一、教材分析


本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運用空間向量解決線線、線面、面面的位置關(guān)系，主要是垂直。


在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語言，進而運用向量的坐標(biāo)表示，從而實現(xiàn)運用空間向量解決立體幾何問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。


二、教學(xué)目標(biāo)


三、重難點


1.教學(xué)重點：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系


2.教學(xué)難點：用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系


四、準(zhǔn)備


多媒體


五、教學(xué)設(shè)計





六、教學(xué)反思


教學(xué)中主要突出了幾個方面：一是突出類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生類比向量解決平行問題，進而學(xué)習(xí)運用空間向量解決垂直問題，發(fā)展學(xué)生的類比思想和邏輯推理能力。二是典例解析，通過對典型問題的分析解決，幫助學(xué)生建立運用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學(xué)設(shè)計盡量做到注意學(xué)生的心理特點和認知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時留給學(xué)生充分的時間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A. .能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.


B.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.


C.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.
1.數(shù)學(xué)抽象：向量語言表述垂直關(guān)系


2.邏輯推理：直線、平面垂直關(guān)系的判定；


3.數(shù)學(xué)運算：空間向量的坐標(biāo)運算解決直線、平面的垂直關(guān)系.



教學(xué)過程
教學(xué)設(shè)計意圖


核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、情境導(dǎo)學(xué)


類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？








二、探究新知


空間中直線、平面垂直的向量表示





位置關(guān)系
向量表示

線線垂直
設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為μ1,μ2,則


l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0

線面垂直
設(shè)直線l的方向向量為μ,平面α的法向量為n,則


l⊥α?μ∥n??λ∈R,使得μ=λn

面面垂直
設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則


α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0







1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.


(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.( )


(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.( )


(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.( )


(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.( )


答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√


2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=( )


A.2 B.-5 C.4 D.-2


答案:B


解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.


例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.





思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.


證明:(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,12,12.


∵E在BC上,∴設(shè)E(m,1,0),∴PE=(m,1,-1), AF=0,12,12.


∵PE·AF=0,∴PE⊥AF.


∴無論點E在邊BC上何處,總有PE⊥AF.





(方法2)因為點E在邊BC上,可設(shè)BE=λBC,


于是PE·AF=(PA+AB+BE)·12(AP+AB)=12(PA+AB+λBC)·(AB+AP)


=12(PA·AB+PA·AP+AB·AB+AB·AP+λBC·AB+λBC·AP)=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此PE⊥AF.


故無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.


延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.


證明:同例題建系,易知AF=0,12,12,BC=(a,0,0),因為AF·BC=0,所以AF⊥BC.





利用向量方法證明線線垂直的方法


(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;


(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.


跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.


求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.





(2)∵BD1=(-1,-1,1),EB1=12,12,1,∴BD1·EB1=(-1)×12+(-1)×12+1×1=0,∴BD1⊥EB1,∴BD1⊥EB1.


證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立


如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,0,B1(1,1,1).


(1)∵BD1=(-1,-1,1),


AC=(-1,1,0),


∴BD1·AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0.


∴BD1⊥AC,∴BD1⊥AC.





例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.





思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運算證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后說明D1M與法向量共線,從而證得結(jié)論.


證明:(方法1)因為E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點,


所以D1M=D1B1+B1M=DA+DC+12B1B,


而B1E=B1B+BE=B1B-12DC,


于是D1M·B1E=(DA+DC+12B1B)·(B1B-12DC)


=0-0+0-12+12-14×0=0,因此D1M⊥B1E.同理D1M⊥B1F,


又因為B1E,B1F不共線,因此D1M⊥平面EFB1.





(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D1(0,0,1),M1,1,12,


B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,


B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,


因此D1M·B1E=1×0+1×-12+-12×(-1)=0,故D1M⊥B1E;


又D1M·B1F=1×-12+1×0+-12×(-1)=0,故D1M⊥B1E.


又B1E,B1F不共線,因此D1M⊥平面EFB1.


(方法3)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),


E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,


B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,


設(shè)平面EFB1的法向量為n=(x,y,z),


于是n⊥B1E,n⊥B1F,因此-12y-z=0,-12x-z=0,


取x=2,則y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),


而1,1,-12=12(2,2,-1),即D1M=12n,


所以D1M∥n,故D1M⊥平面EFB1.








利用空間向量證明線面垂直的方法


(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.


(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.


(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.


跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4 ,CD=2, AD=22,PA⊥平面ABCD,PA=4.


求證:BD⊥平面PAC.





證明:因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.


則B(4,0,0),P(0,0,4), D(0,22,0),C(2,22,0),


所以BD=(-4,22,0),


AC=(2,22,0),AP=(0,0,4).


所以BD·AC=(-4)×2+22×22+0×0=0,


BD·AP=(-4)×0+22×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.


因為AP∩AC=A,AC?平面PAC,AP?平面PAC,


所以BD⊥平面PAC.








例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,


證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.





思路分析要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.


解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,


建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),


C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,


則AA1=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1), AE=-2,0,12.


設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x1,y1,z1).


則n1·AA1=0,n1·AC=0?z1=0,-2x1+2y1=0.令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).





設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2).


則n2·AC1=0,n2·AE=0?-2x2+2y2+z2=0,-2x2+12z2=0,


令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).


∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,


∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.


利用空間向量證明面面垂直的方法


1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.


2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.


跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,


AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=12AD


求證:平面AMD⊥平面CDE.


分析:因為FA⊥平面ABCD,所以可以以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.


證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點A為坐標(biāo)原點,設(shè)AB=1,依題意得A(0,0,0),M12,1,12,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),則AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),可得AM·CE=0,CE·AD=0,因此CE⊥AM,CE⊥AD.


又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.


又CE?平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.








金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,E是B1C的中點.


(1)求cs.


(2)在線段AA1上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出|AF|;若不存在,請說明理由.





解:(1)以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.


∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=2a.


∴B(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(0,0,3a),


A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),D22a,22a,3a,E0,22a,32a,


CA1=(2a,-2a,3a),


BE=0,22a,32a.


∴|CA1|=13a,|BE|=112a,CA1·BE=0-a2+92a2=72a2.


∴cs=BE·CA1|BE||CA1|=7143143.





(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF.


不妨設(shè)AF=b,則F(2a,0,b),CF=(2a,-2a,b),B1F=(2a,0,b-3a),B1D=22a,22a,0.


∵CF·B1D=a2-a2+0=0,∴CF⊥B1D恒成立.


由B1F·CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a,


∴當(dāng)|AF|=a或|AF|=2a時,CF⊥平面B1DF.


應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題


立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個:


(1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;


(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點,根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.



類比直線、平面平行的向量表示，提出運用向量解空間中的垂直問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，類比學(xué)習(xí)空間中的垂直問題，進一步體會空間幾何問題代數(shù)化的基本思想
















































































由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運用空間向量解決空間中的垂直問題，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

































































































































































通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。



























































































































































通過典例解析，進一步讓學(xué)生體會空間向量坐標(biāo)運算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。



三、達標(biāo)檢測


1.直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則( )


A.l?α B.l∥α C.l⊥α D.l與α相交


答案:C 解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),∴a=-13n,∴a∥n,∴l(xiāng)⊥α.故選C.


2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則( )


A.平面AED∥平面A1FD1


B.平面AED⊥平面A1FD1


C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直


D.以上都不對


答案:B 解析:以D為原點, DA,DC,DD1分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因為n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.


3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是 .


答案:l⊥β 解析:因為a∥b,所以l⊥β.


4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,


∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,


求證:平面BEF⊥平面ABC.








證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),


C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0,32a,a2.


∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.


又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.


∴CD=-32a,32a,0為平面ABC的一個法向量.


設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·EF=0,


即(x,y,z)·-34a,34a,0=0.∴x=y.


由n·BF=0,即(x,y,z)·0,32a,a2=0,


有32ay+a2z=0,∴z=-3y.


取y=1,得n=(1,1,-3).


∵n·CD=(1,1,-3)·-32a,32a,0=0,


∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.








5．如圖所示，在長方體中，，，、分別是、的中點．


（1）求證：平面；


（2）求證：平面．





證明：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，


在長方體中，，，、分別是、的中點，


，1，，，1，，，0，，


平面的法向量，1，，，


平面，平面．


（2），0，，，2，，，2，，，1，，


，，，，


，平面．






通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。












四、小結(jié)





五、課時練



通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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