?第04講 直線的斜率與傾斜角
【題型歸納目錄】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
【知識點梳理】
知識點一：直線的傾斜角
平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．
規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．
知識點詮釋：
1、要清楚定義中含有的三個條件
①直線向上方向；
②軸正向；
③小于的角．
2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．
3、傾斜角的范圍是．當(dāng)時，直線與x軸平行或與x軸重合．
4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng)．
5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．
知識點二：直線的斜率
1、定義：
傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．
知識點詮釋：
（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時，，；
（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．
由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系
由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．
知識點三：斜率公式
已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．
知識點詮釋：
1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：
（1）當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；
（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；
（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；
（4）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；
（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．
2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：
（1）由、點的坐標(biāo)求的值；
（2）已知及中的三個量可求第四個量；
（3）已知及、的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）可求；
（4）證明三點共線．
【典例例題】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線l的傾斜角為（　?。?br /> ??
A．60° B．120°
C．30° D．150°
【對點訓(xùn)練1】（2023·高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【對點訓(xùn)練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
【例2】（2023·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（????）
??
A． B． C． D．
【對點訓(xùn)練3】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線過，兩點，且傾斜角為，則（????）
A． B． C． D．
題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)
【例3】（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點的直線的斜率為（????）
A． B． C． D．2
【對點訓(xùn)練4】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）已知直線斜率等于，則該直線的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
【對點訓(xùn)練5】（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知，，三點共線，則實數(shù)（????）
A．10 B．4 C．－4 D．－10
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
【例4】（2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【對點訓(xùn)練6】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【對點訓(xùn)練7】（2023·廣東肇慶·高二校考期中）已知兩點，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【真題演練】

1．（1995·全國·高考真題）圖中的直線的斜率分別為，則有（????）

A． B．
C． D．
2．（2004·浙江·高考真題）直線與直線的夾角是（????）
A． B． C． D．
3．（2006·北京·高考真題）若三點，，，（）共線，則的值等于___________.

【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習(xí)）直線的傾斜角是（????）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知直線的斜率分別為，則（????）

A． B．
C． D．
3．（2023·吉林白城·高二統(tǒng)考期末）已知直線經(jīng)過，兩點，則的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（????）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
6．（2023·北京·高二北師大實驗中學(xué)?？计谥校┮阎本€的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（????）
A． B． C． D．不存在
7．（2023·安徽黃山·高二屯溪一中統(tǒng)考期末）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
8．（2023·湖南懷化·高二?？茧A段練習(xí)）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2023·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）若直線l經(jīng)過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（????）
A． B． C．1 D．
10．（2023·湖南郴州·高二校考期中）在下列四個命題中，錯誤的有（　?。?br /> A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為
D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為
11．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若直線的斜率為，則角大小為（????）
A． B． C． D．
12．（2023·高二課時練習(xí)）直線l過點且斜率為k，若直線l與線段AB有公共點，，，則k可以?。????）
A．－8 B．－5 C．3 D．4
三、填空題
13．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)?？计谀┮阎本€l經(jīng)過點．直線l的傾斜角是___________．
14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線（為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是______．
15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．
16．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知兩點，過點的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．
??
四、解答題
17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段BC（包括端點）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．




18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍．




19．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；
(2)若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．




20．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）判斷下列三點是否在同一條直線上：
(1)；
(2).




21．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，三點.
(1)若直線的傾斜角為135°，求的值.
(2)是否存在，使得三點共線？若存在，求的值；若不存在，說明理由.




22．（2023·高二單元測試）已知點.
(1)求直線的傾斜角
(2)過點的直線與過兩點的線段有公共點，求直線斜率的取值范圍.






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