一．選擇題（共12小題）


1．菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）


A．對(duì)角線互相垂直B．兩組對(duì)角分別相等


C．對(duì)角線互相平分D．兩組對(duì)邊分別平行


2．下列敘述，錯(cuò)誤的是（ ）


A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形


B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形


C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形


D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形


3．如圖，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，則BD等于（ ）cm．





A．1B．2C．3D．4


4．菱形的兩條對(duì)角線的分別為60cm和80cm，那么邊長(zhǎng)是（ ）


A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm


5．四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分，要使它成為矩形，需要添加的條件是（ ）


A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD


6．如圖，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）





A．B．BD＝CDC．D．


7．如圖，在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，若AB＝3，AC＝6，則∠AOD等于（ ）





A．90°B．100°C．110°D．120°


8．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為O，EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（ ）





A．B．C．D．


9．邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD按如圖所示放置在數(shù)軸上，其中A點(diǎn)表示數(shù)﹣2，C點(diǎn)表示數(shù)6，則BD＝（ ）





A．4B．6C．8D．10


10．菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°，邊長(zhǎng)是5cm，則這個(gè)菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)是（ ）


A．B．5cmC．D．


11．如圖，以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）





A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）


12．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝BD，則∠BDE的度數(shù)是（ ）





A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°


二．填空題（共8小題）


13．直角三角形斜邊上的中線為6，則這它的斜邊是 ．


14．平行四邊形ABCD對(duì)角線互相垂直，若添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形為正方形．則添加條件可以是 （只需添加一個(gè)）．


15．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M、N分別為BC、OC的中點(diǎn)．若BD＝8，則MN的長(zhǎng)為 ．





16．如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，則菱形 ABCD的面積是 ．





17．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，DE是AB邊上的高，BE＝2，則AB的長(zhǎng)是 ．





18．如圖，四邊形ABCD是正方形，若對(duì)角線BD＝4，則BC＝ ．





19．在菱形ABCD中，周長(zhǎng)為16，∠ABC＝30°，則其面積為 ．


20．如圖，矩形ABCD中，直線MN垂直平分AC，與CD，AB分別交于點(diǎn)M，N．若DM＝2，CM＝3，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為 ．





三．解答題（共6小題）


21．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，四邊形ACMF、BCNE是兩個(gè)正方形．求證：AN＝BM．





22．如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：BC＝EC．





23．矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，求證：AE∥CF．





24．如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點(diǎn)，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB，求證：四邊形ABCD是正方形．





25．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．


（1）求證：四邊形AODE是矩形；


（2）若△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求四邊形AODE的面積．





26．如圖，在矩形ABCD中，BD的垂直平分線交AD于E，交BC于F，連接BE、DF．


（1）判斷四邊形BEDF的形狀，并說(shuō)明理由；


（2）若AB＝8，AD＝16，求BE的長(zhǎng)．



































參考答案


一．選擇題（共12小題）


1．【解答】解：A、正確．對(duì)角線互相垂直是菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)；


B、錯(cuò)誤．兩組對(duì)角分別相等，是菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)；


C、錯(cuò)誤．對(duì)角線互相平分，是菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)；


D、錯(cuò)誤．兩組對(duì)邊分別平行，是菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)；


故選：A．


2．【解答】解：


A、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形可判定為菱形，再有對(duì)角線且相等可判定為正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；


B、根據(jù)菱形的判定方法可得對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形正確，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；


C、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形是判斷平行四邊形的重要方法之一，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；


D、根據(jù)矩形的判定方法：對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，因此只有對(duì)角線相等的四邊形不能判定是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；


故選：D．


3．【解答】解：如圖，CA⊥l1，BD⊥l2，


∴AC∥BD．


又∵l1∥l2，


∴四邊形ABDC是矩形．


∴BD＝AC．


又∵AC＝3cm，


∴BD＝3cm．


故選：C．





4．【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為60cm和80cm，


∴該菱形的邊長(zhǎng)為，


故選：B．


5．【解答】解：需要添加的條件是AC＝BD；理由如下：


∵四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分，


∴四邊形ABCD是平行四邊形，


∵AC＝BD，


∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）；


故選：B．


6．【解答】解：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則BD＝CD＝BC，故選項(xiàng)A、B、D不符合題意．


若∠BAC＝90°時(shí)，AD＝BC才成立，否則不成立．故選項(xiàng)C符合題意．


故選：C．





7．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC＝6，


∴OA＝OB＝AC＝3，


∵AB＝3，


∴OA＝OB＝AB，


∴△OAB是等邊三角形，


∴∠AOB＝60°，


∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝120°．


故選：D．


8．【解答】解：∵矩形ABCD的邊AB∥CD，


∴∠ABO＝∠CDO，


在矩形ABCD中，OB＝OD，


在△BOE和△DOF中，


，


∴△BOE≌△DOF（ASA），


∴S△BOE＝S△DOF，


∴陰影部分的面積＝S△AOB＝S矩形ABCD．


故選：B．


9．【解答】解：∵A點(diǎn)表示數(shù)﹣2，C點(diǎn)表示數(shù)6，


∴AC＝8，


∵AD＝5，


∴BD＝2＝6，


故選：B．


10．【解答】解：因?yàn)榱庑蔚乃倪呄嗟?，?dāng)一個(gè)內(nèi)角是60°，則較短對(duì)角線與兩邊組成等邊三角形．


所以這個(gè)菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)是5cm．


故選：B．


11．【解答】解：如圖所示：∵以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），


∴點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．


故選：B．


12．【解答】解：∵BE＝DB，


∴∠BDE＝∠E，


∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°


∴∠BDE＝×45°＝22.5°．


故選：A．





二．填空題（共8小題）


13．【解答】解：∵Rt△ABC斜邊上的中線為6，


∴這個(gè)三角形斜邊長(zhǎng)為12．


故答案為：12．


14．【解答】解：∵平行四邊形ABCD對(duì)角線互相垂直，


∴四邊形ABCD是菱形，


當(dāng)對(duì)角線AC＝BD或∠BAD＝90°時(shí)，


平行四邊形ABCD是矩形，


∴四邊形ABCD是正方形；


故答案為：對(duì)角線相等或∠BAD＝90°，


15．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，AC，BD交于點(diǎn)O，BD＝8


∴BD＝2BO，即2BO＝8．


∴BO＝4．


又∵M(jìn)、N分別為BC、OC的中點(diǎn)，


∴MN是△CBO的中位線，


∴MN＝BO＝2．


故答案是：2．





16．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，


∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∠BOC＝90°，


∵OC＝2cm，


∴OB＝2cm，


∴＝cm2．


∴菱形ABCD的面積為2cm2．


故答案為：8cm2．


17．【解答】解，設(shè)AB＝x，


∵四邊形ABCD是菱形，


∴AD＝AB＝x，


∵DE是AB邊上的高，


∴∠AED＝90°，


∵∠BAD＝45°，


∴∠BAD＝∠ADE＝45°，


∴AE＝ED＝x﹣2，


由勾股定理得：AD＝AE2+DE2，


∴x2＝（x﹣2）2+（x﹣2）2，


解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2，


∵BE＝2，


∴AB＞2，


∴AB＝x＝4+2，


故答案為：4+2．


18．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，


∴CD＝BC，∠C＝90°，


∴△BCD是等腰直角三角形，


∴BD＝BC＝4，


∴BC＝2，


故答案為：2．


19．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，





∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，


∴AB＝BC＝4，


∵∠ABC＝30°，AE⊥BC，


∴AE＝AB＝2，


∴菱形ABCD的面積＝BC×AE＝8，


故答案為：8．


20．【解答】解：如圖，連接AM．


∵直線MN垂直平分AC，


∴MA＝MC＝3，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠D＝90°，


∵DM＝2，MA＝3，


∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，


∴AC＝＝＝；


故答案為：．





三．解答題（共6小題）


21．【解答】證明：∵四邊形ACMF和四邊形CBEN都是正方形，


∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACN＝∠BCM＝90°，


∴△ACN≌△MCB（SAS），


∴AN＝BM．


22．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BE，AD＝BC，


∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，


∵F是CD的中點(diǎn)，


∴DF＝CF，


∴在△ADF和△ECF中，





∴△ADF≌△ECF（AAS）．


∴AD＝EC，而AD＝BC


∴BC＝EC．


23．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，


∴∠AEB＝∠DAE，


∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，


∴∠DAE＝∠BAD＝45°，∠BCF＝∠BCD＝45°，


∴∠AEB＝∠DAE＝∠BCF，


∴AE∥CF．


24．【解答】法一：


證明：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，如圖，


在△AEO與△CEO中，


，


∴△AEO≌△CEO（AAS），


∴AE＝CE，


∴△AEC為等腰三角形，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴OA＝OC，


∴OE⊥AC，


即AC⊥BD，


∴AC和BD互相垂直平分，


∴四邊形ABCD為菱形，


而∠ABC＝90°，


∴四邊形ABCD是正方形．


法二：


在△ABE和△CBE中


，


∴△ABE≌△CBE（AAS），


∴BA＝BC，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴四邊形ABCD是正方形．





25．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，


∴四邊形AODE是平行四邊形，


∵四邊形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，


∴∠AOD＝90°，


∴四邊形AODE是矩形；


（2）解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，


∴AB＝AC＝2，


∠ABC＝60°，


∵四邊形ABCD為菱形，


∴AO＝AC＝1，OD＝OB，


∵∠AOB＝90°，


∴OB＝＝＝，


∴OD＝OB＝，


∵四邊形AODE是矩形，


∴四邊形AODE的面積＝×1＝．


26．【解答】解：（1）四邊形BEDF是菱形；理由如下：


∵EF是BD的垂直平分線，


∴BE＝DE，BF＝DF，


∴∠EBD＝∠EDB，


∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，


∴∠DBF＝∠EDB，


∴∠EBD＝∠DBF，


∵BD⊥EF，


∴BE＝BF，


∴BE＝DE＝DF＝BF，


∴四邊形BEDF是菱形；


（2）∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠A＝90°，


由（1）知：BE＝DE


設(shè)BE＝DE＝x，則AE＝AD﹣x＝16﹣x，


在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，


即82+（16﹣x）2＝x2，


解得：x＝10，


∴BE的長(zhǎng)為10．





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