第10講


講























整式乘法












































概 述








【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過(guò)程





一、導(dǎo)入








復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


1.求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。例如an這個(gè)表達(dá)式中，a是底數(shù)，n是指數(shù)，an又讀作a的n次冪


2.乘方的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1








同底數(shù)冪的乘法法則：一般地，對(duì)于任何底數(shù)a與任何正整數(shù)m、n，


=因此我們有am﹒an=am+n（m，n都是正整數(shù)）


即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。


注意：（1）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，法則也適用。即am×an×﹒﹒﹒×ap=am+n+﹒﹒﹒+p


(m，n，...,p都是正整數(shù))


（2）不要忽略指數(shù)為1的因數(shù)


（3）底數(shù)不一定只是一個(gè)數(shù)字或一個(gè)字母


注意法則的逆用，即am+n=am﹒an（m，n都是正整數(shù)）


考點(diǎn)2








冪的乘方的的意義：冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。


冪的乘方法則：一般的，對(duì)于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，因此，我們有(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)）


即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。


注意：(1)法則可推廣為[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整數(shù)）


(2)此法則可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整數(shù)）


考點(diǎn)3








積的乘方法則：一般的，對(duì)于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)n，


因此，可得出(ab)n=anbn（n是正整數(shù)）


即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。


注意：(1)三個(gè)或三個(gè)以上因式的積的乘方，也具有這一性質(zhì).例如(abc)n=anbncn


(2)此法則可逆用：anbn=(ab)n


考點(diǎn)4








發(fā)現(xiàn)、總結(jié)


1.問(wèn)題：光的速度約為3×105千米/秒，太陽(yáng)光照射到地球上需要的時(shí)間大約是5×102秒，你知道地球與太陽(yáng)的距離約是多少千米嗎?


解答：(3×105 )×(5×102 )=(3×5)×(105 ×102 )=15×107


如果將上式中的數(shù)字改為字母，即ac5·bc2，我們可以得到


ac5·bc2 =(a·c5)·(b·c2) =(a·b)·(c5·c2) =abc5+2=abc7根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的方法


2.問(wèn)題：三家連鎖店以相同的價(jià)格m(單位：元/瓶)銷售某種商品，它們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，分別是a,b,c。請(qǐng)用不同方法計(jì)算它們?cè)谶@個(gè)月內(nèi)銷售這種商品的總收入


一種方法是先求三家連鎖店的總銷售量，再求總收入，即總收入為m(a+b+c),另一種方法是先分別求三家連鎖店的收入，再求它們的和，即總收入為ma+mb+mc,所以：


m(a+b+c)= ma+mb+mc ,根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法


3.問(wèn)題：為了擴(kuò)大綠地面積，要把街心花園的一塊長(zhǎng)a米，寬m米的長(zhǎng)方形綠地增長(zhǎng)b米，加寬n米，求擴(kuò)地以后的面積是多少？用兩種方法表示擴(kuò)大后綠地的面積。





方法一：這塊花園現(xiàn)在長(zhǎng)(a+b)米，寬(m+n)米，因而面積為(a+b)(m+n)米2．


方法二：這塊花園現(xiàn)在是由四小塊組成，它們的面積分別為：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故這塊綠地的面積為(am+an+bm+bn)米2． (a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一塊綠地的面積，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根據(jù)上式總結(jié)出多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法





考點(diǎn)5








結(jié)合以上情形，我們可以得到單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則，即


1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。


2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是先用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為m(a+b+c)= ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)


3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則: 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn





考點(diǎn)6








同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有am÷an=am-n（a≠0,m，n都是正整數(shù)，并且m>n）


即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。


注意：


（1）底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù)a不能為0，則除數(shù)為零，除法就沒有意義了


（2）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如am÷an÷ap=am-n-p（a≠0,m，n，p是正整數(shù)，并且m>n+p）


（3）應(yīng)用這一法則時(shí)，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按照同底數(shù)冪除法法則進(jìn)行計(jì)算


（4）同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法是互為逆運(yùn)算


考點(diǎn)7








零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1，另一方面，如果按照同底數(shù)冪的除法來(lái)計(jì)算，又有am÷am=am-m


=a0


于是規(guī)定：a0=1（a≠0）


即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1


注意：任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積，因此常數(shù)項(xiàng)可以看作是0次單項(xiàng)式





三 、例題精析








類型一 同底數(shù)冪相乘





例題1








計(jì)算（1）104×102 （2）(-b)3×(-b)2（3）xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x


【答案】（1）104×102=104+2=106


（2）(-b)3×(-b)2=(-b)3+2=(-b)5


（3）xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x=xm+2+m+1+m+1=x3m+4


【解析】三個(gè)題中，每個(gè)題中冪的底數(shù)都相同，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則同底數(shù)冪相乘，底


數(shù)不變，指數(shù)相加計(jì)算即可。





例題2








計(jì)算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4


【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8


(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒（-y3）=y1+2+3=y6


(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7


【解析】題（1）中把a(bǔ)+3看成一個(gè)整體，同樣適用于同底數(shù)冪的乘法法則；題(2)中第二個(gè)


冪的底數(shù)與其它兩個(gè)互為相反數(shù)，通過(guò)冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)后后進(jìn)行計(jì)算；題（3）同題（2）一樣底數(shù)互為相反數(shù)，通過(guò)冪的乘方符號(hào)法則轉(zhuǎn)化運(yùn)算轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪后運(yùn)用同底數(shù)


冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。


注意：（1）同底數(shù)冪相乘時(shí)，底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式


（2）冪的運(yùn)算中經(jīng)常用到的變形


，








例題3





(1)若am=2,an=5,則am+n=________.(2)已知3y=4，則3y+2=_______.


【答案】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10


(2)3y=4，則3y+2=3y﹒32=4×9=36


【解析】此例題運(yùn)用了同底數(shù)冪的乘法法則，將所求轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法然后整體代入求


值，體現(xiàn)了整體思想的應(yīng)用。


類型二 冪的乘方





例題4








計(jì)算(1)(a2)3 (2)(xm-1)3 (3)[(-y)4]5


【答案】(1)(a2)3=a2×3=a6


(2)(xm-1)3 =x3(m-1)=x3m-3


(3)[(-y)4]5 =(-x)4×5=(-x)20=x20


【解析】根據(jù)冪的乘方法則，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘計(jì)算即可





例題5








已知am=2，求a2m-a4m的值。


【答案】a2m-a3m==22-23=4-8=-4


【解析】此題逆用冪的乘方法則，將a2m-a3m轉(zhuǎn)化為(am)2-(am)3后，把a(bǔ)m=2整體代入求值即


可解答。





例題6








計(jì)算(1)(-2a2b)2 (2)-(-3xy2)4 (3)(-a3b2)3


【答案】(1)(-2a2b)2 =(-2)2﹒(a2)2﹒b2=4a4b2


(2)-(-3xy2)4 =-(-3)4﹒x4﹒(y2)4=-81x4y8


(3)(-a3b2)3=(-1)3﹒(a3)3﹒(b2)3=-a9b6


【解析】按照積的乘方的運(yùn)算法則，把積中的每一個(gè)因式分別乘方即可。











類型三 積的乘方





例題7





計(jì)算(1)46×(0.25)6 (2)


【答案】(1)46×(0.5)6 =(4×0.25)6=16=1


(2)==(-1)1013=-1


【解析】此題若先算乘方，運(yùn)算量太大，注意到4×0.25=1，，即


兩底數(shù)的積容易求出.而指數(shù)又是相同的，故可逆用積的乘方的法則簡(jiǎn)便計(jì)算。


類型四 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式





例題8








計(jì)算(1)3x2﹒4x (2)2xy2﹒6x2y


【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3


(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3





例題9


【解析】直接運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則計(jì)算即可。





計(jì)算(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3 (2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3


【答案】(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3 =x2y4z6﹒(-1)x6y3=-x8y7z6


(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3=4x6y2﹒x3y+(-4)﹒x6﹒(-1)﹒x3y3=4x9y3+4x9y3=8x9y3


【解析】先根據(jù)積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，再直接運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則計(jì)算，題(2)最后還要合并同類項(xiàng)


類型五 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式





例題10








計(jì)算(1)3x(x-1) (2)2x(3a+4b) (3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)


【答案】(1)3x(x-1)=3x2-3x


(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb


(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)=4x3y2-8x2y2+4xy3


【解析】直接運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則計(jì)算即可


類型六 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式





例題11





計(jì)算(1)(3a+1)(a-3) (2)(2a+b)(a-2b) (3)(x-y)(x2+xy+y2)


【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a2-9a+a-3= 3a2-8a-3


(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2


(3)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3


【解析】首先運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則計(jì)算，最后一定注意合并同類項(xiàng)





例題12








計(jì)算：


①； ②；





③； ④.


【答案】①；②；③；④.


【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減計(jì)算即可。





例題13








計(jì)算(1)(x-2y)5÷(2y-x)2 (2)(-a)5÷a2 (3)(-ab)4÷(-a2b2)


【答案】(1)(x-2y)5÷(2y-x)2=)(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)5-2=(x-2y)3


(2)(-a)5÷a2=-a5÷a2=-a3


(3)(-ab)4÷(-a2b2)=(ab)4÷[-(ab)2]=-(ab)4-2=-(ab)2=-a2b2





例題14


【解析】底數(shù)不同，通過(guò)冪的乘方符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪,再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算





若式子(x-2)0有意義，求x的取值范圍


【答案】x-2≠0，x≠2


【解析】由零指數(shù)冪的意義可知，只要底數(shù)不等于零即可








例題15








已知ax=6，ay=2，求ax-y，a2x-y.


【答案】ax-y=ax÷ay=6÷2=3 a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18


【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆用及冪的乘方法則即可計(jì)算出結(jié)果





例題16





若，求的值.


【答案】∵32﹒(32)2a+1÷(33)a+1=32﹒34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3a+1=81=34∴a+1=4∴a=3


【解析】等式左邊底數(shù)都不相同，首先轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的形式，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算，等式右邊轉(zhuǎn)化成與左邊同底數(shù)的形式列出等量關(guān)系解答出結(jié)果。





四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1、計(jì)算：（1）；（2）；（3）


2、計(jì)算：（1）；（2）；（3） ；（4）


3、計(jì)算：（1）；（2）；（3）





答案與解析


【答案】1解：（1）


（2）


（3）


2 解：（1）


（2）


（3）


（4）


3解：（1）


（2）


（3）





提升








1、計(jì)算：（1）；（2）


2、計(jì)算（1）；（2）


3、計(jì)算：


答案與解析


【答案】 1解：（1）


2）





（2）





3











拔高








1、計(jì)算：（1）；（2）；


（3）；（4）





2、計(jì)算：（1）；（2）；（3）（用簡(jiǎn)便運(yùn)算）








3、計(jì)算：（1）；（2）


答案與解析


【答案】1、解：（1）


（2）


（3）


（4）


2、解：（1）


（2）


（3）


3、解：（1）





（2）








五、課堂小結(jié)











1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am﹒an=am+n（m，n都是正整數(shù)）


2.冪的乘法法則：即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)），


3.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(ab)n=anbn（n是正整數(shù)）


六、課后作業(yè)











基礎(chǔ)








1．下列計(jì)算正確的是（ ）


A．x+x=2x2B．x3?x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2


2.先化簡(jiǎn)，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．























3.（1）；（2）




















答案與解析


【答案】1、解：A、x+x=2x≠2x2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、x3?x2=x5，故本選項(xiàng)正確；C、（x2）3=x6≠x5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


D、（2x）2=4x2≠2x2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．


2、解：原式=x2-1-x2+3x=3x-1，當(dāng)x=3時(shí)，原式=9-1=8．


3、解





鞏固








已知x-y=2，y-z=2，x+z=14,求x2-z2的值











3.


答案與解析


【答案】


1、解：因?yàn)閤-y=2，y-z=2，將兩式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56.


2、





3、





拔高








1.為了交通方便，在一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形稻田內(nèi)修兩條道路，橫向道路為矩形，縱向道路為平行四邊形，道路的寬均為1m(如圖)，則余下可耕種土地的面積是_______________m2.














2.請(qǐng)看楊輝三角（1），并觀察下列等式（2）：








根據(jù)前面各式的規(guī)律，則（a+b）6=．


答案與解析


【答案】1、解答：.


2、解答：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．





七 、教學(xué)反思


適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中二年級(jí)
適用區(qū)域
人教版
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1、同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方；積的乘方


2、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式


3、同底數(shù)冪的除法；零指數(shù)指數(shù)冪
教學(xué)目標(biāo)
1.熟記同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則，會(huì)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行基本運(yùn)算；發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。理解單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則，并能熟練地運(yùn)用這些法則進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算；了解同底數(shù)冪的除法運(yùn)算性質(zhì)，并解決一些實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)歸納規(guī)律猜想出零指數(shù)冪的意義


2.通過(guò)自己的計(jì)算和歸納概括，得到同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則；發(fā)展學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力，能熟練靈活地運(yùn)用法則進(jìn)行整式的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。通過(guò)同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則的導(dǎo)出及運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)具有普遍聯(lián)系性和相互轉(zhuǎn)化性，通過(guò)同底數(shù)冪除法運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力


3.在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
教學(xué)重點(diǎn)
同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則；單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則的靈活運(yùn)用；同底數(shù)冪除法法則的探索和應(yīng)用，理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義
教學(xué)難點(diǎn)
同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的綜合應(yīng)用；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則的運(yùn)用；理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義

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數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試獲獎(jiǎng)教案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試獲獎(jiǎng)教案，共21頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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本節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教版

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