第二章相交線與平行線 自我測評卷 一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求） 1.如圖所示，點(diǎn)E在AD延長線上，下列條件能判斷AB∥CD的是（　D?。? 第1題圖 DA.∠3＝∠4 B.∠C＋∠ADC＝180° C.∠C＝∠CDE D.∠1＝∠2 2.運(yùn)動(dòng)會(huì)上，跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員跳落到沙坑時(shí)的痕跡和測量跳遠(yuǎn)成績的方法如圖所示，選擇其中的③號(hào)線的長度作為跳遠(yuǎn)成績，這樣測量的依據(jù)是（　B?。? 第2題圖 A.兩點(diǎn)之間，線段最短 B.垂線段最短 C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.平行線之間的距離處處相等 3.如圖所示，AB∥CD，若∠1＝140°，則∠C的度數(shù)是（　C?。? 第3題圖 A.20° B.30° C.40° D.50° 4.一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數(shù)為（　D?。? 第4題圖 A.45° B.55° C.65° D.75° 5.如果∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠3與∠1的關(guān)系是（　B?。?A.∠3＝∠1 B.∠3＝90°＋∠1 C.∠3＝90°－∠1 D.∠3＝180°－∠1 6.跨學(xué)科·物理如圖所示，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn).若∠1＝155°，∠3＝55°，則∠2的度數(shù)為（　B?。? 第6題圖 A.25° B.30° C.35° D.40° 7.如圖所示，下面哪個(gè)條件不能判斷EF∥DC的是（　C?。? 第7題圖 A.∠1＝∠2 B.∠4＝∠C C.∠1＋∠3＝180° D.∠3＋∠C＝180° 8.在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷，這個(gè)推理過程叫作證明.嘉嘉在證明“平行于同一條直線的兩條直線平行”時(shí)，在黑板上給出了如下推理過程： 已知：如圖所示，b∥a，c∥a，求證：b∥c. 證明：作直線DF分別交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，因?yàn)閍∥b，所以∠1＝∠4.因?yàn)閍∥c，所以∠1＝∠5.所以b∥c. 琪琪認(rèn)為嘉嘉的推理不嚴(yán)謹(jǐn)，需要在“所以∠1＝∠5”和“所以b∥c”之間作補(bǔ)充，你認(rèn)為下列說法正確的是（　D?。? A.嘉嘉的推理嚴(yán)謹(jǐn)，不需要補(bǔ)充 B.應(yīng)補(bǔ)充“所以∠2＝∠5” C.應(yīng)補(bǔ)充“所以∠3＋∠5＝180°” D.應(yīng)補(bǔ)充“所以∠4＝∠5” 9.如圖所示，AB∥CD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，點(diǎn)E在AD的延長線上，連接EC，∠ECD＝∠CED，下列結(jié)論：①BC∥AD；②∠B＝∠CDA；③AC⊥EC；④∠B＝3∠CED.其中正確的個(gè)數(shù)為（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 10.新情境生活中常見一種折疊攔道閘，若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需抽象為幾何圖形，如圖所示，AB垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠B＝165°，則∠C的大小為（　B?。? A.95° B.105° C.115° D.125° 二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分） 11.如圖所示，在測量跳遠(yuǎn)成績的示意圖中，直線l是起跳線，則需要測量的線段是　DC　. 第11題圖 12.如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝29°，則∠CON的度數(shù)為　61　度. 第12題圖 13.若一個(gè)角的余角的5倍等于它的補(bǔ)角，則這個(gè)角的度數(shù)為　67.5°　. 14.（2023·丹東東港期中）如圖所示，∠ABD＝∠EFD，∠FEC與∠ECD互補(bǔ)，當(dāng)∠FEC＝150°，∠ABC＝43°時(shí)，∠BCE的度數(shù)為　13°　. 第14題圖 15.如圖所示，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D，C分別落在M，N的位置上，若∠EFG＝56°，則∠2＝　112°　. 第15題圖 16.某些燈具的設(shè)計(jì)原理與拋物線有關(guān).如圖所示，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OA，OB等反射后都沿著與PO平行的方向射出.若∠AOB＝145°，∠OBD＝90°，則∠OAC＝　55　°. 三、解答題（本題共7小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17.（本小題滿分9分）如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF平分∠AOD. （1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度數(shù). 解：（1）∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°. ∵∠COE＝50°， ∴∠AOC＝40°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝140°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝12∠AOD＝12×140°＝70°. （2）若∠COE∶∠AOF＝2∶3，求∠BOD的度數(shù). 解：（2）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°. ∵∠COE∶∠AOF＝2∶3， 設(shè)∠COE＝2x°，則∠AOF＝3x°， ∴∠AOC＝（90－2x）°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°， ∵∠AOC＋∠AOD＝180°， ∴90－2x＋6x＝180， 解得x＝452，∴∠BOD＝∠AOC＝ （90－2x）°＝90－2×452°＝45°. 18.（本小題滿分9分）如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AF⊥CE，垂足為點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求證：AB∥CD. 證明：∵∠1＝∠B， ∴CE∥BF， ∴∠AOE＝∠AFB. ∵AF⊥CE， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AFB＝90°. ∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝180°， ∴∠AFC＋∠2＝90°. ∵∠A＋∠2＝90°，∴∠AFC＝∠A， ∴AB∥CD. 19.（本小題滿分10分）如圖所示，∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°. （1）若∠2＝125°，求∠C的度數(shù). 解：（1）∵∠1＝∠B，∴CF∥EB， ∴∠C＋∠2＝180°， 又∵∠2＝125°，∴∠C＝55°. （2）若∠1和∠D互余，你能試著判斷AB∥CD嗎？ 解：（2）∵∠1＝∠B，∠B＋∠BFD＝90°， ∴∠1＋∠BFD＝90°， 又∵∠1和∠D互余， 即∠1＋∠D＝90°，∴∠BFD＝∠D，∴AB∥CD. 20.（本小題滿分10分）跨學(xué)科·地理如圖①所示是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個(gè)主要星系分別用字母A～H表示，得到如圖②所示的幾何示意圖.已知AB∥GF，試說明∠ABC＝∠BCF＋∠CFG.　 解：方法一：如圖①所示，延長AB交CF于點(diǎn)P， 所以∠CBP＝180°－∠ABC.因?yàn)锳B∥GF，所以∠CPB＝∠CFG，所以∠BCF＝180°－∠CBP－∠CPB＝180°－（180°－∠ABC）－∠CFG，所以∠ABC＝∠BCF＋∠CFG. 方法二：如圖②所示，過點(diǎn)C作CQ∥AB， 因?yàn)锳B∥GF，所以CQ∥AB∥GF，所以∠BCQ＋∠ABC＝180°，∠FCQ＋∠CFG＝180°， 所以∠BCQ＝180°－∠ABC，∠BCQ＋∠BCF＋∠CFG＝180°，所以180°－∠ABC＋∠BCF＋∠CFG＝180°，即∠ABC＝∠BCF＋∠CFG. 21.（本小題滿分10分）已知：如圖所示，點(diǎn)D、E分別在線段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于點(diǎn)F，AE平分∠BAC. 求證：DF平分∠BDE. 證明：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵AC∥DE，∴∠1＝∠3， 故∠2＝∠3. ∵DF∥AE， ∴∠2＝∠5，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠5， ∴DF平分∠BDE. 22.（本小題滿分12分）將一副三角板中的兩塊直角三角尺按如圖所示方式疊放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）. （1）若∠ACE＝125°，則∠BCD的度數(shù)為　10°　. （2）如圖所示，在此位置將三角形ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)∠BCD＝α. ①若AB∥CE，求α的度數(shù)（請說明理由）. 解：①當(dāng)AB在CE的上方時(shí)，因?yàn)锳B∥CE， 所以∠BCE＝∠B＝30°.因?yàn)椤螪CE＝45°， 所以∠BCD＝45°－30°＝15°，即α＝15°； 當(dāng)AB在CE的下方時(shí)，因?yàn)锳B∥CE， 所以∠ACE＝∠A＝60°.因?yàn)椤螪CE＝45°， 所以∠BCD＝360°－90°－45°－60°＝165°， 即α＝165°. 綜上所述，若AB∥CE，α的度數(shù)為15°或165°. ②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度不超過180°時(shí)，這兩塊三角尺除了AB∥CE外，是否還存在互相平行的邊？若存在，請直接寫出α的所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由. ②除了AB∥CE外，還存在互相平行的邊， 當(dāng)AC∥DE時(shí)，α＝45°， 當(dāng)AB∥DE時(shí)，α＝105°， 當(dāng)BC∥DE時(shí)，α＝135°， 當(dāng)AB∥CD時(shí)，α＝150°. 綜上所述，還存在互相平行的邊，α為45°或105°或135°或150°. 23.（本小題滿分12分）探究拓展如圖①所示，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC的度數(shù). 小明的思路是：過P作PE∥AB，如圖②所示，通過平行線的性質(zhì)來求∠APC. （1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為　100°　. （2）如圖③所示，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由. 解：（2）∠DPC＝∠α＋∠β，理由：如圖①所示，過點(diǎn)P作PF∥AD，所以∠DPF＝∠ADP＝∠α.因?yàn)锳D∥BC，所以PF∥BC，所以∠CPF＝∠PCB＝∠β.因?yàn)椤螪PC＝∠DPF＋∠CPF，所以∠DPC＝∠α＋∠β. ① （3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，B，O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD，∠α，∠β間的數(shù)量關(guān)系. 解：（3）分兩種情況： 當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC＝∠β－∠α.理由： 如圖②所示，過點(diǎn)P作PG∥AD，所以∠GPD＝∠ADP＝∠α. 因?yàn)锳D∥BC，所以PG∥BC，所＋以∠GPC＝∠BCP＝∠β. 因?yàn)椤螪PC＝∠GPC－∠GPD，所以∠DPC＝∠β－∠α. 當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC＝∠α－∠β，理由： 如圖③所示，過點(diǎn)P作PH∥AD，所以∠HPD＝∠ADP＝∠α. 因?yàn)锳D∥BC，所以PH∥BC，所以∠HPC＝∠BCP＝∠β. 因?yàn)椤螪PC＝∠HPD－∠HPC，所以∠DPC＝∠α－∠β. 綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC＝∠β－∠α；當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC＝∠α－∠β.

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