18.1.2 平行四邊形判定第十八章 平行四邊形第3課時(shí) 三角形的中位線學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線 定理.（重點(diǎn)）2. 能利用三角形的中位線定理解決有關(guān)證明和計(jì)算 問題.(重點(diǎn)）問題 平行四邊形的性質(zhì)和判定有哪些？復(fù)習(xí)引入邊：角：對(duì)角線：① AB∥CD， AD∥BC② AB = CD， AD = BC③ AB∥CD， AB=CD∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADCAO = CO，DO = BO判定性質(zhì)我們探索平行四邊形時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形的全等性質(zhì)進(jìn)行研究，今天我們一起來利用平行四邊形來探索三角形的某些問題吧.思考 如圖，有一塊三角形蛋糕，準(zhǔn)備平分給四個(gè)小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢？三角形的中位線定理概念學(xué)習(xí)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.如圖，在△ABC 中，D、E 分別是 AB、AC 的中點(diǎn)，連接 DE，則線段 DE 就稱為△ABC 的中位線.問題1 一個(gè)三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫出它所有的中位線嗎？ABCDEF有三條，如圖，△ABC 的中位線是 DE、DF、EF.問題2 三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段. 中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段.問題3：如圖，DE 是△ABC 的中位線， DE 與 BC 有怎樣的關(guān)系？兩條線段的關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系分析：DE與BC的關(guān)系猜想：DE∥BC？ 度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．問題4：平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線分析1：猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半． 問題3：如何證明你的猜想？分析2：互相平分構(gòu)造平行四邊形倍長DE證明：延長 DE 到 F，使 EF = DE．連接 AF、CF、DC.∵ AE = EC，DE = EF ，∴ 四邊形 ADCF 是平行四邊形．F∴ 四邊形 BCFD 是平行四邊形，∴ DE∥BC， ． 如圖，在△ABC 中，點(diǎn) D，E 分別是 AB，AC 邊的中點(diǎn). 求證： 證一證證明：延長 DE 到 F，使 EF = DE．F∴ 四邊形 BCFD 是平行四邊形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE =∠F，AD = CF.連接 FC．∵∠AED = ∠CEF，AE = CE，證法2：∴ DE∥BC， ． 三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．三角形中位線定理：符號(hào)語言：歸納總結(jié)F重要發(fā)現(xiàn)： ①中位線 DE、EF、DF 把△ABC分成四個(gè)全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE 和 BDEF，四邊形 BFED 和 CFDE，四邊形 ADFE 和 DFCE.②頂點(diǎn)是中點(diǎn)的三角形，我們稱之為中點(diǎn)三角形；中點(diǎn)三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.由此你知道怎樣分蛋糕了嗎典例精析例1 如圖，在△ABC 中，D、E 分別為 AC、BC 的中點(diǎn)，AF 平分∠CAB，交 DE 于點(diǎn) F. 若 DF＝3，求 AC 的長解：∵ D、E 分別為 AC、BC 的中點(diǎn)，∴ DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵ AF 平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3，∴ AC＝2AD＝2DF＝6.123解：∵ M、N、P 分別是 AD、BC、BD 的中點(diǎn)，∴ PN，PM 分別是△CDB 與△DAB 的中位線，∴ PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC，∵ AB = CD，∴ PM = PN，∴ △PMN 是等腰三角形，∵ PM∥AB，PN∥DC， 例2 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = CD，M、N、P 分別是 AD、BC、BD 的中點(diǎn)，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN 的度數(shù)．∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN = ∠BDC = 70°.∴∠MPN = ∠MPD + ( 180° ? ∠NPB ) = 130°.∴∠PMN = ( 180°?130° )÷ 2 = 25°． 例3 如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點(diǎn)，在AB的延長線上取一點(diǎn)D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.證明：取 AC 的中點(diǎn) F，連接 BF.∵ BD＝AB，∴ BF 為△ADC 的中位線，∴DC＝2BF.∵ E 為 AB 的中點(diǎn)，AB＝AC，∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.F 構(gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關(guān)系的關(guān)鍵.練一練1. 如圖，△ABC 中，D、E 分別是 AB、AC 中點(diǎn)．(1) 若 DE = 5，則 BC = ．(2) 若 ∠B = 65°，則∠ADE = °．(3) 若 DE + BC = 12，則 BC = ．106582.如圖，A，B 兩點(diǎn)被池塘隔開，在 A，B 外選一點(diǎn) C，連接 AC 和 BC，并分別找出 AC 和 BC 的中點(diǎn) M，N，如果測(cè)得 MN = 20 m，那么 A，B 兩點(diǎn)間的距離為______m．NM40例4 如圖，在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA 中點(diǎn)．求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形．四邊形問題連接對(duì)角線三角形問題（三角形中位線定理）三角形的中位線與平行四邊形的綜合運(yùn)用分析：證明：連接 AC.∵ E，F(xiàn)，G，H 分別為各邊的中點(diǎn)，∴ EF∥HG， EF = HG.∴ EF∥AC，HG∥AC，∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形. 順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.【變式題】如圖，E、F、G、H 分別為四邊形 ABCD 四邊之中點(diǎn)．求證：四邊形 EFGH 為平行四邊形.證明：如圖，連接 BD.∵ E、F、G、H 分別為四邊形 ABCD 四邊之中點(diǎn)，∴EH 是△ABD 的中位線， FG 是△BCD 的中位線，∴ EH∥BD 且 EH = BD， FG∥BD 且 FG = BD，∴ EH∥FG 且 EH = FG，∴ 四邊形 EFGH 為平行四邊形.證明：∵ D、E 分別為 AB、AC 的中點(diǎn)，∴ DE 為△ABC 的中位線，∴ DE∥BC，DE = BC.∵ CF = BC，∴ DE = FC．(2) 求 EF 的長.解：∵ DE∥FC，DE = FC，∴四邊形 DEFC 是平行四邊形，∴ DC = EF，∵ D 為 AB 的中點(diǎn)，等邊△ABC 的邊長是 2，∴ AD = BD = 1，CD⊥AB，BC = 2，∴ EF = DC = ．練一練1.如圖，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，點(diǎn) D，E，F(xiàn)分別是 AB，BC，AC 的中點(diǎn)，則四邊形 ADEF 的周長為 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 D2.如圖，?ABCD 的周長為 36，對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，BD = 12，求△DOE 的周長.解：∵ ?ABCD 的周長為36，∴ BC + CD = 18．∵ 點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，∴ OE 是△BCD 的中位線，DE = CD.∴ OE = BC.∴△DOE 的周長為 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15， 即△DOE 的周長為15．1.如圖，在△ABC 中，點(diǎn) E、F 分別為 AB、AC 的中點(diǎn)．若 EF 的長為 2，則 BC 的長為 （　?。? A.1 B.2 C.4 D.8 2.如圖，在 ?ABCD 中，AD = 8，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 BD，CD 的中點(diǎn)，則 EF 等于 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第2題圖第1題圖CC3.如圖，點(diǎn) D、E、F 分別是 △ABC 的三邊 AB、BC、 AC 的中點(diǎn).(1) 若∠ADF = 50°，則∠B= °；(2) 已知三邊 AB、BC、AC 分別為 12、10、8， 則△ DEF 的周長為 .5015ABCDFE4.在△ABC 中，E、F、G、H 分別為 AC、CD、 BD、 AB 的中點(diǎn)，若 AD = 3，BC = 8，則四邊形 EFGH 的周長是 .115.如圖，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于點(diǎn) D，BD 的延長線交 AC 于點(diǎn) F，E 為 BC 的中點(diǎn)，求 DE 的長．解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，∴ CF = AC - AF = 4 cm.∵ BD = DF，E 為 BC 的中點(diǎn)，∴ DE = CF = 2 cm．6.如圖，E 為?ABCD 中 DC 邊的延長線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接 AE，分別交 BC、BD 于點(diǎn) F、G，連接 AC 交 BD 于 O，連接 OF，判斷 AB 與 OF 的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：AB∥OF，AB＝2OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵ CE＝DC，∴AB＝CE.∴ △ABF≌△ECF(ASA). ∴BF＝CF.∵ OA＝OC，∴OF 是 △ABC 的中位線，∴ AB∥OF，AB＝2OF.7. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F(xiàn)分別為 AB，CD 的中點(diǎn)，求 EF 的長．解：取 BC 邊的中點(diǎn) G，連接 EG、FG.∵ E，F(xiàn) 分別為 AB，CD 的中點(diǎn)，∴ EG 是 △ABC 的中位線，F(xiàn)G 是 △BCD 的中位線，又 BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，∴ EG = 8，F(xiàn)G = 6，EG⊥FG.∴∴ EG∥AC，F(xiàn)G∥BD，G三角形的中位線三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半三角形的中位線定理三角形的中位線定理的應(yīng)用

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