第六章 變量之間的關(guān)系章末小結(jié)豐富的現(xiàn)實(shí)情境變量及其關(guān)系利用變量之間的關(guān)系解決問題、進(jìn)行預(yù)測(cè)自變量和因變量變量之間關(guān)系的探索和表示(表格、關(guān)系式、圖象)分析用表格、關(guān)系式、圖象所表示的變量之間的關(guān)系一、變量與常量1.常量：在某個(gè)變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫作常量.變量：在某個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫作變量.2.自變量和因變量在某個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x，y，并且變量y隨著變量x的變化而變化，那么我們就說x是自變量，y是因變量.在變化過程中起主導(dǎo)作用的那個(gè)變量是自變量.1.你知道為什么冬天電瓶車的電池不耐用?因?yàn)殡娖寇囃ǔＪ褂勉U酸電池或鋰電池，這兩種電池的最佳使用溫度都是25攝氏度左右.隨著溫度的降低，電池中的化學(xué)物質(zhì)活性降低，從而導(dǎo)致電池不耐用.在這個(gè)變化過程中，自變量是( )A.溫度 B.化學(xué)物質(zhì) C.電池 D.電瓶車解析:因?yàn)殡姵刂械幕瘜W(xué)物質(zhì)的活性隨溫度的變化而變化，所以在這個(gè)變化過程中，自變量是溫度.A2.水中漣漪(圓形水波)不斷擴(kuò)大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關(guān)系可表示為C=2πr.下列判斷正確的是( )A.2是變量 B.π是變量 C.r是變量 D. C是常量解析:在C=2πr中，2，π是固定的值，不發(fā)生變化，故為常量；r和C是變化的量，故r，C是變量.C二、用表格表示變量之間的關(guān)系1.觀察表格三步驟(1)通過表格確定自變量與因變量(一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量)；(2)縱向觀察每一列，發(fā)現(xiàn)因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)分別觀察橫向兩欄，從中發(fā)現(xiàn)因變量隨自變量的變化而呈現(xiàn)的變化趨勢(shì).2.用表格表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的優(yōu)缺點(diǎn)(1)優(yōu)點(diǎn):直接，可以直接從表格中找出自變量和因變量的對(duì)應(yīng)值；(2)缺點(diǎn):具有局限性，不能全面準(zhǔn)確地反映兩個(gè)變量之間的關(guān)系，只能反映其中的一部分，因此從這部分?jǐn)?shù)據(jù)中觀察因變量隨自變量的變化而變化的趨勢(shì)時(shí)，需要對(duì)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.(1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系?哪個(gè)是自變量?哪個(gè)是因變量?解:(1)表格反映了易拉罐的用鋁量和底面半徑的關(guān)系，其中易拉罐的底面半徑為自變量，用鋁量為因變量.3.某易拉罐廠設(shè)計(jì)了一種易拉罐，在設(shè)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)符合要求的易拉罐的用鋁量與底面半徑的關(guān)系如下表:(2)當(dāng)易拉罐的底面半徑為2.4 cm時(shí)，用鋁量是多少?(2)當(dāng)易拉罐的底面半徑為2.4 cm時(shí)，用鋁量為5.6 cm3.3.某易拉罐廠設(shè)計(jì)了一種易拉罐，在設(shè)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)符合要求的易拉罐的用鋁量與底面半徑的關(guān)系如下表:(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為易拉罐的底面半徑為多少比較適宜?說說你的理由.(3)易拉罐的底面半徑為2.8 cm比較適宜，因?yàn)榇藭r(shí)用鋁量最小，節(jié)約成本.3.某易拉罐廠設(shè)計(jì)了一種易拉罐，在設(shè)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)符合要求的易拉罐的用鋁量與底面半徑的關(guān)系如下表:(4)粗略說一說易拉罐的底面半徑對(duì)用鋁量的影響.(4)當(dāng)易拉罐的底面半徑在1.6 cm~2.8 cm之間變化時(shí)，用鋁量隨底面半徑的增大而減??；當(dāng)易拉罐的底面半徑在2.8 cm~4.0 cm之間變化時(shí)，用鋁量隨底面半徑的增大而增大.3.某易拉罐廠設(shè)計(jì)了一種易拉罐，在設(shè)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)符合要求的易拉罐的用鋁量與底面半徑的關(guān)系如下表:三、用關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系1.關(guān)系式法:兩個(gè)變量之間的關(guān)系有時(shí)可以用一個(gè)含有兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式來表示，這種表示變量之間關(guān)系的方法叫作關(guān)系式法.2.求兩個(gè)變量之間關(guān)系式的常用方法：(1)利用公式：如圖形的周長公式、面積公式、體積公式等；(2)利用生活中特定的數(shù)量關(guān)系，(3)根據(jù)表格與圖象中的信息列關(guān)系式等.3.根據(jù)關(guān)系式求值根據(jù)關(guān)系式求值包括兩種情況:(1)已知自變量的值求因變量的值，相當(dāng)于求代數(shù)式的值；(2)已知因變量的值求自變量的值，相當(dāng)于解方程.解:(1)分析表格中的數(shù)據(jù)可得，彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的關(guān)系式為y=0.5x+12.4. 在彈性限度內(nèi)，彈簧掛上物體后會(huì)伸長，測(cè)得一彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)有如下關(guān)系:(1)請(qǐng)寫出彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的關(guān)系式.4. 在彈性限度內(nèi)，彈簧掛上物體后會(huì)伸長，測(cè)得一彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)有如下關(guān)系:(2)在彈性限度內(nèi)，當(dāng)所掛物體質(zhì)量為10 kg時(shí)，彈簧長度是多少?(2)當(dāng)所掛物體質(zhì)量為10 kg時(shí)，把x=10代入y=0.5x+12，解得y=17，即此時(shí)彈簧長度是17cm.4. 在彈性限度內(nèi)，彈簧掛上物體后會(huì)伸長，測(cè)得一彈簧長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)有如下關(guān)系:(3)在彈性限度內(nèi)，已知彈簧長度為20 cm，求所掛物體質(zhì)量.(3)當(dāng)彈簧長度為20 cm時(shí)，把y=20代入y=0.5x+12，得20=0.5x+12，解得x=16，即此時(shí)所掛物體質(zhì)量是16 kg.四、用圖象表示變量之間的關(guān)系1.圖象法:用圖象來表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的方法叫作圖象法.在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸(稱為橫軸)上的點(diǎn)表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸(稱為縱軸)上的點(diǎn)表示因變量.圖象上的每一點(diǎn)都表示自變量和因變量之間的相互關(guān)系.2.用圖象法表示兩個(gè)變量間關(guān)系的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):能直觀、形象地反映變量間的變化情況并預(yù)測(cè)變化趨勢(shì).缺點(diǎn):只能反映變量間的部分關(guān)系，且難以得到準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)值.3.圖象的識(shí)圖技巧(1)注意兩數(shù)軸上的名稱與單位；(2)分布規(guī)律:橫軸上的點(diǎn)表示自變量，縱軸上的點(diǎn)表示因變量；(3)識(shí)圖關(guān)鍵:弄清圖象上點(diǎn)的意義，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，注意圖象的起點(diǎn)、終點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊位置，并弄清這些點(diǎn)所表示的意義.4.探究速度隨時(shí)間的變化加速速度v時(shí)間t速度v時(shí)間t減速速度v時(shí)間t勻速000變化速率相同變化速率相同速度v時(shí)間t靜止速度v時(shí)間t減速加速00變化速率不同速度v時(shí)間t0變化速率不同5.探究距離隨時(shí)間的變化距離s時(shí)間t距離s時(shí)間t距離s時(shí)間t勻速勻速靜止?jié)u行漸遠(yuǎn)回到原地000距離s時(shí)間t靜止距離s時(shí)間t變速加速距離s時(shí)間t變速減速000回到原地漸行漸遠(yuǎn)5.放學(xué)后，小剛和同學(xué)邊聊邊往家走，突然他想起今天是媽媽的生日，趕緊加快速度，跑步回家，小剛離家的距離s(m)和放學(xué)后的時(shí)間t(min)之間的關(guān)系如圖所示，給出下列結(jié)論:①小剛邊走邊聊階段的行走速度是125 m/min；②小剛家離學(xué)校的距離是1 000 m；③小剛回到家時(shí)已放學(xué)10 min；④小剛從學(xué)?；氐郊业钠骄俣仁?00 m/min.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)小剛邊走邊聊階段的行走速度是(1 000-600)÷8=50(m/min)，①錯(cuò)；當(dāng)t=0時(shí)，s=1 000，即小剛家離學(xué)校的距離是1 000 m，②正確；當(dāng)s=0時(shí)，t=10，即小剛回到家時(shí)已放學(xué)10 min，③正確；小剛從學(xué)校回到家的平均速度是1 000÷10=100(m/min)，④正確.①小剛邊走邊聊階段的行走速度是125 m/min；②小剛家離學(xué)校的距離是1 000 m；③小剛回到家時(shí)已放學(xué)10 min；④小剛從學(xué)?；氐郊业钠骄俣仁?00 m/min.5.放學(xué)后，小剛和同學(xué)邊聊邊往家走，突然他想起今天是媽媽的生日，趕緊加快速度，跑步回家，小剛離家的距離s(m)和放學(xué)后的時(shí)間t(min)之間的關(guān)系如圖所示，給出下列結(jié)論:①小剛邊走邊聊階段的行走速度是125 m/min；②小剛家離學(xué)校的距離是1 000 m；③小剛回到家時(shí)已放學(xué)10 min；④小剛從學(xué)?；氐郊业钠骄俣仁?00 m/min.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)B解析:點(diǎn)P沿OA運(yùn)動(dòng)，OP增大，圖象從左到右上升；點(diǎn)P沿弧AB運(yùn)動(dòng)，OP長度不變，圖象與橫軸平行；點(diǎn)P沿BO運(yùn)動(dòng)，OP減小，圖象從左到右下降.6. 如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA—弧AB—BO的路徑運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)OP的長為s，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則下列選項(xiàng)能大致刻畫出s與t之間關(guān)系的是( )C7.甲、乙兩同學(xué)從A地出發(fā)，騎自行車在同一條路上行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s(千米)和行駛時(shí)間t(時(shí))之間的關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法:(1)他們都行駛了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小時(shí)；(3)乙比甲晚出發(fā)了0.5小時(shí)； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；(5)甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)目的地.其中，符合圖象描述的說法有( )A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)(1)他們都行駛了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小時(shí)；(3)乙比甲晚出發(fā)了0.5小時(shí)； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；(5)甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)目的地.(4)兩圖象相交后，表示乙離出發(fā)地的距離與時(shí)間關(guān)系的線段的傾斜程度比表示甲離出發(fā)地的距離與時(shí)間關(guān)系的線段更陡，故乙的速度大于甲的速度.(5)甲、乙分別在t=2.5時(shí)和t=2時(shí)到達(dá)目的地.7.甲、乙兩同學(xué)從A地出發(fā)，騎自行車在同一條路上行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s(千米)和行駛時(shí)間t(時(shí))之間的關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法:(1)他們都行駛了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小時(shí)；(3)乙比甲晚出發(fā)了0.5小時(shí)； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；(5)甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)目的地.其中，符合圖象描述的說法有( )A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)B

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