本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第二冊》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的課時安排
本節(jié)課是研究事件的相互獨立性，是在上一節(jié)課學習概率的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行學習的，通過復習相關(guān)知識與方法，鞏固已學內(nèi)容，為本節(jié)課的學習奠定基礎(chǔ)。
1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
2、能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題，培養(yǎng)學生數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。
1.重點：相互獨立事件的判斷、同時發(fā)生的概率。
2.難點：有關(guān)獨立事件發(fā)生的概率計算。
（一）新知導入
3張獎券只有1張能中獎，3名同學有放回地抽取.事件A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”，事件B為“第三名同學抽到中獎獎券”.
【問題】 上述問題中事件A的發(fā)生是否會影響B(tài)發(fā)生的概率？事件A和事件B相互獨立嗎？
【提示】 因為抽取是有放回的，所以A的發(fā)生不會影響B(tài)發(fā)生的概率，事件A和事件B相互獨立.
（二）相互獨立事件
知識點一 相互獨立的概念
設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
知識點二 相互獨立的性質(zhì)
若事件A與B相互獨立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨立．
【思考1】不可能事件與任何一個事件相互獨立嗎？
【提示】 事件的分類是相對于條件來講的，在條件變化時，必然事件、隨機事件、不可能事件可以相互轉(zhuǎn)化.
【思考2】必然事件與任何一個事件相互獨立嗎？
【提示】相互獨立.必然事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生沒有影響.
【拓展】互斥事件與相互獨立事件是不同的概念：
兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩個事件獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生沒有影響.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立．( )
(2)必然事件與任何一個事件相互獨立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
【做一做】甲、乙兩水文站同時作水文預報，如果甲站、乙站各自預報的準確率為0.8和0.7.那么，在一次預報中，甲、乙兩站預報都準確的概率為________．
【答案】0.56
（三）典型例題
1.相互獨立事件的判斷
例1. 假定一個家庭中有兩個或三個小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一個家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一個家庭中最多有一個女孩”．對下述兩種情形，判斷A與B的獨立性：
(1)家庭中有兩個小孩．
(2)家庭中有三個小孩．
【解】(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個樣本點，由等可能性知概率都為eq \f(1,4).
這時A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).此時P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A與事件B不獨立．
(2)有三個小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知這8個樣本點的概率均為eq \f(1,8)，這時A中含有6個樣本點，B中含有4個樣本點，AB中含有3個樣本點．
于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，顯然有P(AB)＝eq \f(3,8)＝P(A)P(B)成立．
從而事件A與事件B相互獨立．
【類題通法】兩種方法判斷兩事件是否具有獨立性
(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.
(2)公式法：檢驗P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【鞏固練習1】擲一枚正方體骰子一次，設(shè)事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A，B的關(guān)系是( )
A.互斥但不相互獨立 B.相互獨立但不互斥
C.互斥且相互獨立 D.既不相互獨立也不互斥
【解析】事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，樣本點空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A與B相互獨立.當“出現(xiàn)6點”時，事件A，B同時發(fā)生，所以A，B不是互斥事件.
【答案】B
2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率
例2.王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率．
【解】用A，B，C分別表示這三列火車正點到達的事件．
則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up10(－)))＝0.1.
(1)由題意得A，B，C之間互相獨立，所以恰好有兩列正點到達的概率為
P1＝P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＝
P(eq \(A,\s\up10(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up10(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為
P2＝1－P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
【類題通法】1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟
(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；
(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；
(3)求出每個事件的概率，再求積．
2．概率問題中的數(shù)學思想：
(1)正難則反．靈活應用對立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．
(2)化繁為簡．將復雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨立事件)．
(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．
【鞏固練習2】甲、乙兩射擊運動員分別對一目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：
(1)2人都射中目標的概率；
(2)2人中恰有1人射中目標的概率；
(3)2人至少有1人射中目標的概率；
(4)2人至多有1人射中目標的概率.
【解】設(shè)“甲射擊1次，擊中目標”為事件A，“乙射擊1次，擊中目標”為事件B，則A與B，eq \(A,\s\up6(－))與B，A與eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))為相互獨立事件.
(1)2人都射中目標的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標”包括兩種情況：一種是甲射中、乙未射中(事件Aeq \(B,\s\up6(－))發(fā)生)，另一種是甲未射中、乙射中(事件eq \(A,\s\up6(－))B發(fā)生).根據(jù)題意，事件Aeq \(B,\s\up6(－))與eq \(A,\s\up6(－))B互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為
P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”兩種情況，其概率為p＝P(AB)＋[P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目標”包括“有1人射中”和“2人都未射中”兩種情況，
故所求概率為p＝P(eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列事件A,B是相互獨立事件的是 ( )
A.一枚硬幣擲兩次,A表示“第一次為正面”,B表示“第二次為反面”
B.袋中有2個白球,2個黑球,不放回地摸球兩次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”
D.A表示“一個燈泡能用1 000小時”,B表示“一個燈泡能用2 000小時”
2.甲、乙同時參加某次法語考試，甲、乙考試達到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.7，兩人考試相互獨立，則甲、乙兩人都未達到優(yōu)秀的概率為（ ）
A．0.42B．0.28C．0.18D．0.12
3.某人提出一個問題，甲先答，答對的概率為0.4，如果甲答錯，由乙答，答對的概率為0.5，則問題由乙答對的概率為( )
A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3
4.甲，乙，丙三人獨立破譯同一份密碼．已知甲乙丙各自獨立破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響，則至少有1人破譯出密碼的概率是 ．
【答案】1.A 2.D 3.D 4.

【設(shè)計意圖】通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第249頁 練習 第1，2,3題
第250頁 習題10.2 第12,3,4,5,6題










第十章 概率
課時內(nèi)容
10.1 隨機事件與概率
10.2 事件的相互獨立性
10.3 頻率與概率
所在位置
教材第226頁
教材第246頁
教材第251頁
新教材內(nèi)容分析
教材首先在認識隨機現(xiàn)象和隨機試驗的特點的基礎(chǔ)上，利用集合論的知識，抽象出樣本點、樣本空間；類比集合的關(guān)系與運算，理解事件的關(guān)系與運算；通過古典概型的學習，進一步理解規(guī)律的意義，掌握建立規(guī)律模型的一般方法。
事件的獨立性是事件之間的一種重要的關(guān)系，它不同于事件的包含、相等、互斥和對立關(guān)系，需要用概率來定義，在實際問題中，可以利用乘法公式，求積事件AB的概率。
頻率的穩(wěn)定性是概率論的基礎(chǔ)，說明隨機現(xiàn)象的規(guī)律性是客觀存在的，事件發(fā)生的可能性的大小是可以度量的。我們結(jié)合具體的隨機試驗，通過具體的試驗或借助計算機模擬試驗來認識頻率與概率的關(guān)系。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過樣本點、樣本空間的學習，體會數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；通過事件的關(guān)系與運算，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過古典概型的計算，提升數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。
通過相互獨立事件的判斷，體會數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；通過相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算，提升數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。
通過理解頻率與概率的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。
教學主線
隨機事件的概率

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10.2 事件的相互獨立性

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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