8.4　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
1．平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周___________的.
2．平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即_____________表示平面，它的銳角通常畫成_______，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的____倍，如圖①.如果一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用_______畫出來，如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為________、平面ABCD、_________或平面BD.
1．直線在平面內(nèi)的概念如果直線l上的_________都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.
點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
2．一些文字語言與符號(hào)語言的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
2．利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到下面三個(gè)推論：推論1_______________________________，有且只有一個(gè)平面.推論2___________________，有且只有一個(gè)平面.推論3___________________，有且只有一個(gè)平面.
經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)　
[知識(shí)解讀]　1．平面的幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的.2．從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系(1)直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示.
3．準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)三個(gè)基本事實(shí)的意義和作用(1)基本事實(shí)1意義：是在空間確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法.作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面.
(2)基本事實(shí)2意義：說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”.作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可推出不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面.
(3)基本事實(shí)3意義：揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法.作用：①判斷兩個(gè)平面是否相交；②確定兩個(gè)平面的交線；③證明若干點(diǎn)共線問題.
根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.
[解析]　(1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.
[歸納提升]　三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.(2)要注意符號(hào)語言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.提醒：根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)若點(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關(guān)系可記為___________________；(2)根據(jù)圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A_____平面ABC，A_____平面BCD，BD_____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝_____；(3)用符號(hào)語言表示下面語句，并畫出圖形：三個(gè)平面α、β、γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC.
M∈a，a?α，M∈α　
[解析]　(3)符號(hào)語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖所示.
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖.求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.[分析]　(1)P、Q、R三點(diǎn)分別在哪幾個(gè)平面上？(2)在兩個(gè)相交平面上的點(diǎn)，有什么特點(diǎn)？
[解析]　證法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.
證法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.
[歸納提升]　點(diǎn)共線的證明方法：證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、M三點(diǎn)共線.
[解析]　由AA1∥CC1，則AA1與CC1確定一個(gè)平面A1C.∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.∴O點(diǎn)在平面BC1D與平面A1C的交線上.又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三點(diǎn)共線.
　已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個(gè)平面.[證明]　如圖所示.由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個(gè)平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個(gè)平面.
[歸納提升]　在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)同一法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).[證明]　法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
　已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．求證：直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).[分析]　先證EF、HG一定相交于一點(diǎn)，再證這一點(diǎn)在直線BD上.
設(shè)EF∩GH＝O，則O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).[歸納提升]　三線共點(diǎn)的證明方法：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交，交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直線a和b不平行.求證：a、b、c三條直線必過同一點(diǎn).
[解析]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，設(shè)a∩b＝P，∵P∈a，a?β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一點(diǎn)P，即a、b、c三條直線過同一點(diǎn).
　已知A、B、C、D、E五點(diǎn)中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面嗎？[錯(cuò)解]　因?yàn)锳、B、C、D共面，所以點(diǎn)A在B、C、D所確定的平面內(nèi)，因?yàn)锽、C、D、E共面，所以點(diǎn)E也在B、C、D所確定的平面內(nèi)，所以點(diǎn)A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi)，即A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面.[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件，實(shí)際上B、C、D三點(diǎn)還可能共線.
對(duì)于條件所給的點(diǎn)的位置關(guān)系考慮不全面
[正解]　(1)如果B、C、D三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳、B、C、D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)，因?yàn)锽、C、D、E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)，所以點(diǎn)A、E都在平面α內(nèi)，即A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面.(2)如果B、C、D三點(diǎn)共線于l，若A、E都在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；若A、E中有且只有一個(gè)在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；若A、E都不在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)可能不共面.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(　　)A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行[解析]　兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面.

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8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

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