1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.（重點(diǎn)）2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.(難點(diǎn)）
如圖，強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一棵大樹在離地面6米處折斷倒下，大樹頂部落在離大樹底部8米處. 大樹折斷之前有多高?
這是1955年希臘為紀(jì)念一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派曾經(jīng)發(fā)行的郵票.
郵票的秘密：觀察這枚郵票圖案小方格的個(gè)數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)?
相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.我們也來觀察一下地面的圖案，看看能從中發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？
問題1:試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？
問題2:圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么特殊數(shù)量關(guān)系？
猜想：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.
如圖，直角三角形三邊的平方分別是多少，它們滿足前面所猜想的數(shù)量關(guān)系嗎？你是如何計(jì)算的？
如圖，對(duì)于下圖中的直角三角形，是否還滿足這樣的關(guān)系?你又是如何計(jì)算的呢?
命題1.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：
通過拼擺，得到一大正方形與一個(gè)小正方形. 你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？大正方形面積表示為：①__________②_____________.對(duì)比兩種表示方法你得到勾股定理了嗎？
這樣我們就證實(shí)了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國(guó)把它稱為勾股定理.(我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.)在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理.
勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
我國(guó)古代數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“趙爽弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明.
2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM-2002)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，它既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們!
解：根據(jù)勾股定理得 所以，大樹折斷之前的高度為：6+10=16(米).
例1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)根據(jù)勾股定理得
設(shè)直角三角的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
例2.在Rt△ABC中， ∠C=90°.（1）若a:b=1:2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
x2+(2x)2=52，
因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
【點(diǎn)睛】已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.
例3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).
解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖?，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖?，
【點(diǎn)睛】當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.
例4.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長(zhǎng).
【點(diǎn)睛】由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．
4.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°，AE=6,BE=8，則陰影部分的面積是( )A.48 B.60 C.76 D.805.如圖，網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.3
6.如圖(1)，三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積S1=20，S2=60，則另一個(gè)的面積S3為_____.7.如圖(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則△ABC的周長(zhǎng)是_____.
8.如圖(3)，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上.若EB=1, EC=2,則正方形ABCD的面積為_____.9.點(diǎn)P(a,3)在第二象限，且到原點(diǎn)的距離是5，則a=____.
10.如圖①，直角三角形紙片的一條直角邊長(zhǎng)為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖②放入一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形中(紙片在結(jié)合部分不重疊無縫隙)，則圖②中陰影部分面積為______.
11.設(shè)直角三角的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=5，c=10， 求b;(2)已知a=8，b=15， 求c;(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
12.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.
解：依題意，得S1=SA+SB=122+162=144+256=400S2=SC+SD=92+122=81+144=225所以，SE=S1+S2=400+225=625
13.以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，如圖①所示，三個(gè)正方形的面積分別為S1，S2，S3， 則有S1+S2___S3(填“>”“=”“”“=”“

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17.1 勾股定理

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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