1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.（難點(diǎn)）
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，就成為了矩形.
如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等，這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢？
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
下列哪個(gè)圖形能夠反映四邊形、平行四邊形、菱形的關(guān)系的是（ ）
將一張長方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開后你知道它是什么圖形嗎？
從中你能得到菱形的哪些性質(zhì)？
菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是它的對(duì)稱軸. 菱形還有以下性質(zhì)： 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
∵ 四邊形ABCD是菱形∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD AC平分∠BAD，AC平分∠BCD BD平分∠ABC，BD平分∠ADC
求證：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.已知：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn).求證：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
證明：∵ 四邊形ABCD是菱形∴ AB=AD，OB=OD∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三線合一)同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
如圖，比較菱形的對(duì)角線和平行四邊形的對(duì)角線，我們發(fā)現(xiàn)，菱形的對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的三角形，而平行四邊形通常只被分成兩對(duì)全等的三角形.
例1.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．
四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長.
例2.如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長.
已知菱形的兩對(duì)角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.
例3.如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.
證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，?∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .
如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E， CF⊥AD于F.求證:AE=AF.
證明:連接AC.∵四邊形ABCD是菱形∴AC平分∠BAD,即∠EAC=∠FAC∵CE⊥AB,CF⊥AD∴∠AEC=∠AFC=90°又AC=AC∴△ACE≌△ACF (AAS)∴AE=AF
【點(diǎn)睛】菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)一邊長與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線長度乘積的一半．
例4.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.
如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長是8cm．求：（1）兩條對(duì)角線的長度；（2）菱形的面積．
【點(diǎn)睛】菱形中的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當(dāng)菱形中有一個(gè)角是60°時(shí)，菱形被分為以60°為頂角的兩個(gè)等邊三角形.
6.菱形的周長是8,則菱形的一邊長是______.7.菱形的面積為24，一對(duì)角線長為6，則另一對(duì)角線長為_____，邊長為_____.8.如圖，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊均為16cm,若墻上釘子間的距離AB=BC=16cm，則∠1=______度.
9.如圖，菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB 上，且BE=BO，則∠EOA=_____度.
10.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F(xiàn)分別為AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE+CF=2， 則線段EF長的最小值是______.
11.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且BE=DF.求證:∠AEF=∠AFE.
證明:∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D∵BE=DF∴△ABE≌△ADF(SAS)∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE
12.如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證:∠DHO=∠DCO.
證明:∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD,AB // CD,OB=OD∴∠DCO+∠CDO=90°,∠CDO=∠HBO∵DH⊥AB∴OH是Rt△BDH斜邊BD上的中線∴OH=OB∴∠OHB=∠HBO ∴∠OHB=∠CDO∵∠DHO+∠OHB=90° ∴∠DHO=∠DCO
菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是它的對(duì)稱軸. 菱形還有以下性質(zhì)： 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

18.2.2 菱形

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