1. 復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的三角形相似的判定定理.2. 掌握利用三邊來判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn) 行相關(guān)計(jì)算. (重點(diǎn)、難點(diǎn))
2. 證明三角形全等有哪些方法？你能從中獲 得證明三角形相似的啟發(fā)嗎？
1. 什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學(xué)過哪 些判定三角形相似的方法？你認(rèn)為這些方法是否有 其缺點(diǎn)和局限性？
3. 類似于判定三角形全等的 SSS 方法，我們能不能通 過三邊來判定兩個(gè)三角形相似呢？
任意畫一個(gè) △ABC ，再畫一個(gè) △A′B′C′，使它的各邊長都是原來△ABC 的各邊長的k倍，動(dòng)手量一量這兩個(gè)三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？
通過測(cè)量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我們用前面所學(xué)得定理證明該結(jié)論.
證明:在線段 A′B′ (或延長線) 上截取 AD=AB，
過點(diǎn) D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于點(diǎn) E.
∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴ DE=BC，A′E=AC.
∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′ .
由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
例1 根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.
AB=4 cm ，BC =6 cm ，AC =8 cm，A′B′=12 cm ，B′C′=18 cm ，A′C′=24 cm.
解：相似.理由如下：∵ ∴∴△ABC∽△A′B′C′.
已知 △ABC 和 △DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.
(2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8.
(1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9；
例2 判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由．
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
方法總結(jié)：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個(gè)三角形的三邊的長，分別算出三條對(duì)應(yīng)邊的比值，看是否相等.注意：計(jì)算時(shí)最長邊與最長邊對(duì)應(yīng)，最短邊與最短邊對(duì)應(yīng).
【分析】要運(yùn)用三邊成比例判斷相似，目前題目只有2組邊成比例和90°的角，那么可以通過“勾股定理”得到第三組邊成比例，進(jìn)而求解.
證明：由已知條件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三邊成 比例的兩個(gè)三角形相似).
例4 如圖，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).
1. 根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由
AB=5 cm ，BC =7 cm ，AC =8 cm，A′B′=15 cm ，B′C′=21 cm ，A′C′=23 cm.
解：不相似.理由如下：∵ ，∴△ABC與△A′B′C′的三邊不成比例，∴不相似.
2. 如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，有兩個(gè)三角形，它們是否相似？請(qǐng)說明理由.
解：相似，圖①中的三角形三邊分別為 ，2 ， ；圖②中的三角形三邊分別為 2，2 ，2 .則 ，所以這兩個(gè)三角形相似.
3. 如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，求證： △ABC∽△DBA.
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA.
證明：∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，∴AB= ，AC= ，AD= .
4. 如圖，△ABC中，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC，CA 的中點(diǎn)，求證：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
證明：∵△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，
5. 如圖，某地四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn) A，B，C，D 之間建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 與 CD 平行嗎？說出你 的理由.
解：公路 AB 與 CD 平行.
∴ △ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.

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27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版

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