高跟鞋深受很多女性的喜愛，但有時(shí)候，如果鞋跟太高，也有可能“喜劇”變“悲劇”.
3. 體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
1. 鞏固解直角三角形相關(guān)知識(shí) .
2. 能從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，并能靈活選擇三角函數(shù)解決問題.
（2）兩銳角之間的關(guān)系；
（3）邊角之間的關(guān)系.
（1）三邊之間的關(guān)系；
利用解直角三角形解答簡(jiǎn)單的問題
小明去景點(diǎn)游玩，搭乘觀光索道纜車的吊箱經(jīng)過(guò)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，它走過(guò)了300m. 在這段路程中纜車行駛的路線與水平面的夾角為30° ，你知道纜車垂直上升的距離是多少嗎?
解：BD=ABsin30°=150m
小明乘坐索道纜車?yán)^續(xù)從點(diǎn)B到達(dá)比點(diǎn)B高 200m的點(diǎn)C， 如果這段路程纜車的行駛路線與水平面的夾角為60°，纜車行進(jìn)速度為2m/s，小明需要多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)目的地？
小明需要115.5s才能到達(dá)目的地.
231÷2=115.5（s）
例1 2012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接. “神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行. 如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少（地球半徑約為6 400km，π取3.142 ，結(jié)果取整數(shù)）？
建立直角三角形模型解答簡(jiǎn)單的問題
解：設(shè)∠FOQ =α，F(xiàn)Q是⊙O切線，△FOQ是直角三角形．
當(dāng)組合體在P點(diǎn)正上方時(shí)，從中觀測(cè)地球表面時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2051km.
【討論】從前面的例題解答中，你能體會(huì)到解直角三角形的應(yīng)用前提條件是什么嗎？如何進(jìn)行？
【方法點(diǎn)撥】一般情況下，直角三角形是求解或運(yùn)用三角函數(shù)值的前提條件，故當(dāng)題目中提供的并非直角三角形時(shí)，需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，然后運(yùn)用三角函數(shù)解決問題．

(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；
(2)根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等知識(shí)去解直角三角形；
(3)得到數(shù)學(xué)問題答案；
(4)得到實(shí)際問題答案.
注：數(shù)學(xué)問題的解符合實(shí)際意義才可以成為實(shí)際問題的解.
如圖，某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險(xiǎn)，那么梯子的長(zhǎng)至少為多少米？
解：如圖所示，依題意可知∠B= 60°
答：梯子的長(zhǎng)至少4.62米.
例2 如圖，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板（大小忽略不計(jì)）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為60°，則秋千踏板與地面的最大距離為多少？
建立直角三角形模型解答生活問題
分析：根據(jù)題意，可知秋千踏板與地面的最大距離為CE的長(zhǎng)度.因此，本題可抽象為：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB為直角三角形，求CE的長(zhǎng)度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
∴AC=ABcs∠CAB=1.5m.
∴ CD=AD－AC=1.5m.
∴ CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板與地面的最大距離為2.0m.
(1)小華去實(shí)驗(yàn)樓做實(shí)驗(yàn), 兩幢實(shí)驗(yàn)樓的高度AB=CD=20m ,兩樓間的距離BC=15m，已知太陽(yáng)光與水平線的夾角為30°,求南樓的影子在北樓上有多高？
解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，F(xiàn)E=BC=15m.
(2) 小華想：若設(shè)計(jì)時(shí)要求北樓的采光，不受南樓的影響，請(qǐng)問樓間距BC至少應(yīng)為多少米?
圖1是一輛吊車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，其轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4m．當(dāng)起重臂AC長(zhǎng)度為9m，張角∠HAC為118°時(shí)，求操作平臺(tái)C離地面的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位：參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）.
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四邊形AHEF為矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°. ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°. 在Rt△ACF中，∵ ， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平臺(tái)C離地面的高度為7.6m．
1. 數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測(cè)量被池塘相隔的兩棵樹A、B的距離，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量方案： 從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再?gòu)腅沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點(diǎn)，其中3位同學(xué)分別測(cè)得三組數(shù)據(jù)：①AC，∠ACB；②EF，DE， AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求得A、B兩棵樹距離的有( ) A. 0組 B. 1組 C. 2組 D. 3組
2. 如圖，要測(cè)量B點(diǎn)到河岸AD的距離，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD=60°，又測(cè)得AC=100米，則B點(diǎn)到河岸AD的距離為( )
3. 一次臺(tái)風(fēng)將一棵大樹刮斷，經(jīng)測(cè)量，大樹刮斷一端的著地點(diǎn)A到樹根部C的距離為4米，倒下部分AB與地平面AC的夾角為45°，則這棵大樹高是 米.
“欲窮千里目，更上一層樓”是唐代詩(shī)人李白的不朽詩(shī)句.如果我們想在地球上看到距觀測(cè)點(diǎn)1000里處景色，“更上一層樓”中的樓至少有多高呢？存在這樣的樓房嗎(設(shè)AC代表地面，O為地球球心，C是地面上一點(diǎn)， AC=500km，地球的半徑為6370 km，cs4.5°= 0.997)？
解：設(shè)登到B處，視線BC在C點(diǎn)與地球相切，也就是 看C點(diǎn)，AB就是“樓”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即這層樓至少要高19km，即19000m. 這是不存在的.
如圖，在電線桿上的C處引拉線CE，CF固定電線桿. 拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的A處測(cè)得AC與水平面的夾角為30°，已知A與地面的距離為1.5米，求拉線CE的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）
解：作AG⊥CD于點(diǎn)G，則AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般過(guò)程：
1. 將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；
2. 根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；
畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題
3. 得到數(shù)學(xué)問題的答案；
4. 得到實(shí)際問題的答案.

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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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