第13講


講























分式的定義












































概 述














【教學(xué)建議】


本節(jié)課的主要內(nèi)容是分式概念以及掌握分式有意義、分式值為0的條件.它是在學(xué)生掌握了整式的四則運算、多項式的因式分解，并以小學(xué)所學(xué)分數(shù)知識為基礎(chǔ)，對比引出分式的概念，把學(xué)生對“式”的認識由整式擴充到有理式.學(xué)好本節(jié)課的知識,是為進一步學(xué)習(xí)分式打下扎實的基礎(chǔ)，也是以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等問題的關(guān)鍵.


由于學(xué)生可能會用學(xué)習(xí)分數(shù)的思維定式去認知、理解分式．但是在分式中，它的分母不再是具體的數(shù)，而是抽象的含有字母的整式，會隨著字母取值的變化而變化.





【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。





提供一個教學(xué)設(shè)計供講師參考：


復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


被除數(shù)÷除數(shù) = 如： 注意:(0不能作除數(shù))


類比：被除式÷除式 = 如：


情境導(dǎo)入：


面積為2平方米的長方形一邊長3米，則它的另 一邊長為 米；


面積為S平方米的長方形一邊長a米 ，則它的另一邊長為 米；


一箱蘋果售價P元，總重m千克，則每千克蘋果的售價是 元.








二、知識講解








考點1 分式的定義








【教學(xué)建議】在學(xué)生已有的分數(shù)知識基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)情景，產(chǎn)生認知沖突，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察特點、類比歸納、討論交流等探究活動，在活動中向?qū)W生滲透類比思想、特殊與一般的辯證唯物主義觀點.引導(dǎo)學(xué)生建立已有知識與新知識的聯(lián)系，希望學(xué)生能夠經(jīng)歷類比分數(shù)探究分式的情景.其中第一道小題的答案是整式，而第二道小題和第三道小題的答案就已經(jīng)無法用整式來表達了，分母中出現(xiàn)了字母，從而引起了學(xué)生的興趣，激發(fā)了學(xué)生的探索情趣，讓學(xué)生觀察，與整式有啥區(qū)別，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，這些字母中含有字母，從而引出本節(jié)課的課題.


分式的定義：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.


在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義.例如，在分式中，a≠0；








考點2 分式的值








分式的值為0


分式的值若想為零，必須保證分式有意義，所以要求分子為零而分母不為零


若分式的值為正，則分子、分母同號（同為正或同為負），即：


若，則或。


若分式的值為負，則分子、分母異號（一正一負），即：


若，則或。








考點3 分式的基本性質(zhì)








分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。


用式子表示： 其中A、B、C為整式（）





約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，稱為分式的約分。


約分的方法：先把分子與分母因式分解，再約去公因式。


最簡分式：分子與分母沒有 公因式的 分式，叫做最簡分式。


分式運算的最終結(jié)果若是分式，一定要化成最簡分式。





三 、例題精析








類型一 分式定義





例題1








下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？


（1）； （2）； （3）； （4）；(5)0；（6）





【解析】屬于整式的有：（2）、（4）.(5)；屬于分式的有：（1）、（3）（6）


根據(jù)分式的定義，分式的分母必須含有字母。注意：中不要化簡





【總結(jié)與反思】分式的識別需要1.分母中必須含有字母；2.分子分母中有公因式不需化簡的式子。（6）是學(xué)生易忽略的一類。








例題2








【教學(xué)建議】本題主要考察分式有意義的題目，把握好分母不為0是關(guān)鍵。平方等非負數(shù)形式添加常數(shù)時，注意最值的選取。如，x取全體實數(shù)。


當(dāng)取什么值時，下列分式有意義？


（1）； （2）. (3)


【解析】要使分式有意義，必須且只需分母不等于零.


（1）分母≠0，即≠1.所以，當(dāng)≠1時，分式有意義.


分母2≠0，即≠-.所以，當(dāng)≠-時，分式有意義.


分母≠0，即x≠1.所以，當(dāng)x≠1時，分式有意義.


【總結(jié)與反思】分式有意義的條件，把握分母不為零是前提關(guān)鍵。








類型二 分式的值





例題1








要使分式的值為0，你認為x可取得數(shù)是（ ）


【解析】由分式的值為零的條件得x2﹣9=0，3x+9≠0，


由x2﹣9=0，得x=±3，由3x+9≠0，得x≠﹣3，綜上，得x=3．故選D．





【總結(jié)與反思】 分式值為零的條件是：分子為0，且分母不為0，同時滿足才可以。注意兩種語言的表述：分式的值為0，或分式








例題2








分式的值為正數(shù)的條件是（ ）


A．x＜2B．x＜2且x≠-1C．-1＜x＜2 D.x=2


【解析】已知分母為非負數(shù)，要使分式為正數(shù)，則應(yīng)讓分子大于0，分母不為0即可．根據(jù)題意得：2-x＞0，（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，





【總結(jié)與反思】 分式值為正的條件：分子分母同號，分母不為0是前提。此題還有平方為非負數(shù)的參與，綜合一起得出結(jié)論。








例題3








若分式的值為負數(shù)，則x的取值范圍是（ ）


A．x＞3 B．x＜3 C．x＜3且x≠0 D．x＞-3且x≠0


【解析】由于分式的分母不為0，那么此分式的分母恒為正數(shù)，若分式值為負數(shù)，則分子必為負數(shù)，可根據(jù)上述兩點列出不等式組，進而可求出x的取值范圍．根據(jù)題意得x-3＜0且x2≠0，解得x＜3且x≠0．


【總結(jié)與反思】 分式值為負的條件：分子分母異號，分母不為0是前提。此題有平方是非負數(shù)的參與，綜合一起得出結(jié)論。





類型三 分式的基本性質(zhì)





例題1








下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？


（1）=（y≠0）；（2）=.


【解析】在（1）中，題目告訴你y≠0，因此我們可用分式的基本性質(zhì)直接求得.在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即 ==. “x”如果等于“0”，就不行.在中，x不會為“0”，如果是“0”，中分母就為“0”，分式將無意義，所以（2）中雖然沒有直接告訴我們x≠0，但要由得到，必須有意義，即bx≠0由此可得b≠0且x≠0. （1）,因為y≠0，利用分式的基本性質(zhì)，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右邊，即==（2）可以分子、分母同除以x得到，即 ==.





【總結(jié)與反思】 本題是分式性質(zhì)的應(yīng)用，把握成立條件及隱藏條件。








例題2








不改變分式的值，把下列各式的分子、分母中的各項的系數(shù)化為正數(shù)。


（1） （2）


【解析】感受分式的分子、分母的符號和分式本身的符號，有時可根據(jù)需要改變.


（1）；（2）.





【總結(jié)與反思】 分式有三處符號，分子、分母、分式；三處中兩處變化，符號不變，變一或三處，變相反。











例題3








約分（1）； （2）


【解析】分式的約分，即要求把分子與分母的公因式約去.為此，首先要找出分子與分母的公因式.在進行分式約分時，若分子和分母都是多項式，則往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘積的形式），然后才能進行約分。約分后，分子與分母不再有公因式，我們把這樣的分式稱為最簡分式.


約分后，分子與分母不再有公因式. 分子與分母沒有公因式稱為最簡分式.


（1）＝－＝－.


（2）＝＝.





【總結(jié)與反思】 約分的前提是先將分子、分母能因式分解的因式分解，找到分子、分母的公因式，再根據(jù)分式基本性質(zhì)化簡即可。








例題4








通分： （1）； （2）


【解析】 (1)先確定分母與 的最簡公分母是。然后乘以一個適當(dāng)?shù)恼健?br/>

(2)先確定分母的最簡公分母是


（1）


（2）





【總結(jié)與反思】 通分的前提是分子分母，先因式分解，找到分式分母間的最簡公分母，利用分式性質(zhì)解決問題。





四 、課堂運用











基礎(chǔ)








若代數(shù)式在 實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是（ ）


A. B. C. D.


若分式的值為0，則的值是（ ）


A. ﹣3 B. ﹣2 C. 0 D. 2


化簡的結(jié)果是（ ）


A. ﹣1 B. 1 C. D.





計算：= ．





答案與解析





1.【答案】C


【解析】分式有意義的條件是分母不為0.


2. 【答案】D


【解析】分式值為0的條件是分子為0，分母不為0.





3. 【答案】D


【解析】分式化簡，先分子分母因式分解，再約分。





4. 【答案】y


【解析】約分即可.








鞏固








使等式 eq \f(7,x+2) ＝ eq \f(7x,x2+2x) 自左到右變形成立的條件是 （ ）


A．x0 C.x≠0 D.x≠0且x≠7





求分式的值：(1) ；(2).





當(dāng)取什么值時，分式 (1)沒有意義？(2)有意義？





答案與解析





1. 【答案】C


【解析】分式基本性質(zhì)，分子分母同乘以一個不為0的整式，分式值不變。





2.【答案】見解析


【解析】解：（1）當(dāng)a=3時，.


（2）當(dāng)時，.





3.【答案】見解析


【解析】解：由2x-3=0，得x=


當(dāng)x=時，分式無意義；


當(dāng)x≠時，分式有意義.














拔高








將 eq \f(a2+5ab,3a-2b) 中的a、b都擴大4倍，則分式的值（ ）


A.不變 B.擴大4倍 C.擴大8倍D. 擴大16倍


把分式 eq \f(x,y) 中的字母的值變?yōu)樵瓉淼?倍，而縮小到原來的一半，則分式的值（ ）


A. 不變 B. 擴大2倍 C. 擴大4倍 D.是原來的一半


化簡的結(jié)果是（ ）


A. B. C. D.


當(dāng) x 取何值時，下列分式的值為零？


（1） （2）


答案與解析


1.【答案】B


【解析】將 eq \f(a2+5ab,3a-2b) 中的a、b都擴大4倍，其分子擴大16倍，分母擴大4倍,故原分式的值擴大4倍。


2.【答案】C


【解析】分子括大2倍，分母縮小原來的一半，故分式的值擴大4倍。


3.【答案】 D


【解析】 分式化簡屬于約分，先分子分母因式分解，再約分。


4.【答案】 （1） （2）


【解析】 分式值為0，要求：分子為0，且分母不為0.即，得，又需要≠0，故。




















五 、課堂小結(jié)








1、分母中字母的取值不能使分母值為零，否則分式無意義


2、當(dāng)分子為零且分母不為零時，分式值為零。


3、分式的基本性質(zhì)： （ 其中M是不等于零的整式）。


4、應(yīng)特別注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式中的“都”“同一個”“不為零”.


5、 約分的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式.


6、分子與分母沒有公因式稱為最簡分式.





六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








下列各式：、、、、、中，分式有( )


A.1個 B.2個 C.3個 D.4個





如果把分式中的x和y的值都擴大5倍，那么分式的值( )


A.擴大5倍； B.縮小5倍； C.不改變； D.擴大25倍





不改變分式的值，下列各式中成立的是( )


A. B. C. D.


分式的值為零，則x的值為 。


答案與解析


1.【答案】B


【解析】分式定義要保證分子、分母是整式且分母中含有字母，不需化簡。符合的是，，其余不符合。


2.【答案】C


【解析】分式中的x和y的值都擴大5倍，其分子擴大5倍，分母也擴大5倍，故分式的值不變。


3.【答案】D


【解析】分式基本性質(zhì)，注意符號變化規(guī)律，“三”變“二”，值不變；“三”變“一”“三”，值相反。


4.【答案】1


【解析】分式值為0，分子為0，且分母不為0.





鞏固








下列式子中，是分式的是 。


當(dāng)= 時，分式?jīng)]有意義；當(dāng) 時，分式有意義。


如果把分式中的和都擴大2倍，則分式的值（ ）


A、擴大4倍 B、擴大2倍 C、不變 D、縮小2倍


根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）


A、 B、 C、 D、





答案與解析


1.【答案】


【解析】分式分子分母為整式，且分母中含有字母。





2.【答案】 ≠-1


【解析】分式有意義的條件是：分母≠0；無意義的條件：分母為0.





3.【答案】B


【解析】根據(jù)分式中的和都擴大2倍，原分式分子擴大4倍，分母擴大2倍，則原分式的值擴大2倍。





4.【答案】C


【解析】分式基本性質(zhì)，分式符號變形規(guī)律：“三”變“二”，值不變；“三”變“一”“三”，值相反。





拔高








使代數(shù)式÷有意義的x的值是（ ）


A．x≠3且x≠-2 B．x≠3且x≠4 C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2且x≠3且x≠4





為何值時，分式的值為負數(shù)？





當(dāng)取何值時，分式的值為零？





當(dāng)為何整數(shù)時，分式的值是整數(shù)？





答案與解析


1.【答案】D


【解析】本題既考分式有意義的條件，分母不為0，又考查0不能做除數(shù)，故x≠-2且x≠3且x≠4





2.【答案】x＜2且x≠-1.


【解析】先化簡，將分子分母因式分解，，根據(jù)平方非負性得x-2＜0，且≠0，故x＜2且x≠-1.





3.【答案】x=-2


【解析】分式值為0，分子為0且分母不為0.


4.【答案】x=-2


【解析】分式的值是整數(shù)，說明4能被（x-4）整除，即（x-4）是4的因數(shù)。4的因數(shù)有：±1，±2，±4。符合題意的x有：5,3,6,2,8,0。





七 、教學(xué)反思














適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1、分式的概念；分是有意義的條件；分式的基本性質(zhì)；約分；通分


2、分式的值
教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生了解分式概念，明確分式中分母不能為0是分式成立的條件。


2、使學(xué)生理解分式的基本性質(zhì)。


3、使學(xué)生運用分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形。


4、使學(xué)生在理解分式基本性質(zhì)基礎(chǔ)上對分式進行通分和約分。


5、通過對分式化簡的學(xué)習(xí)，滲透類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。


6、讓學(xué)生通過實踐總結(jié)分式的為0的條件，并能較熟練地解決分式為零時參數(shù)取值。


7、使學(xué)生理解分式不為0的條件，通過條件求取分式的值


8、引導(dǎo)學(xué)生通過分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生用類比的方法探索新知識的能力
教學(xué)重點
1、理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；理解分式的基本性質(zhì)；分式的通分和約分。


2、分式為0，為正，為負時參數(shù)的值
教學(xué)難點
1、能熟練地求出分式有意義的條件，分式值為零的條件.


2、靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.


3、靈活運用分式基本性質(zhì)進行分式的通分和約分.

A．
9
B．
±3
C．
﹣3
D．
3

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