可求得其長度為，故在原平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼谋?，即長度為，
其原來的圖形如圖所示，則原圖形的周長是：．
故答案為：．
【變式3】（2023上·四川內(nèi)江·高二威遠中學校?？计谥校┤鐖D，是水平放置的斜二測直觀圖，其中，則原圖形的面積是 .
【答案】6
【詳解】畫出原圖形如下：
其中，故.
故答案為：6
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·全國·高三專題練習）已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m．如果按的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為（）
A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm
C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm
【答案】C
【詳解】由比例可知，所畫長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm，1cm，2cm和1.6cm，
又因為斜二測畫直觀圖的畫法：
已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于，保持長度不變；
已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，保持長度不變.
所以該建筑物按的比例畫出它的直觀圖的相應(yīng)尺寸分別為4cm，0.5cm，2cm和1.6cm．
故選：C.
2．（2024·全國·高三專題練習）如圖，若斜邊長為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）
A．2B．C．D．8
【答案】C
【詳解】在斜二測直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.
還原原圖形如圖：則，則
.
故選：C
3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知水平放置的正方形ABCD的斜二測畫法直觀圖的面積為，則正方形ABCD的面積是（）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以正方形ABCD的面積為16，
故選：D.
4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正方形的邊長為2，它的水平放置的一個平面圖形的直觀圖為（在軸上），則圖形的面積是（）
A．4B．2C．D．1
【答案】C
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的知識可知，
所以圖形的面積是.
故選：C
5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）

A．B．2C．D．
【答案】C
【詳解】在直角梯形中，，，
顯然，于是，
直角梯形對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，

，，
所以該平面圖形的高為.
故選：C
6．（2024·全國·高二專題練習）一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，恢復后的原圖形為一直角梯形，
所以.
故選：B.
7．（2023下·廣西南寧·高一?？计谥校┤鐖D是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，因為直觀圖中，軸，軸，
所以四邊形是一個上底為，下底為，高為的直角梯形，

則原四邊形的面積．
故選：C．
8．（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）用斜二測畫法畫的直觀圖如圖所示，其中，，則中邊上的中線長為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】在直觀圖中，，且，則，故，
又因為，則，可得，
故為等腰直角三角形，所以，，故軸，
依據(jù)題意，作出的原圖形如下圖所示：

延長至點，使得，則為的中點，
由題意可知，，，，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，
取的中點，連接，
因為、分別為、的中點，則.
故選：D.
二、多選題
9．（2023·福建泉州·高二?？紝W業(yè)考試）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中以下說法正確的是（）

A．是直角三角形B．長為
C．長為D．邊上的中線長為
【答案】ACD
【詳解】因為軸，由斜二測畫法規(guī)則知，即為直角三角形，如圖所示，
又因為，可得，，所以，
所以邊上的中線長度為．
故選：ACD.

10．（2023下·湖南長沙·高一?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD的斜二測直觀圖為等腰梯形，已知，則（）

A．
B．
C．四邊形ABCD的周長為
D．四邊形ABCD的面積為6
【答案】AD
【詳解】如圖過作于，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，
即，即A正確；
還原平面圖為下圖，

即，
過C作，由勾股定理得，即錯誤；
故四邊形ABCD的周長為：，即C錯誤；
四邊形ABCD的面積為：，即D正確.
故選：AD
三、填空題
11．（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學?？茧A段練習）如圖，矩形是水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為．
【答案】
【詳解】由題意可得，又，所以.
故答案為：.
12．（2023上·四川成都·高二石室中學?？奸_學考試）水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的面積為 .
【答案】
【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知在直觀圖（圖（1））中補全正方形，易知；
還原回原圖如圖（2）所示，根據(jù)直觀圖畫法可得，且；
故的面積為；
故答案為：.
13．（2023上·貴州遵義·高二遵義市南白中學校考開學考試）已知某水平放置的四邊形的斜二測畫法直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則四邊形的面積是 .

【答案】
【詳解】連接，則與平行，且有勾股定理得，

故畫出四邊形的原圖形，如下：

四邊形為平行四邊形，高，
故四邊形的面積是.
故答案為：
四、解答題
14．（2023下·高一課時練習）如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形．用斜二測畫法畫出的這個梯形的直觀圖為．求梯形的高．
【答案】
【詳解】如圖（1）所示，過點作，垂足為，過作軸，垂足為，
因為四邊形是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形，可得，
在直角中，可得，所以，
如圖（2）所示，在梯形的直觀圖中，
分別坐標，，垂足分別為，
因為軸，所以，
延長交于點，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得，
在直角中，可得，
即直觀圖的高為.
15．（2023·全國·高一專題練習）用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.
【答案】答案見解析
【詳解】（1）用斜二測畫法畫出水平放置的等腰梯形，如下圖所示：
畫出相應(yīng)的軸、軸，使，
過點作軸，垂足為，過點作軸，垂足為，
在軸上取，，
過點作軸，使，過點作軸，使，
連結(jié)，則四邊形就是等腰梯形的直觀圖.
（2）用斜二測畫法畫出正五邊形的直觀圖，如下圖所示：
連接交于，畫出相應(yīng)的軸、軸，使，
在軸上取，，在軸上取，，
過點作軸，且，過點作軸，且，
連結(jié)，則五邊形就是所求的直觀圖.
B能力提升
1．（2023下·廣西南寧·高一?？计谥校┤鐖D是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，因為直觀圖中，軸，軸，
所以四邊形是一個上底為，下底為，高為的直角梯形，

則原四邊形的面積．
故選：C．
2．（2023上·四川資陽·高二校考期末）用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形.已知點是斜邊的中點，且，則的邊邊上的高為（）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【詳解】∵直觀圖是等腰直角三角形，，∴，根據(jù)直觀圖中平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?
∴△的邊上的高.故選D.
3．（2023下·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谀┮阎粋€四棱錐的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，其底面梯形的斜二測畫法的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則該四棱錐的體積是
A．4B．C．D．
【答案】A
【詳解】由三視圖可知，該四棱錐的高是3，記斜二測畫法中的等腰梯形的上底為，高為，則斜二測中等腰梯形的腰為，而積，由斜二測畫法的特點知直觀圖中底面梯形的高為，面積，
，故四棱錐的體積，故選.
（也可用結(jié)論直接得出：，，）
4．（2023·高一課時練習）如圖，已知點，，,用斜二測畫法作出該水平放置的四邊形的直觀圖，并求出面積.

【答案】圖見解析，
【詳解】由斜二測畫法可知，在直觀圖中，，，，，，，，，，
所以
.

5．（2023下·全國·高一專題練習）設(shè)一正方形紙片邊長為4厘米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一正方形紙片和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中，為正四棱錐底面中心．，
（1）若正四棱錐的棱長都相等，請求出它的棱長并畫出它的直觀圖示意圖；
（2）設(shè)等腰三角形的底角為，試把正四棱錐的側(cè)面積表示為的函數(shù)，并求范圍．
【答案】（1），畫圖見解析；（2），.
【詳解】（1）由題意，設(shè)正四棱錐的棱長為，則，
，
（2）設(shè)，則，由，可得，
從而，其中，
∴
課程標準
學習目標
①掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.。
②會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖。
1.通過閱讀課本在認識柱錐臺體的圖形的基礎(chǔ)上，理解立體圖形的直觀圖的畫法；
2.熟練運用掌握平面圖形的斜二測畫法，理解例題圖形的斜二測畫法要領(lǐng)；
3.在認真學習的基礎(chǔ)上，提升學生空間向量能力和數(shù)學分析能力，抽象思維能力；

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