初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)14.2 乘法公式綜合與測(cè)試一等獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)14.2 乘法公式綜合與測(cè)試一等獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)，共20頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第11講


講























乘法公式












































概 述














【教學(xué)建議】


本章內(nèi)容是位于人教版教材八年級(jí)上冊(cè)，第14章《整式的乘法與因式分解》，14.2乘法公式。根據(jù)過往學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程來看，學(xué)生的定向思維就認(rèn)為兩數(shù)的和的平方等于兩數(shù)的平方和，而且還容易根深蒂固，那么如何在教學(xué)中轉(zhuǎn)變或是加深學(xué)生對(duì)此公式的正確認(rèn)識(shí)呢？教材做了合理的安排，較好的方法是“數(shù)形結(jié)合”，借助面積相等幫助代數(shù)恒等式的學(xué)習(xí)。














【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。


提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：


知識(shí)復(fù)習(xí)：


1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。


2.計(jì)算：⑴ （x－3）（x+7） ⑵ （2a+5b）（3a－2b） ⑶ (m－n)(m2+mn+n2)

















二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 平方差公式








【教學(xué)建議】根據(jù)樣題，觀察算式及運(yùn)算結(jié)果，讓學(xué)生歸納驗(yàn)證。


計(jì)算下列各題


（1）（a-3）（a+3）（2）（1+2x）（1－2x）


（3） （a+3b）（a－3b）（4）（2x+y）（2x－y）


觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？并舉例計(jì)算驗(yàn)證自己的猜想.


平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2


兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式叫平方差公式


平方差公式的特點(diǎn)：


（1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；


（2）右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。


歸納：（a+b）(a-b)=a2-b2的8種變化形式








考點(diǎn)2 完全平方公式








1.發(fā)現(xiàn)、總結(jié)


根據(jù)乘方的定義，我們知道：a2=a·a，那么(a+b)2 應(yīng)該寫成什么樣的形式呢？


(a+b)2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律？計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？


（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______；


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______；


通過計(jì)算，可以得到結(jié)果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2 +2p+1


（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1


（m-2）2=（m-2）（m-2)=m2 -4m+4


結(jié)果中有兩個(gè)數(shù)的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是兩個(gè)數(shù)乘積的二倍。


（1）（2）之間只差一個(gè)符號(hào).





2. 結(jié)合以上情形，我們得到完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


(a-b)2=a2-2ab+b2


即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．


完全平方公式的特點(diǎn)：公式的左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，二者僅有一個(gè)“符號(hào)”不同，右邊都是二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅有一個(gè)“符號(hào)”不同。





3. 注意事項(xiàng)：（1）完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式


（2）對(duì)于形如兩數(shù)和（或差）的平方的乘法，都可以應(yīng)用完全平方公式計(jì)算











三 、例題精析








類型一 平方差公式的應(yīng)用





例題1








【總結(jié)與反思】平方差公式特征是：字母同，符號(hào)有同有異，同前異后平方差。





例題2








【教學(xué)建議】本題目在鞏固定義的理解上，對(duì)于公式在數(shù)字類的簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用，需要學(xué)生觀察仔細(xì)，認(rèn)真思考。


計(jì)算:（1）9.8×10.2 （2）59.8×60.2





【答案】（1）9.8×10.2 =（10-0.2）（10+0.2）=100-0.04=99.96


（2）59.8×60.2=（60-0.2）（60+0.2）=3600-0.04=3599.96





【解析】此類題注意向平方差公式形式轉(zhuǎn)化，寫成兩個(gè)數(shù)的和與差的積的形式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。





【總結(jié)與反思】平方差公式在數(shù)字簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用，需要把握平方差的結(jié)構(gòu)特征。














類型二 完全平方公式的應(yīng)用





例題1








【教學(xué)建議】完全平方公式由多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式得到，屬于公式的簡(jiǎn)便記憶，需要學(xué)生掌握基本結(jié)構(gòu)及特征。


計(jì)算(1)（2x+3）2 (2)(a-2b)2


(3)(-x-y)2 (4)(3a+2)(-3a-2)


【答案】(1)（2x+3）2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9


(2)(a-2b)2=a2-2﹒a﹒2b+(2b)2=a2-4ab+4b2


(3)(-x-y)2=[-(x+y)2]=(x+y)2=x2+2xy+y2


(4)(3a+2)(-3a-2)=(3a+2)[-(3a+2)]=-(3a+2)2=-(9a2+12a+4)=-9a2-12a-4


【解析】前兩題直接應(yīng)用完全平方公式計(jì)算即可。后兩題通過轉(zhuǎn)化把各個(gè)式子轉(zhuǎn)化為和完全平方公式然后利用公式進(jìn)行計(jì)算，通過此例我們可以得到(-x-y)2可以直接轉(zhuǎn)化為(x+y)2的形式。





【總結(jié)與反思】完全平方公式基本結(jié)構(gòu)：首平方，尾平方，首尾2倍乘積在中央。注意符號(hào)，及變形，把握結(jié)構(gòu)及特征。








例題2








【教學(xué)建議】本題目在鞏固定義的理解上，對(duì)于公式在數(shù)字類的簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用，需要學(xué)生觀察仔細(xì)，認(rèn)真思考。


計(jì)算(1)1022 (2)982





【答案】(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404


(2)982=(100-2)2=10000-400+4=9604


【解析】根據(jù)數(shù)的特征，將底數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)大數(shù)和一個(gè)小數(shù)和或差的形式，然后利用完全平方公式計(jì)算比較簡(jiǎn)便。





【總結(jié)與反思】完全平方公式在數(shù)字簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用，需要把握平方差的結(jié)構(gòu)特征。











類型三 乘法公式綜合應(yīng)用





例題1








【教學(xué)建議】乘法公式在化簡(jiǎn)及計(jì)算中的應(yīng)用，需要關(guān)注各種變形，注意符號(hào)變化，注意結(jié)構(gòu)特征。


（1）對(duì)于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整數(shù)是（ ）


A．3 B．6 C．10 D．9


【答案】C


【解析】（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）


n是正整數(shù)，10（n2-1）為10的整數(shù)倍，所以能被10整除。





（2）計(jì)算：①（x-y+z）（x+y+z） ； ②（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）


【答案】①（x-y+z）（x+y+z）=[(x+z)-y][(x+z)+y]=(x+z)2-y2


②（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）=16a4-b4


【解析】此題主要是平方差公式的綜合應(yīng)用，主要是找到a、b所代表的具體式子，然后應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。








例題2








【教學(xué)建議】完全平方公式有兩個(gè)，在二倍乘積項(xiàng)，常考分類問題，牢記公式。在兩個(gè)完全平方公式中存在兩數(shù)的和、差、平方和、積，共四個(gè)基本部分，知二推二，掌握結(jié)構(gòu)，牢記公式。


（1）如果x2-2（m+1）x+4是一個(gè)完全平方公式，則m=______．


【答案】-3或1


【解析】∵x2-2（m+1）x+4是一個(gè)完全平方公式，∴-2（m+1）=±4，則m=-3或1．


（2）已知 則（ ）


A. B. C. D. 3


【答案】B


【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的平方和，及和，屬于完全平方公式的一部分，故根據(jù)公式得，從而，得.








四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








利用圖中圖形面積關(guān)系可以解釋的公式是（ ）





A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2


C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3





如圖（一），在邊長(zhǎng)為a的正方形中，挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下


的部分剪成一個(gè)矩形（如圖（二）），通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了


一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（ ）





A．B．


C．D．





計(jì)算（x﹣3y）（x+3y）的結(jié)果是（ ）


A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2





在多項(xiàng)式x2+9中添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)式可以是（ ）


A．xB．3xC．6xD．9x





答案與解析


1.【答案】A．


【解析】邊長(zhǎng)為a與b的正方形與長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形拼接成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，,根據(jù)面積關(guān)系可以表示為.


2. 【答案】A


【解析】陰影部分的面積是圖一邊長(zhǎng)為a與邊長(zhǎng)為b的正方形面積差表示為，圖二是拼成長(zhǎng)為（a+b），寬為（a-b）長(zhǎng)方形，面積為（a+b）（a-b）.


3. 【答案】C.


【解析】（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故選C．


4. 【答案】C


【解析】完全平方公式，首平方，尾平方，首尾2倍乘積在中央，本題缺少2倍乘積項(xiàng)，故符合的只有選項(xiàng)C.








鞏固








下列算式能用平方差公式計(jì)算的是（ ）


A．（2a+b）（2b﹣a）B．


C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）





已知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是（ ）


A．8B．±8C．16D．±16





先化簡(jiǎn)再求值


，其中a＝－1，b＝－2











答案與解析





1.【答案】D


【解析】平方差兩個(gè)因式中的含相同字母的項(xiàng)符號(hào)需有同有異，全同全異是完全平方公式。


2.【答案】D


【解析】完全平方公式，首平方，尾平方，首尾2倍乘積在中央，本題缺少2倍乘積項(xiàng)系數(shù)，有兩種，故符合的只有選項(xiàng)D.


3. 【答案】


【解析】先化簡(jiǎn)；再代入求值，將a＝－1，b＝－2代入上式得值為0

















拔高








用乘法公式計(jì)算：


①20022﹣2001×2003；


②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）





閱讀下列材料：


一個(gè)自然數(shù)a恰好等于另一個(gè)自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)．


已知a=20042+20042×20052+20052，試說明a是一個(gè)完全平方數(shù)．





觀察下列各式：


（x﹣1）（x+1）=x2﹣1


（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1


（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1


（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1


①你能否由此歸納出一般性規(guī)律：


（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= ；


②根據(jù)①求出：1+2+22+…+262+263的結(jié)果．








答案與解析


1.【答案】1


【解析】①20022﹣2001×2003=20022﹣（2002﹣1）（2002+1）=20022﹣20022+1=1；


②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）…（2n+1），


=（22﹣1）（22+1）…（22n+1）…=24n﹣1．


2.【答案】見解析


【解析】設(shè)x=2004，則2005=2004+1=x+1，故有：


a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2=x2﹣2x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2


=[x﹣（x+1）]2+2x（x+1）+x2（x+1）2=1+2x（x+1）+x2（x+1）2=[1+x（x+1）]2


=[1+x+x2]2=（1+2004+20042）2=40180212．


∴a是一個(gè)完全平方數(shù)．


3.【答案】①xn﹣1；②264﹣1


【解析】 ①（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=xn﹣1；


②原式=（2﹣1）（263+262++22+2+1）=264﹣1．








五 、課堂小結(jié)











1、兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式叫平方差公式，即


（a+b）(a-b)=a2-b2


平方差公式的特點(diǎn)：


（1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；


（2）右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。





2、兩數(shù)和的完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


兩數(shù)差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2


即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．


完全平方公式的特點(diǎn)：公式的左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，二者僅有一個(gè)“符號(hào)”不同，右邊都是二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅有一個(gè)“符號(hào)”不同。


3、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式


4、對(duì)于形如兩數(shù)和（或差）的平方的乘法，都可以應(yīng)用完全平方公式計(jì)算


六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








下列多項(xiàng)式相乘，不能用平方差公式計(jì)算的是（ ）


A. B.


C. D.


下列運(yùn)算中，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算正確的是（ ）


A. B.


C. D.





( )－( )





已知是完全平方式， 則 ；是完全平方式， 則 ；





答案與解析


1.【答案】D


【解析】平方差兩個(gè)因式中的含相同字母的項(xiàng)符號(hào)需有同有異，全同全異是完全平方公式。


2.【答案】C


【解析】?jī)蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．


3.【答案】a+b c


【解析】平方差公式，有同有異，同前異后平方差，同一組，


故.


4.【答案】4 ﹢3或 -3


【解析】完全平方公式符合：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍.此題缺少2倍乘積項(xiàng)，有兩種情況，故為﹢3或 -3.





鞏固











正方形的邊長(zhǎng)是厘米， 若將一邊增加3厘米， 另一邊減少3厘米，那么改變后的面積是多少.





一個(gè)正方形，若每邊都增加3厘米, 面積就增加63平方厘米，求原正方形的面積.





計(jì)算:


（1）


（2）








答案與解析


1.【答案】


【解析】改變后的邊長(zhǎng)為a+3,a-3,改變后面積為，


2.【答案】81


【解析】設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為a，面積表示為，變形后邊長(zhǎng)為（a+3），根據(jù)面積增加63列式得，解得a=9.原正方形面積為81.


3.【答案】見解析


【解析】乘法公式變形綜合，注意各自特征。


（1）


（2）





拔高











已知， 求的值.





已知求的值.





已知:求: (1) ；(2)





拓展題：


（1）計(jì)算并填空:


; ; ; ;


; ; ; .


根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)(是正整數(shù))的個(gè)位數(shù)字變化有什么規(guī)律.


根據(jù)上述結(jié)論，請(qǐng)運(yùn)用平方差公式計(jì)算出的個(gè)位數(shù)字是什么.





答案與解析


1.【答案】2


【解析】根據(jù)題意得


，


故=2.


2.【答案】a=-2，b=3


【解析】將原式配方得，根據(jù)平方的非負(fù)性，得a=-2，b=3.


3.【答案】=1，=5.


【解析】完全平方公式的變形，由可得，，得=1，=5.


4. 【答案】2 4 8 16 32 64 128 256 .(是正整數(shù))的個(gè)位數(shù)字變化規(guī)律是：以2,4,8,16呈周期循環(huán). 5


【解析】(是正整數(shù))的個(gè)位數(shù)字變化規(guī)律是：以2,4,8,16呈周期循環(huán)。





根據(jù) 的末位數(shù)字規(guī)律得末位數(shù)6，的末位數(shù)字為6-1=5.





七 、教學(xué)反思




















適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
平方差公式；完全平方公式
教學(xué)目標(biāo)
理解并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用平方差公式，完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算。


通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型，感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與抽象思維能力，感悟換元的思想方法，在運(yùn)用公式解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，逆向思維。


體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)。
教學(xué)重點(diǎn)
掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運(yùn)用公式
教學(xué)難點(diǎn)
公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義
（1）位置變化
（b+a）（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2
（2）符號(hào)變化
（-a-b）（a-b）=-(a+b)(a-b)=-（a2-b2）
（3）系數(shù)變化
（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2
（4）指數(shù)變化
(a2+b2)(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=a4-b4
（5）增因式變化
(a+b)(a-b)（-a-b）（-a+b）=(a2-b2)[(-a)2-b2]
（6）增項(xiàng)變化
(a-b-c)（a-b+c）=（a-b）2-c2
（7）連用公式變化
(a+b)(a-b)(a2+b2)（a4-b4）=a8-b8
（8）逆用公式變化
a2-b2=(a+b)(a-b)
計(jì)算：（1）（a-2b）（2b+a）


（2）（3x-2y）（-3x-2y）


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）


【答案】


（1）（a-2b）（2b+a）=（a-2b）（a+2b）=a2-4b2


（2）（3x-2y）（-3x-2y）=（-2y+3x）（-2y-3x）=4y2-9x2


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）=（-3mn+5mn）（-3mn-5mn）=9m2n2-25m2n2


【解析】直接運(yùn)用平方差公式解答即可。