【教學(xué)方案】
第二十七章 相似
27.2.2相似三角形的性質(zhì)
第二十七章 相似
27.2.2相似三角形的性質(zhì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握相似三角形中相應(yīng)線段的比等于相似比；
2.掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；
3.進(jìn)一步體會利用類比的思想研究相似圖形與全等圖形的方法；
4.探究經(jīng)歷“試驗、猜想、證明”的過程，感受幾何命題的合理性，并通過證明確認(rèn)命題正確，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.
二、教學(xué)重難點
重點：掌握相似三角形中相應(yīng)線段的比等于相似比．
難點：掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
三、教學(xué)用具
教學(xué)課件.
四、教學(xué)過程設(shè)計
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
環(huán)節(jié)一
創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
類比全等三角形的研究方法，來研究相似三角形的性質(zhì)
【教學(xué)建議】通過復(fù)習(xí)回顧，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為新課的學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.
思考并分析問題
通過情景引入，引發(fā)學(xué)生的思考，為學(xué)習(xí)新課做鋪墊， 培養(yǎng)學(xué)生善于思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
環(huán)節(jié)二
探究新知
【探究】
在相似三角形中，對應(yīng)邊上的高線之比等于相似比嗎？
如圖，△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，AD和A′D′分別是△ABC和△A'B'C'的高，
求證：．
思路點撥：構(gòu)造包含高線在內(nèi)的相似三角形，利用性質(zhì)得到
【證明】
證明：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B′．
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴∠ADB=∠ A′D′B′ ．
∴△ABD∽△A′B′D′．
∴．
反思：證明過程反復(fù)依賴于相似三角形的判定與性質(zhì)，強(qiáng)化對相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
分組討論，合作探究完成學(xué)習(xí)任務(wù)
經(jīng)歷知識的探究過程，使學(xué)生通過全程參與，掌握知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力
【歸納】
性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.
符號語言：
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k
且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ ．
∴．
【思考】
在相似三角形中，對應(yīng)角的角平分線之比等于相似比嗎？依據(jù)是什么？
【證明】
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即
求證：
證明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B′=∠B,∠B′A′C′=∠BAC
又∵AD,A′D′分別為對應(yīng)角的平分線
∴△ABD∽△A′B′D′
∴．
【延伸、總結(jié)】
相似三角形的性質(zhì)
相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)角平分線的比
對應(yīng)中線的比都相等，且都等于相似比.
符號語言
∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是k
且AD、A′D′是對應(yīng)邊的高線，
BF、B′F′是對應(yīng)邊的中線，
CE、C′E′是對應(yīng)角的角平分線，
∴
【教學(xué)建議】通過探究環(huán)節(jié)的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成本節(jié)課重難點的學(xué)習(xí)任務(wù)
【做一做】兩個相似三角形相似比是2：5，已知其中一個三角形的一條高線為10，那么另一個三角形對應(yīng)的高線長度是 .
答案：4或25
分析：相似三角形的對應(yīng)線段的比等于相似比
解：設(shè)另一個三角形的對應(yīng)的高線長度是h,則
或
解得，h=4或h=25
【教學(xué)建議】通過做一做環(huán)節(jié)，檢驗學(xué)生對知識點的掌握程度，做到當(dāng)堂檢測的目的
獨立思考并嘗試寫出解答過程
通過這個環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解重要知識點
【探究】
相似三角形的周長比和面積比，分別與相似比有著怎樣的關(guān)系呢？請你研究一下吧
(1)如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.△ABC的周長和△A′B′C′的周長的比與它們的相似比有什么關(guān)系？請說明理由.
猜想：周長比等于相似比
證明：∵△ABC∽△A'B'C'，
（等比性質(zhì)）
∴相似三角形周長的比等于相似比
(2)如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.△ABC的面積和△A′B′C′的面積的比與它們的相似比有什么關(guān)系？請說明理由.
猜想：面積比等于相似比的平方
證明:∵S△ABC=
∵
∴
∴相似三角形面積的比等于相似比的平方
【教學(xué)建議】通過探究環(huán)節(jié)的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成本節(jié)課重難點的學(xué)習(xí)任務(wù)
分組討論，合作探究完成學(xué)習(xí)任務(wù)
經(jīng)歷知識的探究過程，使學(xué)生通過全程參與，掌握知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力
環(huán)節(jié)三
應(yīng)用新知
【典型例題】
例1 如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積．
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴．
又∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC，△DEF與△ABC的相似比為．
∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，
∴△DEF的邊EF上的高為，面積為
先說明相似關(guān)系，再依據(jù)重要線段的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，分別進(jìn)行求解.
例2 如圖，在△ABC中，D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中點,求:
（1）△DEF的周長與△ABC的周長之比.
（2）△DEF的面積與△ABC的面積之比.
解：∵D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中點
∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC
且
∴
∴△DEF∽△ABC
∴△DEF的周長與△ABC的周長之比為1：2，△DEF的面積與△ABC的面積之比為1：4.
【教學(xué)建議】教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生自主完成，并引導(dǎo)學(xué)生對解題過程中的方法進(jìn)行總結(jié)
讓學(xué)生積極思考并作答
通過例題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握本知識點的常見題型，提高解題能力
環(huán)節(jié)四
鞏固新知
【隨堂練習(xí)】
1．如果兩個三角形相似，相似比為3∶5，那么對應(yīng)角
平分線的比等于多少？______.
2．相似三角形對應(yīng)邊的比為0.4，那么相似比為______，對應(yīng)角平分線的比為______.
3.若兩個三角形對應(yīng)邊之比為4:3，則它們的對應(yīng)高之比為________，對應(yīng)中線之比為________.
4.△ABC∽△A′B′C′,其相似比為3：4,
（1）△ABC的周長為24cm,則△A′B′C′的周長為_______;
（2）△A′B′C′的面積為64cm2,則△ABC的面積為______.
答案：1．3∶5
2．0.4 0.4
3．4:3 4:3
4．32 cm 36 cm2
【教學(xué)建議】教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)答疑.
自主完成練習(xí)的解答過程，遇到問題隨時請教教師
通過課堂練習(xí)鞏固新知，鞏固復(fù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容
環(huán)節(jié)五
課堂小結(jié)
【課堂小結(jié)】
以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課所講解的內(nèi)容.
【教學(xué)建議】教師通過思維導(dǎo)圖，將本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納，幫助學(xué)生梳理知識脈絡(luò)和重難點
回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容
通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.
環(huán)節(jié)六
布置作業(yè)
【課后作業(yè)】
教科書習(xí)題3.3
課后完成練習(xí)
通過課后作業(yè)，教師能及時了解學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，以便對教學(xué)進(jìn)度和方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

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27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

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