全等三角形的判定2















































概 述











【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入











1．小菁做了一個如圖1所示的風箏，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，將上述條件注在圖中，小明不用測量就能知道EH=FH嗎？





(1) (2)


[答案：能，因為根據(jù)“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，從而EH=FH。]


2．如圖2，AB=AD，AC=AE，能添上一個條件證明出△ABC≌△ADE嗎？


[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．


3．如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形一定會全等嗎？試舉例說明．





二、知識講解








考點1全等三角形的判定ASA








問題探究：先任意畫一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等），把畫出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?br/>

動手操作，感知問題的規(guī)律，畫圖如下：











探究規(guī)律：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）．





考點2全等三角形的判定AAS








在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？





運用三角形內(nèi)角和定理，以及“ASA”很快證出△ABC≌△EFD，并且歸納如下：


歸納規(guī)律：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡與成AAS）．





考點3斜邊，直角邊定理（HL）








斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．


應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的條件對直角三角形同樣適用，但“HL”定理只適用于直角三角形全等的判定，對于一般三角形不適用





考點4判定三角形全等的基本思路：














……























三 、例題精析











例題1





如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：AD=AE．





【答案】證明：在△ACD與△ABE中，





∴△ACD≌△ABE（ASA）


∴AD=AE





例題2


【解析】本題利用全等三角形“角邊角”的判定證明兩個三角形全等，當證明完畢三角形全等之后就可以得到兩個三角形其余的對應(yīng)量相等。





如圖，小華不小心把一塊三角形玻璃打碎為三塊，他能否只帶其中一塊碎片到商店，就能配出一塊和原來一樣的三角形玻璃？如果能，帶哪一塊去？為什么？





【答案】解：a只保留了一個角及部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；


b則只保留了部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；


而c不但保留了一個完整的邊還保留了兩個角，所以應(yīng)該帶“C”去，根據(jù)全等三角形判定“ASA”可以配出一塊和原來一樣的三角形玻璃．


【解析】此題是對全等三角形的判定方法在實際生活中的考查，通過實際情況來考查學(xué)生對常用的判定方法的掌握情況．





例題3








小穎在作業(yè)本上畫的△ABC被墨跡污染（如圖），請你幫助小穎用尺規(guī)作一個與原來完全一樣的△A'B'C'．要求：保留作圖痕跡，不寫作法，說明你的理由．





【答案】解：作圖：理由：





△A′B′C′≌△ABC．


【解析】此題考查全等三角形判定的應(yīng)用及作圖能力，難度不大





例題4








已知：如圖11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分別是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．判斷∠B和∠B′的關(guān)系．





【答案】解：∠B＝∠B′．理由如下：


∵AD，A′D′分別是BC，B′C′邊上的高，


∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．


在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，


∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．


∴∠B＝∠B′（全等三角形的對應(yīng)角相等）


【解析】先證Rt△ADB≌Rt△A′D′B′，根據(jù)條件AB＝A′B′，AD＝A′D′，用HL證明





例題5








如下圖，Rt△ADC與Rt△BCD，AC=BD，求證AD=BC





【答案】證明：在Rt△ADC與Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.


∴Rt△ADC與Rt△BCD.（HL）


∴AD=BC.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）


【解析】HL（斜邊、直角邊）


即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等





四 、課堂運用








基礎(chǔ)











已知如圖：AB//CD,AD//BC 求證：AB=CD


（第1題圖）

















已知如圖：AB//DE,BC//EF,AF=DC, 求證：∠B=∠E


（第2題圖）

















3、已知：點 A、C、B、D在同一條直線，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN．（第3題圖）


求證： AM=CN ，MB=ND。














4、如圖，AB∥DE，BF=EC，A=D。求證：AC=DF。





_











_


B


_


F


_


D


_


E


_


C


_


A


（第4題圖）




















5、如圖已知：ABAC，DC=EB，AD=AE，求證AB=AC





（第5題圖）























答案與解析


略








鞏固











如圖所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．





2、如圖，已知△≌△是對應(yīng)角．


（1）寫出相等的線段與相等的角；


（2）若EF=2.1 cm，F(xiàn)H=1.1 cm，HM=3.3 cm，求MN和HG的長度.








3、 如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△ABC≌△BAD．


求證：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．








答案與解析


1、分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD），根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB=∠FAB+∠B.因為∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度數(shù)；根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DGB=∠DFB -∠D，即可得∠DGB的度數(shù)．


解：∵ △ABC≌△ADE，


∴ ∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=．


∴ ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，


∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．


2、分析：（1）根據(jù)△≌△是對應(yīng)角可得到兩個三角形中對應(yīng)相等的三條邊和三個角；（2）根據(jù)（1）中的相等關(guān)系即可得的長度．


解：（1）因為△≌△是對應(yīng)角，


所以.


因為GH是公共線段，所以.


（2）因為2.1 cm，


所以=2.1 cm.


因為3.3 cm，


所以.


3、分析：（1）要證OA=OB，由等角對等邊知需證∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可證得．（2）要證AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)需證∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可證得∠OCD=∠ODC，又因為∠AOB=∠COD，所以可證得∠CAB=∠ACD，即AB∥CD獲證．


證明：（1）因為 △ABC≌△BAD，所以 ∠CAB=∠DBA，所以 OA=OB．


（2）因為 △ABC≌△BAD，所以 AC=BD.


又因為 OA=OB，所以 AC-OA=BD-OB，


即OC=OD,所以 ∠OCD=∠ODC.


因為 ∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，


所以 ∠CAB=∠ACD，所以 AB∥CD．








拔高








1.如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．








2如圖，A、D、E三點在同一直線上，且△BAD≌△ACE，試說明：


（1）BD=DE+CE；





（2）△ABD滿足什么條件時，BD∥CE？











答案與解析


1【答案】∠DFB=90°，∠DGB=65°.


【解析】解：∵△ABC≌△ADE，


∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）= (120°?10°)＝55°．


∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°


∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．


2【答案】(1)見解析(2)△ABD滿足∠ADB=90°.


【解析】（1）解：∵△BAD≌△ACE，


∴BD=AE，AD=CE，


∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，


即BD=DE+CE．


（2）解：△ABD滿足∠ADB=90°時，BD∥CE，


理由是：∵△BAD≌△ACE，


∴∠E=∠ADB=90°（添加的條件是∠ADB=90°），


∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，


∴BD∥CE．


3、【解析】解：求△DBE的周長，即求DE+EB+BD的值．


∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，


∴DC=DE．


可證△ACD≌△AED．∴AC=AE．


又∵AC=BC，


∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．


又∵AB=10cm，


∴△DBE的周長=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周長是10cm．


五、課堂小結(jié)








本節(jié)課主要講授的是全等三角形的證明，用AAS及ASA的判定方法證明三角形全等。


熟練掌握三角形全等的證明方法，并進行應(yīng)用，從得到其他的條件。


六、課后作業(yè)








基礎(chǔ)








1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．


求證：△BEC≌△CDA．








2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求證：DE=AD+BE．














3.如圖，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D為AC上一點，AD=AB，則（ ）





答案與解析


1【答案】證明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，


在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，


在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA．


【解析】本題根據(jù)AAS證明兩三角形全等，難度適中．


2【答案】證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，


∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，


而∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠CAD．


在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．


∴AD=CE，DC=EB．又∵DE=DC+CE，∴DE=EB+AD．


【解析】先證明∠BCE=∠CAD，再證明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代換，可得出DE=AD+BE．





鞏固





1.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D點，AD=2.5cm，DE=1.7cm，則BE的長為（ ）





2.如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．


求證：∠B+∠ADC=180°．

















3.AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點O，若BO=AC，


BC=7，CD=2，則AO的長為（ ）











答案與解析


1.【答案】A．∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．


∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．


在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），


∴BE=DC．CE=AD=2.5．∵DC=CE﹣DE，DE=1.7cm，∴DC=2.5﹣1.7=0.8．


【解析】先得出∠E=∠ADC=90°，再由△CEB≌△ADC得出BE=DC，就可以求出BE的值．


2略


3.5





提高








1.OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，垂足為點D，PE⊥OB，垂足為點E，點M，N分別在線段OD和射線EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度數(shù)．

















2.如圖，在△ABC中，點Q、P分別是邊AC、BC上的點，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，則下列結(jié)論：①AP平分∠BAC；②QP∥AB；③AS=AR；④△BPR≌△QSP，其中正確的有（ ）





3.已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．


（1）如圖1，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；


（2）如圖2，若點O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；


（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫出圖表示．










































































答案與解析


1【答案】∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOP=∠EOP，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠DOP=∠EOP，在△ODP和△OPE中，，∴△ODP≌△OPE（AAS）


∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=∠PEN=90°．∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE=360°，∠AOB=68°，


∴∠DPE=112°．在Rt△PDM和Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），


∴∠DPM=∠EPN．∴∠DPM+MPE=∠EPN+∠MPE，∴∠DPE=∠EPN=112°．


【解析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得出∠DPE的值，證明△PDM≌△PEN得出∠DPM=∠EPN．





2【答案】A．∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，∴點P在∠BAC的平分線上，


即AP平分∠BAC，①正確；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，∴QP∥AB，②正確；在△APR與△APS中，，∴△APR≌△APS（HL），


∴AR=AS，③正確；△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他不容易得到，所以，不一定全等．④錯誤．綜上所述，①②③正確．


【解析】準確識圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵





3【答案】（1）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由題意知，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），


∴∠ABC=∠ACB，從而AB=AC；


（2）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，


∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，


又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；


（3）解：不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）





【解析】關(guān)鍵是通過輔助線來構(gòu)建全等三角形．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．





七、教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初中二年級
適用區(qū)域
人教版
課時時長（分鐘）
120
知識點
全等三角形的判定
教學(xué)目標
理解“角邊角”、“角角邊”、“斜邊直角邊”判定三角形全等的方法．


經(jīng)歷探索“角邊角”、“角角邊”、“斜邊直角邊”判定三角形全等的過程，能運用已學(xué)三角形判定法解決實際問題．


培養(yǎng)良好的幾何推理意識，發(fā)展思維，感悟全等三角形的應(yīng)用價值．
教學(xué)重點
應(yīng)用“角邊角”、“角角邊”、“斜邊直角邊”判定三角形全等
教學(xué)難點
學(xué)會綜合法解決幾何推理問題．
畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B：


畫A′B′=AB；


在A′B′的同旁畫∠DA′B′=∠A，∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于點C′。

A．
∠1=∠EFD
B．
FD∥BC
C．
BF=DF=CD
D．
BE=EC

A．
0.8
B．
1
C．
1.5
D．
4.2

A．
①②③
B．
②③④
C．
①②④
D．
①③④

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12.2 三角形全等的判定

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