第1課時(shí) 與相似三角形的高、角平分線、中線等有關(guān)的性質(zhì)


01 基礎(chǔ)題


知識(shí)點(diǎn)1 相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比


1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，DE＝4，那么它們的對應(yīng)邊上的高的比為(D)


A．1∶2 B．3∶2


C．2∶1 D．1∶4


2．如圖，在△PCD中，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，點(diǎn)P到CD的距離是2.7 m，求AB與CD之間的距離．





解：∵AB∥CD，


∴△PAB∽△PCD.


設(shè)AB與CD之間的距離是x m，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，得eq \f(AB,CD)＝eq \f(2.7－x,2.7).


∴eq \f(2,6)＝eq \f(2.7－x,2.7).解得x＝1.8.


∴AB與CD之間的距離為1.8 m.





知識(shí)點(diǎn)2 相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比


3．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為3∶1，那么它們對應(yīng)角平分線之比為(B)


A．1∶3 B．3∶1


C．1∶4 D．1∶8


4．如圖，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分別是△ABC，△DEF的角平分線，且AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，求DN的長．





解：∵△ABC∽△DEF，AM，DN分別是△ABC，△DEF的角平分線，


∴eq \f(DN,AM)＝eq \f(DE,AB).


又∵AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，


∴eq \f(DN,12)＝eq \f(5,10).∴DN＝6 cm.





知識(shí)點(diǎn)3 相似三角形對應(yīng)邊上的中線的比等于相似比


5．(蘭州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為eq \f(3,4)，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為(A)


A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(9,16) D.eq \f(16,9)


6．已知△ABC∽△DEF，對應(yīng)角平分線的比為4∶3，△ABC中AB邊上的中線為12，則△DEF中DE邊上的中線為9．


7．如圖，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，AD與A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線．AD與A′D′的和為15 cm，分別求AD和A′D′的長．





解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，


∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(3,2).


∵AD與A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，


△ABC∽△A′B′C′，


∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(3,2).


∵AD＋A′D′＝15，


∴AD＝9 cm，A′D′＝6 cm.








8．如圖，△ABC∽△BDC，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．已知AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的長．





解：∵△ABC∽△BDC，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，


∴eq \f(BE,DF)＝eq \f(AC,BC).


∴eq \f(3,DF)＝eq \f(6,4).


∴DF＝2.








02 中檔題


9．已知△ABC與△A1B1C1的相似比為2∶3，△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為3∶5，那么△ABC與△A2B2C2的對應(yīng)角平分線的比為(B)


A．2∶3 B．2∶5


C．3∶5 D．5∶2


10．兩個(gè)相似三角形的相似比為2∶5，已知其中一個(gè)三角形的一條中線為10，那么另一個(gè)三角形對應(yīng)的中線是4或25．


11．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的長．





解：∵AD∶DB＝4∶3，


∴AD∶AB＝4∶7.


∵DE∥BC，


∴△ABC∽△ADE.


∵CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(EG,CF).∴eq \f(4,7)＝eq \f(4,CF).


∴CF＝7 cm.





12．如圖，要在一塊△ABC的紙片上截取正方形DEFG模型．其中，G，F(xiàn)在BC邊上，D，E分別在AB，AC邊上，AH⊥BC交DE于M，若BC＝12 cm，AH＝8 cm，求正方形DEFG的邊長．





解：設(shè)正方形DEFG的邊長為x cm，


則AM＝AH－HM＝(8－x)cm.


∵DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC.


∴eq \f(AM,AH)＝eq \f(DE,BC)，即eq \f(8－x,8)＝eq \f(x,12)，


解得x＝4.8.


即正方形DEFG的邊長為4.8 cm.





13．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AD于點(diǎn)N，且BC＝12，BM＝8，CD＝15.求CN的長．





解：∵AC平分∠BAD，


∴∠BAC＝∠CAD.


又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，


∴△ABC∽△ACD.


又∵BM⊥AC，CN⊥AD，


∴eq \f(CN,BM)＝eq \f(CD,BC).


又∵BC＝12，BM＝8，CD＝15，


∴eq \f(CN,8)＝eq \f(15,12).


∴CN＝10.





03 綜合題


14．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn).已知AC＝8，BC＝6.





(1)求eq \f(DF,DE)的值；


(2)求四邊形DECF的面積．


解：(1)∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，


∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.


∴∠B＝∠ACD，∠ADC＝∠CDB.


∴△ACD∽△CBD.


又∵DF⊥BC，DE⊥AC，


∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(BC,CA).


又∵BC＝6，AC＝8，


∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(BC,CA)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).


(2)由(1)可知eq \f(DF,DE)＝eq \f(3,4)，設(shè)DF＝3x，則DE＝4x.


∴S△ACD＝eq \f(1,2)AC·DE＝eq \f(1,2)×8×4x＝16x，


S△BCD＝eq \f(1,2)BC·DF＝eq \f(1,2)×6×3x＝9x.


又∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×8×6＝24，


∴16x＋9x＝24，解得x＝eq \f(24,25).


∴S四邊形DECF＝DE·DF＝4x·3x＝12x2＝12×(eq \f(24,25))2＝eq \f(6 912,625).


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初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊電子課本

27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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