第六章  特殊平行四邊形3  正方形的性質(zhì)與判定第2課時  正方形的判定知識梳理1.定理：對角線相等的____________是正方形.2.定理：對角線垂直的____________是正方形.3.定理：有一個角是直角的________是正方形.基礎(chǔ)練習(xí)1.一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a.兩組對邊分別相等；b.一組對邊平行且相等；c.一組鄰邊相等；d.一個角是直角.順次添加的條件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，則正確的是(   )A.僅①      B.僅③      C. ①②      D. ②③2.在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是(   )A.∠D=90°      B.AB=CD      C.AD=BC      D.BC=CD3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，C(0，-2)，D(-2，0)，以這四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是__________形.4.如圖，用一張矩形紙片，要折疊出一個最大的正方形，小明把矩形上的一個角沿折痕AE翻折上去，使AB與邊AD上的AF重合，則四邊形ABEF即為所求作的圖形，他判定的方法是____________.   5.如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是DB延長線上一點(diǎn)，△ACE是等邊三角形.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠AEB=2∠EAB，求證：四邊形ABCD是正方形.       6.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，O分別為BC，AB的中點(diǎn)，連接DO，過點(diǎn)A作AE∥BC，交DO的延長線于點(diǎn)E，連接AD，BE.(1)求證：四邊形AEBD是矩形.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形？請證明你的結(jié)論.       鞏固提高7.如圖，在矩形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)F，BF與CF分別平分∠ABC和∠BCD，E為矩形ABCD外一點(diǎn)，連接BE，CE.現(xiàn)添加下列條件：①EB∥CF，CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF, CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF.其中，能判定四邊形BECF是正方形的共有(   )A.1個        B.2個         C.3個         D.4個    第7題                  第8題8.如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EM，MF，FN，NE，要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是(   )A.AB=CD，AB⊥CD    B.AB=CD,AD=BC    C.AB=CD,AC⊥BD    D.AB=CD,AD∥BC9.如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，E，F分別是BM，CM的中點(diǎn)，當(dāng)AB：AD=__________時，四邊形MENF是正方形.       10.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，AD∥BC，連接CD.(1)求證：AO=EO.(2)連接ED，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ABED是正方形?請說明理由.        11.如圖，四邊形ABCD為正方形，E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB=2，CE= 求CG的長；(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時，直接寫出∠EFC的度數(shù).          參考答案［知識梳理］1.菱形    2.矩形    3.菱形［基礎(chǔ)練習(xí)］1.C    2.D    3.正方    4.有一組鄰邊相等的矩形是正方形5.(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO.∵△ACE是等邊三角形，∴AE=CE.∴OE⊥AC.∴BD⊥AC.∴四邊形ABCD是菱形.(2)∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°.∴∠AEB+∠EAO=90°.∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAO=60°.∴∠AEB=30°.∵∠AEB=2∠EAB,∴∠EAB=15°.∴∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°.又∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠BAO=90°.∴四邊形ABCD是正方形.6.(1)∵AE∥BC,∴∠EAO=∠DBO,∠AEO=∠BDO.∵O是AB的中點(diǎn)，∴AO=BO.在△AOE和△BOD中，∴△AOE≌△BOD.∴AE=BD.∴四邊形AEBD是平行四邊形.∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°.∴四邊形AEBD是矩形.(2)當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，矩形AEBD是正方形.∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD.∵四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形.[鞏固提高]7.D    8.A    9.1：210.(1)∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.又∵AE⊥BD，∴BO=DO.又∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD≌△EOB.∴AO=EO.(2)當(dāng)△ABC滿足∠ABC=90°時，四邊形ABED是正方形理由：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE.又∵AD∥BE，∴四邊形ABED是平行四邊形.∵AE⊥BD，∴四邊形ABED是菱形.∴∠ABC=90°時，四邊形ABED是正方形.11.(1)如圖①，過點(diǎn)E作EP⊥CD于點(diǎn)P，EQ⊥BC于點(diǎn)Q.∴∠EPC=∠EQC=90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°.∴四邊形EQCP是矩形.∴∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，即∠PED+∠FEP=90°.∴∠QEF=∠PED.∵易知EQ=EP,∠EQF=∠EPD=90°,∴△EQF≌△EPD.∴EF=ED.∴矩形DEFG是正方形.(2)如圖②，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠B=90°.∴在Rt△ABC中， AC=2.∵CE=，∴AE=CE，∴點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，此時△DCG是等腰直角三角形.由(1)，得四邊形DEFG是正方形，∴CG=CE=.(3)①當(dāng)DE與AD的夾角為30°時，∠EFC=120°；②當(dāng)DE與DC的夾角為30°時，∠EFC=30°.綜上所述，∠EFC的度數(shù)為120°或30°.     

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初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)八年級下冊電子課本

3 正方形的性質(zhì)與判定

版本： 魯教版 (五四制)

年級： 八年級下冊

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