1．理解相似三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))


2．會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn))





一、情境導(dǎo)入


兩個(gè)三角形相似，除了對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等之外，還可以得到許多有用的結(jié)論．例如，在圖中，△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)相似三角形，相似比為k，其中AD、A′D′分別為BC、B′C′邊上的高，那么AD、A′D′之間有什么關(guān)系？





二、合作探究


探究點(diǎn)一： 相似三角形的性質(zhì)


【類型一】 利用相似比求三角形的周長(zhǎng)和面積


如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝EC，BD、AE相交于F點(diǎn)．





(1)求△BEF與△AFD的周長(zhǎng)之比；


(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.


解析：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比可以得到周長(zhǎng)和面積之比，然后再進(jìn)一步求解．


解：(1)∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝eq \f(1,2)BC，∴eq \f(BE,AD)＝eq \f(BF,DF)＝eq \f(EF,AF)＝eq \f(1,2)，∴△BEF與△AFD的周長(zhǎng)之比為eq \f(BE＋BF＋EF,AD＋DF＋AF)＝eq \f(1,2)；


(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比為eq \f(1,2)，∴eq \f(S△BEF,S△AFD)＝(eq \f(1,2))2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.


方法總結(jié)：理解相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．


變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第4、6題


【類型二】 利用相似三角形的周長(zhǎng)或面積比求相似比


若△ABC∽△A′B′C′，其面積比為1∶2，則△ABC與△A′B′C′的相似比為( )


A．1∶2 B.eq \r(2)∶2


C．1∶4 D.eq \r(2)∶1


解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面積比為1∶2，∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶eq \r(2)＝eq \r(2)∶2.故選B.


方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．


【類型三】 利用相似三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算


如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD，CE分別為BC，AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別為18和8，DE＝3，求AC邊上的高．





解析：求AC邊上的高，先將高線作出，由△ABC的面積為18，求出AC的長(zhǎng)，即可求出AC邊上的高． 解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽R(shí)t△CEB，∴eq \f(BD,BE)＝eq \f(AB,CB)，即eq \f(BD,AB)＝eq \f(BE,CB)，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴eq \f(S△BED,S△BCA)＝(eq \f(DE,AC))2＝eq \f(8,18).又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BF＝18, ∴BF＝8.


方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題，可利用相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、面積比等于相似比的平方來(lái)解答．


變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題


【類型四】 利用相似三角形線段的比等于相似比解決問(wèn)題


如圖所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.


(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；


(2)若S△APN∶S四邊形PBCN＝1∶2，求eq \f(AE,AD)的值．





解析：(1)由相似三角形面積比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比即可求解；(2)由△APN與四邊形PBCN的面積比可得△APN與△ABC的面積比，進(jìn)而可得其對(duì)應(yīng)邊的比．


解：(1)因?yàn)镻N∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以eq \f(S△APN,S△ABC)＝(eq \f(AP,AB))2.因?yàn)锳P∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因?yàn)镾△ABC＝18，所以eq \f(S△APN,S△ABC)＝(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,9)，所以S△APN＝2；


(2)因?yàn)镻N∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以eq \f(AP,AB)＝eq \f(AE,AD)，eq \f(S△APN,S△ABC)＝(eq \f(AP,AB))2＝(eq \f(AE,AD))2.因?yàn)镾△APN∶S四邊形PBCN＝1∶2，所以eq \f(S△APN,S△ABC)＝eq \f(1,3)＝(eq \f(AE,AD))2，所以eq \f(AE,AD)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).


方法總結(jié)：利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．


變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題


【類型五】 利用相似三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題


如圖，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上(與A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．





(1)當(dāng)△PQC的面積是四邊形PABQ面積的eq \f(1,3)時(shí)，求CP的長(zhǎng)；


(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)．


解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當(dāng)△PQC的面積是四邊形PABQ面積的eq \f(1,3)時(shí)，△CPQ與△CAB的面積比為1∶4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長(zhǎng)；(2)由于△PQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可用CP表示出PQ和CQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出AP、BQ的長(zhǎng)．根據(jù)△CPQ和四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等，可將相關(guān)的各邊相加，即可求出CP的長(zhǎng)．


解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝eq \f(1,3)S四邊形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，∵eq \r(\f(1,4))＝eq \f(1,2)，∴CP＝eq \f(1,2)CA＝2；


(2)∵△PQC∽△ABC，∴eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)＝eq \f(PQ,AB)，∴eq \f(CP,4)＝eq \f(CQ,3)，∴CQ＝eq \f(3,4)CP.同理可知PQ＝eq \f(5,4)CP，∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋eq \f(5,4)CP＋eq \f(3,4)CP＝3CP，C四邊形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－eq \f(3,4)CP＋eq \f(5,4)CP＝12－eq \f(1,2)CP，∴12－eq \f(1,2)CP＝3CP，∴eq \f(7,2)CP＝12，∴CP＝eq \f(24,7).


方法總結(jié)：由相似三角形得出線段的比例關(guān)系，再根據(jù)線段的比例關(guān)系解決面積、線段的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．


變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題


三、板書(shū)設(shè)計(jì)


1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；


2．相似三角形(多邊形)的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比；


3．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．





本節(jié)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們都主動(dòng)地參與了課堂活動(dòng)，積極地交流探討，發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題較多：相似三角形的周長(zhǎng)比，面積比，相似比在書(shū)寫時(shí)要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，不對(duì)應(yīng)時(shí)，計(jì)算結(jié)果正好相反；這兩個(gè)性質(zhì)使用的前提條件是相似三角形等等．同學(xué)們討論非常激烈，本節(jié)課堂教學(xué)取得了明顯的效果.

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

版本： 人教版

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