18.1.2 平行四邊形判定第十八章 平行四邊形第2課時 平行四邊形的判定（2）學(xué)習(xí)目標1. 掌握“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形” 的判定方法.（重點）2. 會進行平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運用.（難點） 數(shù)學(xué)來源于生活，高鐵被外媒譽為我國新四大發(fā)明之一，我們知道鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，那么鐵路工人是怎樣的確保它們平行的呢？情景引入只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了那這是為什么呢？會不會跟我們學(xué)過的平行四邊形有關(guān)呢？問題 我們知道，兩組對邊分別平行或相等的是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？猜想1：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形等腰梯形不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.猜想2：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.梯形的上下底平行，但不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.BA 活動 如圖，將線段 AB 向右平移 BC 長度后得到線段 CD，連接 AD，BC，由此你能猜想四邊形ABCD 的形狀嗎？DC四邊形 ABCD 是平行四邊形猜想3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.你能證明嗎？作對角線構(gòu)造全等三角形一組對應(yīng)邊相等兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = CD 且 AB∥CD，求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.證一證證明：連接 AC.∵ AB∥CD， ∴ ∠1 = ∠2.在△ABC 和△CDA 中AB = CD， AC = CA，∠1 = ∠2，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴ BC = DA.又∵ AB = CD， ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.歸納總結(jié)幾何語言描述：在四邊形 ABCD 中，∵ AB∥CD，AB = CD，∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.典例精析 證明：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AB =CD，EB∥FD．又∵ EB = AB ，F(xiàn)D = CD，∴ EB =FD ．∴ 四邊形 EBFD 是平行四邊形． 例1 如圖 ，在平行四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是AB，CD 的中點. 求證：四邊形 EBFD 是平行四邊形. 例2 如圖，點 A，B，C，D 在同一條直線上，點 E，F(xiàn) 分別在直線AD的兩側(cè)，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC．求證：四邊形BFCE是平行四邊形．證明：∵ AB = CD，∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，在△ACE 和△DBF 中， AC＝BD ，∠A＝∠D， AE＝DF，∴ △ACE≌△DBF(SAS).∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴ CE∥BF.∴ 四邊形 BFCE 是平行四邊形．證明：(1) ∵ 點 C 是 AB 的中點，∴ AC = BC.在△ADC與△CEB中， AD＝CE ， CD＝BE ， AC＝BC ，∴ △ADC≌△CEB（SSS）.(2) ∵ △ADC≌△CEB，∴ ∠ACD = ∠CBE，∴ CD∥BE. 又∵ CD = BE，∴ 四邊形 CBED 是平行四邊形． 【變式題】 如圖，點 C是AB的中點，AD=CE，CD=BE.（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）連接 DE，求證：四邊形 CBED 是平行四邊形．練一練1.已知四邊形ABCD中有四個條件：AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，從中任選兩個，不能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法是 （　?。〢．AB∥CD，AB = CDB．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC = AD D．AB = CD，BC = AD C證明：∵四邊形 AEFD 和 EBCF 都是平行四邊形，∴AD∥ EF，AD = EF， EF∥ BC， EF = BC.∴AD∥ BC，AD = BC.∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.2. 四邊形 AEFD 和 EBCF 都是平行四邊形， 求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.例3 如圖，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，試問 BF 與 CE 相等嗎？為什么？解：BF＝CE．理由如下：∵ DF∥BC，EF∥AC，∴四邊形 FECD 是平行四邊形， ∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE.∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.∴ ∠FBD = ∠FDB.∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運用例4 如圖，將?ABCD 沿過點 A 的直線 l 折疊，使點D 落到 AB 邊上的點 D′ 處，折痕 l 交 CD 邊于點 E，連接 BE．求證：四邊形 BCED′ 是平行四邊形.證明：由題意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，∵ DE∥AD′，∴ ∠DEA =∠EAD′，∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，∴ ∠DAD′ = ∠DED′.∴ 四邊形 DAD′E 是平行四邊形.∴ DE = AD′.∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AB∥DC，AB = DC，∴ CE∥D′B，CE = D′B，∴ 四邊形 BCED′ 是平行四邊形. 此題利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再結(jié)合平行四邊形的判定及性質(zhì)進行解題.練一練1.四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點 O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD. 從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD 為平行四邊形的選法有(　　)A．3 種　　 B．4 種　C．5 種　 　D．6 種B2.如圖，在?ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，連接 DE，EF，BF，寫出圖中除?ABCD 以外的所有的平行四邊形.解：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AD∥BC，AD = BC.∵ E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，∴ AE = BF = DE = FC，∴ 四邊形 ADFE 是平行四邊形，四邊形 EFCB是平行四邊形，四邊形 BEDF 是平行四邊形.1.在?ABCD 中，E、F 分別在 BC、AD 上，若想要使四邊形 AFCE 為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是 （　?。〢．AF = CE B．AE = CF C．∠BAE = ∠FCD D．∠BEA = ∠FCE B2. 已知四邊形 ABCD 中，AB∥CD，AB = CD，周長為40 cm，兩鄰邊的比是 3∶2，則較大邊的長度是（　 ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm C3.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，EF∥AD，HN∥AB，則圖中的平行四邊形共有____個.94.如圖，點 E，C 在線段 BF 上，BE = CF，∠B =∠DEF，∠ACB =∠F，求證：四邊形 ABED 為平行四邊形．證明：∵ BE = CF，∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．又∵ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F，∴ △ABC≌△DEF，∴ AB = DE.∵∠B = ∠DEF，∴ AB∥DE．∴四邊形 ABED 是平行四邊形．5. 如圖，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 邊上的任意一點，分別作 DF∥AB交AC于F，DE∥AC交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．解：∵ DE∥AC，DF∥AB，∴ 四邊形 AEDF 是平行四邊形，∴ DE = AF.又∵ AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.∵ DF∥AB，∴ ∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.∴ DF = CF，∴ DE + DF = AF + FC = AC = 10．6.如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AD = 12 cm，BC = 15 cm，點 P 自點 A 向 D 以 1 cm/s 的速度運動，到 D 點即停止．點 Q 自點 C 向 B 以 2 cm/s 的速度運動，到 B 點即停止，點 P，Q 同時出發(fā)，設(shè)運動時間為 t(s).(1) 用含 t 的代數(shù)式表示： AP =___cm； DP =________cm； BQ =________cm；CQ =____cm；t (12 - t)(15-2t)2t能力提升：(2) 當 t 為何值時，四邊形 APQB 是平行四邊形？解：根據(jù)題意有 AP = t cm，CQ = 2t cm，PD = (12 - t) cm，BQ = (15 - 2t) cm．∵ AD∥BC，∴當 AP = BQ 時，四邊形 APQB 是平行四邊形．∴ t = 15 - 2t，解得 t = 5．∴ t = 5 s 時四邊形 APQB 是平行四邊形．解：∵ AP = t cm，CQ = 2t cm， AD = 12 cm，∴ PD = AD - AP = (12 - t) cm，∵ AD∥BC，∴ 當 PD = QC 時，四邊形 PDCQ 是平行四邊形．即 12 - t = 2t，解得 t = 4.∴ 當 t = 4s 時，四邊形 PDCQ 是平行四邊形．(3) 當 t 為何值時，四邊形 PDCQ 是平行四邊形？平行四邊形的判定(2)平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

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