?第06講 兩條直線的平行與垂直
【題型歸納目錄】
題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行
題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定
題型三：兩條直線垂直的判定
題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
題型五：兩直線的夾角
題型六：已知直線平行求參數(shù)
題型七：已知直線垂直求參數(shù)
【知識點梳理】
知識點一：兩條直線相交、平行與重合
1、代數(shù)方法判斷
兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組
的解進行判斷（如下表所示）
方程組的解
位置關(guān)系
交點個數(shù)
代數(shù)條件
無解
平行
無交點
而或
或
有唯一解
相交
有一個交點
或
有無數(shù)個解
重合
無數(shù)個交點

或
2、幾何方法判斷
（1）若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行．
（2）若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：
設(shè)，
（1）與相交；
（2）且；
（3）與重合且．
簡記表：
類型
斜率存在
斜率不存在
條件


對應(yīng)關(guān)系

兩直線斜率都不存在
圖示


知識點二：兩條直線的垂直
1、兩條直線垂直的幾何方法判斷
對應(yīng)關(guān)系
與的斜率都存在，分別為，則
與中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則與的位置關(guān)系是
圖示


2、兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷
已知直線的方程分別是（不同時為0），（不同時為0）
（1）若
（2）若
【典例例題】
題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行
【例1】（2023·高二課時練習(xí)）過點和點的直線與直線的位置關(guān)系是（????）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不對
【答案】B
【解析】過點和點的直線方程為，斜率為0，
又因為直線斜率為0，所以兩直線平行.
故選：B
【對點訓(xùn)練1】（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）下列與直線平行的直線的方程是（????）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直線斜率為，縱截距為，
A選項：直線斜率為，縱截距為，符合；
B選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
C選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
D選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
故選：A.
【對點訓(xùn)練2】（2023·北京·高二人大附中?？计谥校┤襞c為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率；????②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，
其中正確命題的個數(shù)是（????）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由于與為兩條不重合的直線且斜率分別為，，所以，故①②正確；
由于與為兩條不重合的直線且傾斜角分別為，，所以，故③④正確，
所以正確的命題個數(shù)是4．
故選：D．
題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定
【例2】（2023·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線的位置關(guān)系是（????）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
【答案】B
【解析】直線化成斜截式方程為，
直線化成斜截式方程為，
兩直線斜率相等，在y軸上截距不相等，所以兩直線的位置關(guān)系是平行.
故選：B
【對點訓(xùn)練3】（2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）直線和直線的位置關(guān)系是（????）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
【答案】B
【解析】方程可化為，因此該直線的斜率.
方程可化為，因此該直線的斜率，
因為，所以這兩條直線相交但不垂直.
故選：B.
【對點訓(xùn)練4】（2023·高二課時練習(xí)）以為頂點的四邊形是（????）
A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【解析】

??
在坐標(biāo)系中畫出ABCD點，大致如上圖，其中，
，
，
所以四邊形ABCD是直角梯形；
故選：D.
題型三：兩條直線垂直的判定
【例3】（2023·上海楊浦·高二?？计谥校┫铝懈鹘M直線中，互相垂直的一組是（????）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【解析】對于A：直線的斜率為，直線的斜率為，
故兩直線平行，故A錯誤；
對于B：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯誤；
對于C：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯誤；
對于D：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；
故選：D
【對點訓(xùn)練5】（2023·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）與直線的垂直的直線是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得直線的斜率為，
對于A：直線的斜率為，
由于，
所以直線與直線不垂直，故A錯誤；
對于B：直線的斜率為
由于，
所以直線與直線不垂直，故B錯誤；
對于C：的斜率為，
由于，
所以直線與直線垂直，故C正確；
對于D：的斜率為，
由于，
所以直線與直線不垂直，故D錯誤，
故選：C.
【對點訓(xùn)練6】（2023·山東濰坊·高二?？计谥校┲本€，的斜率是方程的兩個根，則（????）
A． B．
C．與相交但不垂直 D．與的位置關(guān)系不確定
【答案】B
【解析】設(shè)直線的斜率分別是，
依題意，所以.
故選：B
題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
【例4】（2023·甘肅蘭州·高二?？奸_學(xué)考試）菱形ABCD的頂點A，C的坐標(biāo)分別為A(－4,7)，C(6,－5)，BC邊所在直線過點P(8,－1)．求：
(1)AD邊所在直線的方程；
(2)對角線BD所在直線的方程．
【解析】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD邊所在直線的方程為，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的對角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中點，也是BD的中點，
∴對角線BD所在直線的方程為，即5x－6y＋1＝0．
【對點訓(xùn)練7】（2023·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）的三個頂點分別是，，.
(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；
(2)求內(nèi)邊上中線方程.
【解析】（1）由，可得線段的中點為，，
因為是邊的垂直平分線，所以，
則所在直線方程：即
（2）由（1）可得線段的中點為，
故邊上中線方程為即，
所以內(nèi)邊上中線方程：
【對點訓(xùn)練8】（2023·江西宜春·高二校考開學(xué)考試）已知兩條直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m為何值時，l1與l2：
(1)相交；
(2)平行；
(3)垂直．
【解析】（1）直線相交，則，即，
所以且.
（2）直線相交，則，即，
所以或.
當(dāng)時，，，符合題設(shè)；
當(dāng)時，，，兩線重合，不合題設(shè)；
綜上，.
（3）直線垂直，則，可得.
【對點訓(xùn)練9】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知頂點坐標(biāo)分別是，，．
（1）求過點C且與直線AB平行的直線方程，
（2）若點，當(dāng)實數(shù)取遍一切實數(shù)時，求直線AD傾斜角的取值范圍．
【解析】（1）由已知可得AB的斜率為，
所以與直線AB平行的直線的斜率也為，
從而所求直線的方程為，即；
（2）可得直線AD的斜率為，
所以直線AD傾斜角的取值范圍為．
題型五：兩直線的夾角
【例5】（2023·上海奉賢·高二?？茧A段練習(xí)）直線與直線所成夾角的余弦值等于__________
【答案】
【解析】直線，即，則其斜率為，傾斜角為；
直線，即，則其斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
又，所以，
所以，，而，
所以兩直線的夾角為，
又因為，
則
所以，
故所求夾角的余弦值為.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練10】（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）直線與的夾角為________．
【答案】/
【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，
直線的斜率，即傾斜角滿足，
所以，
所以，
又兩直線夾角的范圍為，
所以兩直線夾角為，
故答案為：.
【對點訓(xùn)練11】（2023·高二課時練習(xí)）直線與的夾角的大小_________．
【答案】//
【解析】直線與的斜率分別為：
設(shè)直線與的夾角為
則，又，則
故答案為：
題型六：已知直線平行求參數(shù)
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．
【答案】/2或/或2
【解析】由題意知，解得.
故答案為：
【對點訓(xùn)練12】（2023·云南臨滄·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線：，：.當(dāng)時，___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時，則需滿足，解得，
故答案為：
【對點訓(xùn)練13】（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知兩條直線和互相平行，則正數(shù)a的值為____.
【答案】2
【解析】根據(jù)兩條直線的方程可以得出它們的斜率分別是，;
因為兩條直線平行，所以有，解得或.
又因為，所以.經(jīng)檢驗符合題意
故答案為：2.
題型七：已知直線垂直求參數(shù)
【例7】（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值為________．
【答案】或
【解析】因為直線與直線垂直，
則，解得或.
故答案為：或.
【對點訓(xùn)練14】（2023·云南曲靖·高二宣威市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則_________．
【答案】3
【解析】∵直線與直線垂直，
∴
∴.
故答案為：3.
【對點訓(xùn)練15】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，若，則的值為________________.
【答案】0或5
【解析】因為直線經(jīng)過點，且，所以的斜率存在，
而經(jīng)過點，則其斜率可能不存在，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，即，此時的斜率為0，則，滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，，即，此時直線的斜率均存在，
由得，即，解得；
綜上，a的值為0或5.
故答案為：0或5.
【對點訓(xùn)練16】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）若直線與垂直，則______．
【答案】1或/或1
【解析】因為，所以，解得或．
故答案為：1或

【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（????）
A．2或0 B．1 C．0 D．0或
【答案】C
【解析】若直線與直線互相平行，
則，解得或，
當(dāng)時，直線與直線平行，符合題意；
當(dāng)時，直線與直線重合，不符合題意；
綜上所述：.
故選：C.
2．（2023·江蘇南通·高二期末）設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（????）．
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若直線與直線平行，則；
若，則直線與直線平行，
直線與直線平行是的充分必要條件．
故選：B
3．（2023·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線過點且與直線垂直，則的方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直線的斜率為，則直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：C.
4．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線平行，則a的值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為直線與直線平行，顯然，
所以，即，解得，
所以.
故選：D.
5．（2023·高二課時練習(xí)）直線與直線平行，則（????）
A．2 B．2或 C． D．或
【答案】B
【解析】當(dāng)時，
兩直線為，，
兩直線不平行，不符合題意；
當(dāng)時，直線與直線平行，
，解得或.
故選：B．
6．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過與的直線與直線互相垂直，則值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為直線與直線互相垂直，
所以直線的斜率為，
解得：=，
故選：D.
7．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知，“直線與平行”是“”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】直線與平行
則，
所以，
解得，
經(jīng)檢驗，均符合題意，
故選：C.
8．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谥校┮阎本€，動直線，則下列結(jié)論錯誤的是（????）
A．存在，使得的傾斜角為；
B．對任意的，與都有公共點；
C．對任意的，與都不重合；
D．對任意的，與都不垂直；
【答案】C
【解析】當(dāng)時，的傾斜角為，此時的方程為，故A正確；
聯(lián)立方程組，得，此方程恒有解，
故對任意的，與都有公共點，B正確；
當(dāng)時，，此時與重合，故C錯誤；
因為的斜率為1，當(dāng)時，與不垂直；
當(dāng)時，的斜率，所以對任意的，與都不垂直，D正確；
故選：C.
二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】直線，即的斜率為2，在軸的截距為，
對于A，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，A正確；
對于B，直線的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，B正確；
對于C，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，C正確；
對于D，直線的斜率為－2，所以兩直線不平行，D錯誤．
故選：ABC．
10．（2023·山東濟南·高二校考期中）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是（????）
A．若斜率，則 B．若，則
C．若傾斜角，則 D．若，則
【答案】ABC
【解析】對于A, 若兩直線斜率，則它們的傾斜角，則，正確；
對于B，由兩直線垂直的條件可知，若，則，正確；
對于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角，則 ，正確；
對于D, 若，不妨取，
則，不滿足，不垂直，D錯誤，
故選：
11．（2023·浙江臺州·高二期末）已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．在x軸上的截距為 B．能表示過點的任意直線
C．若，則或 D．若，則
【答案】AD
【解析】A項：令，則，故選項A正確；
B項：，令，則，過定點，但無法表示直線，故選項B錯誤；
C項：且，故選項C錯誤；
D項：，故選項D正確．
故選：AD
12．（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知直線，，則（????）
A．恒過點 B．若，則
C．若，則 D．當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限
【答案】BD
【解析】對于選項A：直線的方程可化為：，
令得：，
所以直線恒過點，
故選項A錯誤，
對于選項B：若時，顯然不平行，
若時，顯然不平行，
所以若，則，
且，
解得，
故選項B正確，
對于選項C：若，則，
解得，
故選項C錯誤，
對于選項D：若直線不經(jīng)過第三象限，
當(dāng)時，直線，符合題意，
當(dāng)時，則，解得，
綜上，，故選項D正確，
故選：BD.
三、填空題
13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，，直線過點，交軸于點，是坐標(biāo)原點，且，，，四點共圓，那么的值是________．
【答案】/4.75
【解析】由題易知，即為圓的直徑，即,
∴，
即，解得．
故答案：.
14．（2023·安徽六安·高二校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點且與直線：平行，則直線的一般式方程為_________.
【答案】
【解析】直線：，直線：
，又直線經(jīng)過點且與直線：平行，
直線：，即.
故答案為：.
15．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，則過線段的中點，且與垂直的直線方程為__________.
【答案】
【解析】因為，所以線段的中點，且.
所以與垂直的直線的斜率為，
所以過線段的中點，與垂直的直線方程為，即.
故答案為：
16．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知直線l與直線平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，則直線l的方程是________．
【答案】或
【解析】根據(jù)題意，直線與直線平行，則設(shè)直線的方程為，
對于，令可得，即直線與軸的交點為，
令可得，即直線與軸的交點為，
故直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，解得：，
故直線的方程為或．
故答案為：或．
四、解答題
17．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知直線，.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，求實數(shù)的值.
【解析】（1）直線，．
則，解得或，
當(dāng)時，，，則直線，重合，不符合題意；
當(dāng)時，，，則直線，不重合，符合題意，
故.
（2）當(dāng)，即時，，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為，
滿足直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等；
當(dāng)且時，
則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
由題意可知，，解得，
當(dāng)時直線，顯然不符合題意，
綜上所述，或．
18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．
(1)經(jīng)過點經(jīng)過點；
(2)經(jīng)過點經(jīng)過點．
【解析】（1）由題知直線，的斜率存在，分別設(shè)為，
，
，
，
∴與不垂直．
（2）由題意知的傾斜角為90°，
則軸；
由題知直線的斜率存在，設(shè)為，
，
則軸，
∴．
19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知四邊形的頂點坐標(biāo)為，求證：四邊形為矩形．
【解析】因為，
所以，，
所以，，
所以∥，∥，
所以四邊形為平行四邊形，
因為，
所以，
所以四邊形為矩形.
20．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，．
(1)求點的坐標(biāo)，滿足，；
(2)若點在x軸上，且，求直線的傾斜角．
【解析】（1）設(shè)，
由已知得，
又，可得，
即．?、?br /> 由已知得，
又，可得，
即．?、?br /> 聯(lián)立①②解得，
∴．
（2）設(shè)，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴軸，
故直線MQ的傾斜角為90°．
21．（2023·上海·高二專題練習(xí)）直線l過點P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．

(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；
(2)求△AOB面積的最小值；
(3)如圖，若點P分向量AB所成的比的值為2，過點P作平行于x軸的直線交y軸于點M，動點E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點，并求出該定點坐標(biāo)．
【解析】（1）由題設(shè)直線l：3x﹣2y+C＝0，將點（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直線l的方程為3x﹣2y﹣5＝0.
（2）設(shè)直線l的方程為，
將點（3，2）代入得，則ab≥24，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即a＝6，b＝4時等號成立，
故△AOB的面積最小值為12.
（3）證明：點P分向量所成的比的值為2，即為，
設(shè)A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，
即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），
可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，
梯形AOMP的面積為，由題意可得梯形FOME的面積為6，
設(shè)E（m，2），F(xiàn)（n，0），可得，即m+n＝6，
由直線EF的方程為，
將n＝6﹣m代入上式可得，
由，解得x＝3，y＝1，
則直線EF經(jīng)過定點（3，1）．


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