本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第九章《統(tǒng)計》的第二節(jié)《用樣本估計總體》。以下是本節(jié)的課時安排：
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等刻畫“中心位置”的量，本節(jié)繼續(xù)探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別以及根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢，教師點撥引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。
1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)),培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)；
2.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。
1.重點：會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
2.難點：會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，用樣本估計總體的思想解決問題
（一）新知導(dǎo)入
現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種耐用家電產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下：(單位：年)
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
【問題】三家廣告中都稱其產(chǎn)品的使用壽命為8年，利用初中所學(xué)的知識，你能說明為什么嗎？
【提示】三個廠家是從不同角度進(jìn)行了說明，以宣傳自己的產(chǎn)品.其中甲：眾數(shù)為8年，乙：平均數(shù)為8年，丙：中位數(shù)為8年.
（二）總體集中趨勢的估計
知識點一 平均數(shù)
(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為.在頻率分布直方圖中，平均數(shù)eq \x\t(x)＝，其中fi為第i個小矩形對應(yīng)的頻率，xi為第i個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)．
(2)特征：樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)不具有的性質(zhì)．所以與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，但平均數(shù)受樣本中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低．
【做一做】已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________.
解析：eq \f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.
答案：6
知識點二 中位數(shù)
(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．
(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變．
【做一做】一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 。
解析：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，則可知其中位數(shù)為14.
答案：14
知識點三 眾數(shù)
(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的底邊的中點．
(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個．眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度．因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感．
【做一做】一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 。
答案 ：14
【探究1】一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？
【提示】一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，中位數(shù)只有唯一一個.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
1.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(√)
2.樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù).(×)
3.若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變.(×)
（三）典型例題
1.平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算
例1. 已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有( )
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：由題意得a＝eq \f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq \f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.
答案：D
【類題通法】計算一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，一般都要先處理數(shù)據(jù)，即按從小到大的順序排列數(shù)據(jù)，然后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念及計算方法求解.
【鞏固練習(xí)1】某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是( )
A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
解析：由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為eq \f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87.
答案：C
2.利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)估計總體
例2.據(jù)了解，某公司的33名職工月工資(單位：元)如下：
(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；
(2)假設(shè)副董事長的工資從10 000元提升到20 000元，董事長的工資從11 000元提升到30 000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)
(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.
解：(1)平均數(shù)是：eq \(x,\s\up6(－))＝4 000＋
eq \f(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20,33)≈4 000＋1 333＝5 333(元).
中位數(shù)是4 000元，眾數(shù)是4 000元.
(2)平均數(shù)是eq \(x,\s\up6(－))′＝4 000＋
eq \f(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20,33)≈4 000＋2 212＝6 212(元)，
中位數(shù)是4 000元，眾數(shù)是4 000元.
(3)在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平.
【類題通法】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義
(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算、不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.
(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.
【鞏固練習(xí)2】某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡(單位：歲)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？
解;(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為
eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，
中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.
(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為
eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，
中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲.
由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差.
3.利用頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)
例3.某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；
(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；
(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．
解：(1)由圖知眾數(shù)為eq \f(70＋80,2)＝75.
(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：
eq \f(40＋50,2)×0.005×10＋eq \f(50＋60,2)×0.015×10＋eq \f(60＋70,2)×0.02×10＋eq \f(70＋80,2)×0.03×10＋eq \f(80＋90,2)×0.025×10＋eq \f(90＋100,2)×0.005×10＝72.
【類題通法】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系
(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．
(2)中位數(shù)：在頻率分布表中，中位數(shù)是累計頻率(樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫做該數(shù)值點的累計頻率)為0.5時所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的值，而在樣本中有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)．因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和．平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”．
2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．
【鞏固練習(xí)3】從高三年級抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.
由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖估計：
(1)這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；
(2)這50名學(xué)生的平均成績.
解:(1)最高矩形的高是0.03，其底邊中點是eq \f(70＋80,2)＝75，則這50名學(xué)生成績的眾數(shù)估計是75分.
頻率分布直方圖中，從左到右前3個和前4個矩形的面積和分別是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，設(shè)中位數(shù)是m，則70＜m＜80，則0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即這50名學(xué)生成績的中位數(shù)約是76.7分.
(2)每個小矩形的面積乘以其底邊中點的橫坐標(biāo)的和為0.004×10×eq \f(40＋50,2)＋0.006×10×eq \f(50＋60,2)＋0.02×10×eq \f(60＋70,2)＋0.03×10×eq \f(70＋80,2)＋0.024×10×eq \f(80＋90,2)＋0.016×10×eq \f(90＋100,2)＝76.2.
即這50名學(xué)生的平均成績約是76.2分.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
79，84，84，86，84，87，93
A.84，84 B.84，86
C.85，84 D.86，84
2.一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值為( )
A．4.55 B．4.5 C．12.5 D．1.64
3.某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)為( )
A.20 B. 25
C.22.5
4.一組數(shù)據(jù)1，10，5，2，x，2，且2

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