專題01 與三角形有關的線段 【思維導圖】 ◎題型1：三角形的有關概念 三角形的定義： 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形． 備注： （1）三角形的基本元素： ①三角形的邊：即組成三角形的線段； ②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角； ③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點. （2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示． 例．（2022·江蘇·宜興市實驗中學七年級階段練習）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（　?。?A．都是直角三角形 B．都是鈍角三角形 C．都是銳角三角形 D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 分三種情況討論，即可得到這兩個三角形不可能都是銳角三角形． 【詳解】 如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形． 如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形． 如圖，直角三角形沿虛線剪開即可得到一個直角三角形和一個鈍角三角形． 因為剪開的邊上的兩個角互補，故這兩個三角形不可能都是銳角三角形． 故選：C 【點睛】 本題主要考查了三角形的分類，理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖． 變式1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，與沒有公共邊的三角形是(? ? ? ? ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接找兩個三角形的公共邊即可． 【詳解】 解：三角形的公共邊即兩個三角形共同的邊． ，兩個三角形沒有公共邊； ，兩個三角形的公共邊為； ，兩個三角形的公共邊為； ，兩個三角形的公共邊為． 故選． 【點睛】 此題考查了學生對三角形的認識．注意要審清題意，按題目要求解題． 變式2．（2022·全國·八年級課時練習）下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中符合三角形概念的是（???????） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)三角形的定義判斷即可． 【詳解】 三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形． 故選D． 【點睛】 本題主要考查了三角形的定義考查，準確理解是解題的關鍵． 變式3．（2022·全國·七年級）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，能畫出與“格點”面積相等的“格點正方形”有（???????）個． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 求出的面積為4，然后作出面積為4的格點正方形即可． 【詳解】 解：， 則可畫出的格點正方形如圖： 共有6個， 故選：C． 【點睛】 本題考查了格點圖形的面積計算，掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關鍵． ◎題型2：三角形的個數(shù)問題 例．（2021·重慶巫溪·八年級期末）如圖，其中第①個圖形中有1個三角形，第②個圖形中有3個三角形，第③個圖形中有6個三角形，…，按此規(guī)律變化，第⑥個圖形中三角形的個數(shù)是（???????） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)各圖形三角形的個數(shù)即可找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可解答． 【詳解】 解：第①個圖中三角形的個數(shù)為1； 第②個圖中三角形的個數(shù)為3=1+2； 第③個圖中三角形的個數(shù)為6=1+2+3； …， 故第n個圖中三角形的個數(shù)為， 故第⑥個圖形中三角形的個數(shù)為：， 故選：C． 【點睛】 本題考查的是規(guī)律性問題，解答規(guī)律型問題時，通常是根據(jù)簡單的例子找出一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律去求特定的值． 變式1．（2021·福建·模擬預測）如圖是由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形，如果拿掉其中的3根，剩下的圖形中恰好有7個三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（???????） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)各選項畫出相應圖形，再數(shù)三角形的個數(shù)即可得． 【詳解】 A、拿掉，，后，剩下的圖形如下： 圖形中恰好有7個三角形，此項符合題意； B、拿掉，，后，剩下的圖形如下： 圖形中有4個三角形，此項不符題意； C、拿掉，，后，剩下的圖形如下： 圖形中有6個三角形，此項不符題意； D、拿掉，，后，剩下的圖形如下： 圖形中有9個三角形，此項不符題意； 故選：A． 【點睛】 本題考查了三角形的概念，正確畫出剩下的圖形是解題關鍵． 變式2．（2021·重慶南開中學七年級期中）如圖，圖①中有3個以為高的三角形，圖②中有10個以為高的三角形．圖③中有為高的三角形，…，以此類推．則圖⑥中以為高的三角形的個數(shù)為（??????????） A．55 B．78 C．96 D．105 【答案】B 【解析】 【分析】 結合圖形探索三角形個數(shù)的規(guī)律，從而求解． 【詳解】 解：第①個圖形中有1+2=3個三角形； 第②個圖形中有1+2+3+4=10個三角形； 第③個圖形中有1+2+3+4+5+6=21個三角形； … 第n個圖形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)個三角形 ∴第⑥個圖形三角形個數(shù)為1+2+3+…+12=6×13=78個， 故選：B． 【點睛】 本題主要考查圖形的變化規(guī)律，得到第n個圖形中三角形的個數(shù)的關系式是解決本題的關鍵． 變式3．（2018·浙江·溫州育英學校八年級階段練習）圖中，三角形的個數(shù)為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形數(shù)出三角形的個數(shù)． 【詳解】 解：圖中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5個． 故選A． 【點睛】 此題考查三角形，解題關鍵在于掌握其性質(zhì). ◎題型3：三角形的分類 (1)按角分類： 備注：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形; ②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形. (2)按邊分類： 備注：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角; ②等邊三角形：三邊都相等的三角形. 例．（2022·重慶市第七中學校七年級期中）在中，，比小，則是（???????） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法判斷 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)，比小，求出和的度數(shù)，作出選擇即可． 【詳解】 解：∵中，，比小， ∴， ∴， ∴是銳角三角形， 故選：C． 【點睛】 本題考查了角度的計算，三角形內(nèi)角和定理，掌握鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的角的特征是解答本題的關鍵． 變式1．（2022·湖北黃石·八年級期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（???????） A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)三角形按照邊的分類方法解答． 【詳解】 解：根據(jù)三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形， 故選擇B． 【點睛】 本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關鍵． 變式2．（2021·寧夏·固原市原州區(qū)三營中學八年級階段練習）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，這個三角形一定是（??????） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角形內(nèi)角和定理求出三角形的內(nèi)角即可判斷． 【詳解】 解：∵三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3， ∴這個三角形的內(nèi)角分別為，，, ∴這個三角形是直角三角形， 故選A． 【點睛】 本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形的分類，解題的關鍵是熟練掌握基本知識． 變式3．（2021·全國·七年級課時練習）銳角中，，則的范圍是（???????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)銳角三角形的定義：三個角都小于90度的三角形和三角形內(nèi)角和定理進行求解即可． 【詳解】 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°， ∴∠A+3∠B=180°，2∠B＜90°， ∴∠A=180°-3∠B＜90°，∠B

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